Proiect de tehnologie didactica Clasa: a-VII-a matematica-geometrie 'Linia mijlocie in triunghi. Centrul de greutate al unui triunghi'

Etapele lectiei

Activitati ale lectiei

Strategii aplicate

1 Organizarea clasei

2.Captarea atentiei si verificarea cunostintelor

(15 min)

3.Anuntarea temei si a obiectivelor

4.Dirijarea invatarii

(10 min)

5. Fixarea cunostintelor si asigurarea transferului

6. Obtinerea performantei si asigurarea feed-back-ului

7. Tema pentru acasa, aprecieri.

Asigurarea conditiilor optime pentru desfasurarea lectiei;

-Verificarea prezentei elevilor.

-Elevii vor avea pe banci caietele de teme si maculatoarele. Se va verifica prin sondaj, tema. Exercitiile din tema, care nu au fost efectuate de mai multi elevi, vor fi facute la tabla .

Prof. Voi cere elevilor sa enunte definitia liniei mijlocii intr-un triunghi: Intr-un triunghi, segmentul determinat de mijloacele a doua laturi se numeste linie mijlocie.

-Astazi ne propunem sa discutam despre:

Linia mijlocie in triunghi.

Centrul de greutate al unui triunghi.

-Se scrie pe tabla titlul noii lectii si se anunta obiectivele;

-In aceasta ora ne propunem sa discutam despre linia mijlocie in triunghi, despre utilizarea proprietatilor acesteia, a medianei cat si a centrului de greutate intr-un triunghi, in rezolvarea problemelor .

Prof.

-Se da definitia 1:

"Linia mijlocie in triunghi este segmentul de dreapta determinat de mijloacele a doua laturi ale acestuia".

A

B P C

In figura alaturata, M, N, P sunt mijloacele laturilor [AB], [AC], respectiv [BC]. Atunci: [MN], [NP], [MP] sunt cele trei linii mijlocii ale triunghiului.

Linia mijlocie in triunghi are proprietati utile in rezolvarea problemelor de geometrie.

-Se da Teorema ( asupra liniei mijlocii intr-un triunghi ):

'Intr-un triunghi segmentul care uneste mijloacele a doua laturi este paralel cu cea de a treia latura si are lungimea egala cu jumatate din lungimea acesteia .'

Ip. ∆ABC−oarecare

[AM]≡[MB],  [AN]≡[NC]

Cl. a). MN║BC

b). MN=1/2*BC

Dem.

a). Observam ca:

AM /MB=1 si AN /NC=1  T

AM /MB=AN /NC.

Conform teoremei reciproce a lui Thales, deducem MN║BC.

b). Fie [BP]≡[PC]. [NP]-linie mijlocie T conform punctului a).ca:

NP║ABT NP║MB si cum

MN║BCT MN║BP T

T BMNP-paralelogram T [MN]≡[BP], dar BP═BC ∕2 T MN ═ BC ∕2 (q.e.d.).

-In continuare, se pune in evidenta Teorema reciproca ( asupra liniei mijlocii intr-un triunghi ):

' Paralela dusa prin mijlocul unei laturi a unui triunghi la o alta latura a triunghiului, intersecteaza a treia latura a triunghiului in mijlocul acesteia, iar lungimea segmentului determinat este jumatate din lungimea laturii cu care este paralel . '

A

B C

Ip. ABC- triunghi, Cl. a).[AN]≡[NC]

[AM]≡[MB], b).MN═1∕2*BC

MN║BC

Dem.

a). Aplicam metoda reducerii la absurd:

pp. ca N nu este mijlocul lui [AC]; atunci inseamna ca exista un alt punct N´ (N´≠N) astfel incat [AN´]≡[N´C] T [MN´]- linie mijlocie in ∆ABC, deci cf. Teoremei asupra liniei mijlocii, MN´║BC. Dar, din ipoteza, avem MN║BC; astfel am obtinut ca prin punctul M se pot duce doua paralele distincte la dreapta BC; contradictie cu axioma lui Euclid. Prin urmare presupunerea facuta este falsa, deci N este mijlocul lui [AC].

b). Conform punctului a). [MN] este linie mijlocie in ∆ABC, deci MN=1/2*BC(q.e.d.)

In continuare, voi cere elevilor sa enunte definitia medianei unui triunghi: Mediana este segmentul care uneste varful triunghiului cu mijlocul laturii opuse.

Prof.

Medianele intr-un triunghi au proprietati utile in rezolvarea problemelor de geometrie.

