PIERDEREA STABILITATII ELASTICE A BARELOR DREPTE - FLAMBAJUL

PIERDEREA STABILITATII ELASTICE A BARELOR DREPTE - FLAMBAJUL

1 GENERALITATI

Un corp poate rezema in diferite pozitii pe o suprafata , echilibrul putind fi stabil , instabil , sau indiferent ( fig .1 a ).

Fig.1

Asemenea situatii pot fi intalnite si la elementele constructiilor de masini .De exemplu:

Bara supusa solicitarii de intindere este un sistem de echilibtu stabil ;

bara solicitata la compresiune , ocupa linia punctata din figura 2 , forma de echilibru instabil ;

in cazul in care forta de compresiune este egala cu forta critica de flambaj, sistemul este intr-un echilibru indifferent.

Fig. 2

Fenomenul de trecere al unei piese din forma de echilibru stabil in cea de chilibru nestabil , la o anumita valoare a fortei aplicate ( forta critica ) , poarta numele de flambaj.

Experienta arata ca valoarea fortei critice de flambaj depinde forma si dimensiunile piesei , de felul de rezemare si aplicare a sarcinilor .

Consideram o bara de sectiune constanta pe toata lungimea , solicitata de o forta axiala F , care creste treptat ( figura 3 ) . Experienta arata ca pentru o forta axiala F<F_cr ( forta critica de flambaj ) , la indepartarea fortei , bara revine la pozitia initiala .

Fig. 3

Tensiunea corespunzatoare fortei critice de flambaj poarta numele de tensiune critica de flambaj :

( 7 .1 )

Comparand valoarea tensiunii critice de flambaj cu limita de proportionalitate a materialului se intalnesc urmatoarele cazuri :

- flambaj elastic - tratat in secolul al XVIII de Euler;

-flambaj plastic - care are solutii teoretice , formule empirice .

FLAMBAJ ELASTIC .FORMULA LUI EULER

CAZURILE DE FLAMBAJ .

CAZUL I :BARA DREAPTA INCASTRATA LA UN CAPAT , LIBERA LA CELALALT , actionata de o forta axiala F la capatul liber ( figura 4 a ) ;

lungimea de flambaj este de doua ori lungimea geometrica ;

CAZUL II :BARA DREAPTA , ARTICULATA LA AMBELE CAPETE ,solicitata de o forta axiala de compresiune F ( figura 4 . b );

lungimea de flambaj este egala cu lungimea geometrica ;

CAZUL III: BARA DREAPTA , INCASTRATA LA UN CAPAT , ARTICULATA LA CELALALT, solicitata de o forta axiala de compresiune F ( figura 4 . c );

lungimea de flambaj este :;

CAZUL IV : BARA DREAPTA , INCASTRATA LA AMBELE CAPETE , solicitata de o forta axiala de compresiune F ( figura 4 . d );

lungimea de flambaj este : ;

Fig . 4

Forma de echilibru rectilinie a unei bare drepte solicitate la compresiune este stabila pentru F<F_cr . Cand forta axiala de compresiune ajunge la valoarea F=F_cr, forma de echilibru nerectilinie devine instabila , axa barei se poate deforma , deplasandu-se transversal , trecand intr-o noua pozitie de echilibru elastic . In aceasta stare deformata deplasarea transversala a unui punct situat la distanta x pe axa barei este y(x)(figura 5 )

Fig . 5

In pozitia deplasata a sectiunii , momentul incovoietor are expresia :

( 7 .2 )

Cunoscand ecuatia fibrei medii deformate :

( 3 )

si notand cu : ( 7 . 4)

ecuatia (7 . 3 ) devine :

( 7 .5)

ceea ce reprezinta o ecuatie diferentiala , liniara , omogena de ordinul doi cu coeficienti constanti . Solutia unui astfel tip de ecuatii este de forma :

( 7 . 6 )

in care v(x) reprezinta ecuatia fibrei medii deformate in momentul pierderii stabilitatii elastice ( a echilibrului elastic ), deci trebuie sa satisfaca conditiile limita :

( 7 . 7 )

( 8 )

relatie care este satisfacuta pentru :

C₁=0 - deci v=0 bara ramane in pozitie rectilinie ( solutie ce in acest caz nu este interesanta );

, ale carei solutii posibile sunt :

Solutia , conduce la deci F =0 , adica bara nu este incarcata ;

Daca : , se obtine :

( 7 . 9 )

Fortei critice ii corespunde o forma deformata dupa care flambeaza bara :

( 7 . 10 )

Expresia ( 7 . 10 ) reprezinta forma proprie de flambaj dupa care flambeaza bara in momentul in care forta ce o actioneaza este egala cu forta critica de flambaj data de relatia ( 9) .

C₁ este o constanta nedeterminata , caracteristica echilibrului indiferent , deci nu se poate preciza sensul deplasarii barei in momentul pierderii stabilitatii barei . Deoarece , experientele practice arata ca bara se deformeaza dupa directia in care momentul de inertie geometric axial este minim se scrie :

( 7 .11 )

Expresia ( 7 . 11 ) reprezinta relatia lui Euler pentru calculul fortei critice de flambaj .Aplicand aceasta relatie celor patru cazuri de flambaj vor rezulta urmatoarele expresii pentru forta critica de flambaj :

( 7 . 12 )

( 13 )

( 7 . 14 )

( 7 . 15 )

Se observa ca cel mai periculos caz de flambaj este cazul I ( are cea mai mica forta critica de flambaj ) .

