LIMITA SI CONTINUITATE

LIMITA SI CONTINUITATE

Limita unei functii intr-un punct

Consideram multimea

Vom numi interval deschis in multimile de forma:

unde a,b

Prin vecinatate (in ) a unui punct xse intelege orice multime V cu proprietatea ca include un interval deschis ce contine punctul x. In conformitate cu prima sectiune a capitolului precedent vom defini multimile deschise in ca fiind acele multimi ce sunt vecinatati pentru fiecare punct al lor. devine astfel un spatiu topologic numit dreapta reala incheiata iar topologia construita va fi numita topologia dreptei incheiate.

Definitie Fie si a(punct de acumulare pentru D in ). Se spune ca functia f are limita lin punctul a daca:

si vom scrie

Observatie

In cazul a,ldefinitia de mai sus este echivalenta cu:

Daca a= definitia devine:

Daca functia f are limita l in punctul a daca si numai daca:

Daca l functia f are limita l in punctul a daca:

Definitia se va putea scrie intr-un mod similar cand asau l

Teorema (Heine)

Functia are limita lin adaca si numai daca:

(x_n)

Exemplu Sa se arate ca nu exista.

Solutie: f(x)=sinx

Alegem:

Mai alegem f(y_n)=1

Rezulta ca functia f nu are limita in punctul a=

Definitie Fie si a un punct de acumulare pentru A=. Se spune ca functia f are limita la stanga in punctul a egala cu l_s daca restrictia lui f la A, , are limita l_s in punctul a.

Vom scrie: care uneori va fi notata si f(a-0).

In mod analog se va defini limita la dreapta a unei functii intr-un punct, notata:

Definitie Fie , cu proprietatea ca f are limite laterale in punctul a. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

f are limita in punctul a;

2.

Mai mult in acest caz avem:

Exemplu Pentru ce valori ale lui k functia ,

Are limita in punctul x=3

Solutie:

Propozitie Fie P si Q doua functii polinomiale. Vom nota cu a_k si b_k coeficientii termenilor de grad maxim din P respectiv din Q si vom nota cu

Avem:

Daca grad P < grad Q atunci l

Daca grad P = grad Q atunci l =

Daca grad P > grad Q si a_kb_k>0 atunci l =

Daca grad P > grad Q si a_kb_k<0 atunci l = -

Exemplu Sa se calculeze:

Solutie:

Propozitie

Exemplu Sa se calculeze:

Solutie:

4.Vom nota: x-1=y. Atunci

Continuitatea functiei de o singura variabila

Definitie Fie , . Functia f se numeste continua in punctul a daca:

Observatie Aceasta definitie se poate scrie in urmatoarea forma echivalenta:

Observatie

Daca D atunci f este evident continua in a.

2. Daca atunci f este continua in a daca si numai daca

Teorema (Heine) Fie , . Functia f este continua in a daca si numai daca:

Teorema (Weierstrass) Daca este continua atunci ea este marginita si isi atinge marginile.

Definitie Fie . Se spune ca f are proprietatea lui Darboux pe daca printre orice puncte x₁<x₂ din si oricare ar fi y situat intre f(x₁) si f (x₂) exista cel putin un punct xastfel incat f(x)=y.

Teorema Orice functie continua pe un interval are proprietatea lui Darboux pe acel interval.

Asimptote

Definitie Fie . Daca astfel incat este egala cu +sau atunci vom spune ca dreapta x = a este asimptota verticala la stanga pentru f.

In mod analog daca este egala cu +sau vom spune ca dreapta x=a este asimptota verticala la dreapta pentru f.

Definitie Fie . Daca si exista , atunci vom spune ca dreapta y=l este asimptota orizontala spre +a lui f. In mod similar daca -si , vom spune ca dreapta y=l este asimptota orizontala spre -pentru f.

Definitie Fie , . Daca exista si atunci dreapta y=mx+n se numeste asimptota oblica spre +.

In mod analog se va defini asimptota oblica spre -.

Exemplu. Sa se determine asimptotele functiei:

Solutie: Notam -x=y si atunci

Vom avea atunci ca dreapta este asimptota orizontala spre -

Apoi

Vom avea atunci ca dreapta x=5 este asimptota verticala la dreapta spre +. In final,

Atunci dreapta y=x+5 este asimptota oblica spre +.

Functii derivabile

Definitie Fie . Se spune ca functia f este derivabila in punctul x₀ daca exista si este definita limita

Aceasta limita se noteaza si este denumita derivata functiei f in punctul x₀.

Observatie Uneori se utilizeaza notatiile: si atunci

.

Daca y=f(x) vom folosi si notatiile:

.

Exemplu

f(x)=x²

.

Astfel derivata functiei f va fi functia .

Tabel de derivare

1. , C constanta reala;

2. constanta reala cel putin

3.

In particular

4.

In particular

5.

6.

7.

8.

9.