Se da Teorema:

' Medianele unui triunghi sunt concurente, iar centrul de greutate al triunghiului se noteaza cu G si este situat pe fiecare mediana la doua treimi fata de varf si o treime fata de baza .'

A

N

C´ B´

G

M

B C

A´

Ip. [AA´]¸ [BB´]¸ [CC´] - mediane

Cl. AA´∩BB´∩CC´=;

GA/AA´=GB/GB´=GC/GC´=2/3;

GA´/AA´=GB´/BB´=GC´/CC´=1/3.

Dem.

- Fie G punctul de intersectie al medianelor

[AA´] si [BB´].

- Fie M mijlocul lui [BG] si N mijlocul lui [AG].

[MN]-l.m. in ∆GABT MN║AB si

MN=AB/2

T

[A´B´]-l.m. in ∆GABT A´B´║AB si

A´B´=AB/2

T MN║A´B´ si [MN]≡[A´B´] T

T A´B´NM - paralelogram T

T[GN]≡[GA´], dar [GN]≡[NA]

T

T[GM]≡[GB´], dar [GM]≡[MB]

T [NA]≡[NG]≡[GA´]TGA/AA´=2/3 si

GA´/AA´=1/3.

T [MB]≡[MG]≡[GB´]TGB/BB´=2/3 si

GB´/BB´=1/3.

Acum ducem mediana [CC´], C´IAB. Presupunem ca medianele [BB´] si [CC´] se intersecteaza intr-un punct G´ G´≠G

Asemanator rationamentului anterior T

GB´/BB´=2/3 si G´C/CC´=2/3.

Din G´B/BB´=2/3 si GB/BB´=2/3 T

GB/BB´=G´B/BB´TG´B=GBTG´=G.

Deci, medianele [AA´]¸ [BB´]¸ [CC´] sunt concurente . Punctul lor de intersectie centrul de greutate al triunghiului se afla

pe fiecare mediana la doua treimi fata de varf si o treime fata de baza.

-Se propune elevilor spre rezolvare, la tabla, urmatoarele probleme:

( P1 ) : In triunghiul MNP, E si F sunt mijloacele laturilor [MN] si [MP], iar DI[NP]. Aratati ca mijlocul S al segmentului [MD] se afla pe [EF].

M

N D P

Ip. ∆MNP

E-mijl. lui [MN],

F-mijl. lui [MP],

DI[NP],

S-mijl. lui [MD]

Cl. SI[EF].

Dem.

[EF]-linie mijlocie in ∆MNPTEF║NP (1)

[ES]-linie mijlocie in ∆MNDTES║ND si cum N, D, P - coliniareTES║NP (2).

Din (1) si (2) T E, S, F-coliniare (deoarece, prin E trece o singura paralela la NP). Deci, SI[EF].

( P2 ) : Fie triunghiul echilateral ABC si G centrul sau de greutate. Stiind ca AG= 8 cm, aflati lungimea inaltimii triunghiului.

Ip. ∆ABC- echilateral,

G-centrul de greutate al ∆-lui,

AG=8 cm.

Cl . AA´=h=?cm.

A

C´ B´

G

B C

A´

Dem.

G-centrul de greutate al ∆-lui ABC (ip.)T

GIAA´, unde AA´-medianaTAG=2/3*AA´, dar AG=8 cm (ip.)T 8=2/3*AA´TAA´=12cm,

dar ∆ABC-echilateral (ip.)TAA´-inaltime;

deci, h=12cm.

-Propun elevilor sa rezolve individual urmatoarele probleme :

1. Fie triunghiul ABC avand AB=3cm, BC=5cm, CA=4cm. Desenati triunghiul determinat de mijloacele laturilor (acesta este numit triunghi median) si calculati-i perimetrul.

2. Medianele [CE] si [BD] ale triunghiului ABC (cu m(eA)=90 ) se intersecteaza in F. Daca BC=15cm, calculati lungimea lui AF.

-din culegere : pag. 132, pr.2, 3

pag. 133, pr.7

-Elevii care s-au evidentiat in timpul orei vor fi notati in caietul profesorului.

Conversatia

Activitate frontala

Conversatia

Conversatia

Explicatia

Expunerea

Expunerea

Explicatia

Problematizarea

Expunerea

Explicatia

Demonstrarea

Expunerea

Explicatia

Demonstrarea

Conversatia si activitatea frontala

Expunerea

Problematizarea

Explicatia

Demonstratia

Modelarea analogica

Activitate frontala

Conversatia

Explicatia

Exercitiul

Activitatea individuala

Munca independenta

Conversatia