2.2 CRITERIU DE STABILITATE

Pentru ca exploatarea unui element de rezistenta sa aiba loc in conditii de siguranta maxima , se introduce un criteriu de stabilitate , exprimat sub forma :

( 7 . 16 )

in care C_f - este coeficientul de siguranta efectiv , la flambaj ;

C_af - este coeficientul de siguranta admis la flambaj .

3 FLAMBAJUL PLASTIC . FORMULA LUI TETMAJER IASINSKI

Forta critica de flambaj este cea mai mare forta de compresiune pentru care bara isi pastreaza forma de echilibru rectilinie , deci expresia efortului unitar va fi similara cu cea stabilita la compresiune:

( 7 . 17 )

Relatia ( 7 . 17 ) exprima efortul unitar normal corespunzator fortei critice de flambaj

Tinand cont de relatia lui Euler pentru forta critica de flambaj, precum si de expresia momentului de inertie axial minim :

( 7 . 18 )

in care i_min reprezinta raza de inertie sau raza de giratie in raport cu axa cu care momentul de inertie axial este minim relatia ( 17 ) devine :

( 7 . 19 )

sau :    ( 7 . 20 )

in care s-a notat : ( 7 . 21 )

numit coeficient de zveltete sau de subtirime ( o marime ce caracterizeaza elementul de rezistenta din punct de vedere geometric ) .

Intrucat , ecuatia fibrei medii deformate este valabila numai in domeniul elastic , rezulta ca :

( 7 . 22 )

Notand cu λ_ovaloarea coeficientului de zveltete corespunzator efortului unitar normal de flambaj egal cu limita de proportionalitate :

( 7 . 23 )

conditia ( 7 . 22 )corespunzatoare flambajului elastic , poate fi scrisa :

( 7 . 24 )

relatie ce reprezinta o conditie geometrica a flambajului , respectiv , flambeaza doar piesele lungi si subtiri , adica piesele zvelte .

Scriind relatia ( 7 . 20 ) sub forma :

( 7 .25 )

se obtine hiperbola lui Euler ( figura . 7 ).

Pentru OL37 , modulul de elasticitate longitudinal E=2,1 . 10⁵ N/mm² , _p=190 N/ mm² , λ_o=105 .

Pentru domeniul plastic se utilizeaza formule empirice de calcul a efortului unitar de flambaj :

( 7 .26 )

relatia ( 7 . 26 ) se numeste relatia lui Tetmajer - Iasinski, coeficientii a respectiv b se determina experimental variind in functie de material ( tabelul 7 .1)

Pentru OL37 , a=304 , b=1,12 , λ_o=105 .

COEFICIENTII DIN FORMULA TETMAJER IASINSKI

TABELUL 1

Pentru fonta se foloseste o relatie paraboica de forma :

( 7 . 27 )

Pentru fonta _o

4 CALCULUL LA FLAMBAJ

( CALCUL DE STABILITATE )

Pentru efectuarea calculelor la flambaj se alege coeficientul de siguranta la flambaj C_fa cu valori variate , intre 4 .. . 5,5 la motoarede automobil , panala 14 . 28 pentru masinile termice mari .

Expresia coeficientului de siguranta la flambaj este :

    (7 . 28 )

in care F reprezinta forta la care este supus elementul de rezistenta .

Pentru a predimensiona un element de rezistenta expus fenomenului de pierdere a stabilitatii , se exprima momentul de inertie geometric axial din formula ( 7 . 28 ):

(7 . 29 )

Se stabilesc forma si dimensiunile piesei . Cele mai recomandabile sectiuni sunt cele ce au acelasi moment de inertie in orice directie ( cerc, patrat , inel ) , sectiunea inelara avand cea mai buna comportare , deoarece , la aceeasi arie , are momentul de inertie mai mare decat cea circulara .Se stabileste aria si raza de inertie :

(7 . 30 )

Se calculeaza apoi coeficientul de zveltete efectiv :

( 7 . 31 )

Pot sa apara doua situatii distincte :

a) _ef> _o , adica piesa se gaseste in domeniul de flambaj elastic , dimensionarea cu ajutorul formulei lui Euler este corecta , dimensiunile gasite prin predimensionare fiind cele ale elementului de rezistenta.

b) _ef< _o , adica piesa se gaseste in domeniul de flambaj plastic , nu mai este valabila formula lui Euler . Calculul se continua cu formulele empirice pentru domeniul plastic .

Se calculeaza tensiunea de flambaj cu formula lui Tetmajer -Iasinski:

( 7 . 32 )

Se calculeaza tensiunea ca si cand elementul de rezistenta ar fi solicitat la compresiune :

( 7 . 33 )

Aria fiind cea determinata prin predimensionare , iar F forta care solicita piesa ;

Se calculeaza coeficientul de flambaj efectiv :

( 7 . 34 )

Daca :

C_ef>C_af calculele se opresc , cu dimensiunile determinate prin calculul de predimensionare , piesa rezista si in domniul plastic ;

C_ef<C_af    se reia calculul , marind dimensiunile piesei .

Sintetizand calculul intr-o schema logica se obtine :