,x

, x

, x

Observatie Formula in cazul in care a = 1 ne va da =1 valabila pentru x

Formula poate fi folosita la derivarea unor radicali, daca mai notam faptul ca =. Spre exemplu : ====.

Reguli de derivare

Teorema Daca functiile f,g :I I interval din sunt derivabile pe I atunci functiile f+g, f-g, f,g sunt derivabile pe I si:

1.

2.

3.

4.

Observatie Un caz particular al formulei (3) este cazul in care g este o functie constanta g = C. Atunci vom avea

Exemplu

Derivarea functiilor compuse

Teorema Daca functia u : IJ este derivabila pe I si functia f : J este derivabila pe J atunci functia f este derivabila pe I si

.

Exemplu

1.

2.

3.

4.

Diferentiala unei functii

Definitie Fie si Daca f este derivabila in atunci vom numi diferentiala functiei f in aplicatia liniara notata definita prin:

Exemplu Fie si

Atunci si altfel

Observatie Convenim ca diferentiala functiei f in punctul x sa o scriem ca produsul dintre aplicatia dx (diferentiala aplicatiei identitate) si numarul real . Astfel:

df=(x)dx

ceea ce justifica intr-un fel si notatia:

Exemplu 1.

2.

Teoreme asupra functiilor derivabile

Teorema (Teorema lui Rolle) Daca f :R este continua pe, devariabila

pe si f =f atunci c astfel incat f'

Exemplu Se poate aplica teorema lui Rolle functiei pe intervalul

Solutie Functia f nu este definita pentru x= , valori apartinand segmentului Deci cum f nu este definita pe nu vom putea aplica teorema lui Rolle pe

acest interval.

Dar vom putea aplica aplica teorema lui Rolle pe intervalul pe care f este

definita , continua, derivabila si f=f=.

Deci c : =0 .

Teorema ( Teorema cresterilor finite a lui Lagrange)

Daca f : R este continua pe si derivabila pe atunci c astfel

incat.

f - f

Colorar ( Consecinte ale teoremei lui Lagrange)

Singurele functii cu derivata nula pe un interval sunt constantele ;

Daca f f ) atunci f este monoton crescatoare (respectiv monoton descarcatoare) pe intervalul I

Daca f este continua pe intervalul I, derivabila pe I-si f atunci = f.

Exemplu Se poate aplica teorema lui Lagrange functiei :

f =

pe intervalul?

In caz afirmativ determinati punctul c care apare in aceasta formula.

Solutie: Evident f este continua pe [1,2). Apoi

;si astfel f este continua si in punctul 2 pe

Evident f derivabila pe [1,2)si :

Observam ca

Aplicand o consecinta a teoremei lui Lagrange se obtine ca f este derivabila in si

Avem astfel ca f este derivabila pe intervalul (1,3). Vom putea aplica atunci teorema lui Lagrange si obtinem ca exista astfel incat :

cum insa daca vom avea ca . In acest caz si astfel obtinem ca

Exemplul Sa se demonstreze inegalitatile :

1.

2.

Solutie 1 Consideram functia :

Observam ca :

pentru x >0, ceea ce arata ca functia f este monoton crescatoare pe intervalul [0,∞) deci Cum insa f(0)=0 obtinem ceea ce demonstreaza inegalitatea.

Fie functia

Observam ca :

Rezulta ca : si pentru si pentru ceea ce inseamna ca f este crescatoare pe intervalul (0,1) si descrescatoare pe si in consecinta f(1) =0 este valoarea maxima a functiei. Prin urmare adica ceea ce incheie demonstratia.

Teorema (Teorema de medie a lui Cauchy)

Fie continue pe [a,b], derivabile pe (a,b) si . Atunci astfel incat:

Exemplu Sa se determine valoarea c care intervine in teorema lui Cauchy in cazul functiilor: definite pe intervalul .

Solutie: Functiile date verifica conditiile din teorema lui Cauchy si deci astfel incat:

Teorema ( regulile lui L Hopital)

Fie derivabile, cu cu proprietatea ca

Atunci

Dacaatunci =;

Daca atunci =.

Exemplu 1)

2)

Derivate de ordin superior

Definitie Fie : D si D D'. Daca V astfel incat derivabila pe V si este derivabila atunci vom spune ca functia este derivabila de doua ori in . In acest caz derivata lui in va fi notata sau si este numita derivata de ordinul doi a functiei in punctul

Prin inductie se defineste derivata de ordin n.

Exemplu Sa se calculeze derivatele de ordin n pentru functia

Solutie:

Se verifica prin inductie ca:

Definitie O functie (I interval) se numeste convexa pe I daca avem

Functia f se numeste concava pe intervalul I daca functia -f este convexa pe I.

Teorema . Fie derivabila de doua ori pe I. Atunci:

1. f este convexa daca si numai daca
2. f este concava daca si numai daca

Definitie Fie continua . Un punct se numeste punct de inflexiune pentru f daca astfel incat f sa fie convexa pe (a,x₀) si concava pe (x₀,b) sau invers.