Teorema Criteriul raportului al lui d'Alembert

Teorema Criteriul raportului al lui d'Alembert

Fie o serie de numere reale nenule astfel incat exista atunci:

1. daca    este absolut convergenta;
2. daca    este divergenta.

Demonstratie: 1) : l < p <1 si :

Deci

Continuand rationamentul se obtine :

Aplicand acum Criteriul I al comparatiei, comparand cu seria geometrica, se obtine ca este absolut convergenta.

2) : l > r > 1,Ca si mai sus avem , deci a_n nu tinde la zero si din Criteriul necesar de convergenta va rezulta ca este divergenta.

Exemplu Sa se studieze natura seriei:

1.

2. ;

Solutie: 1) Aplicam Criteriul raportului al lui D'Alembert:

si deci seria data este convergenta.

Aplicam Criteriul Raportului al lui D'Alembert:

Si atunci pentru a<1 seria va fi convergenta, pentru a>1 seria este divergenta, iar daca a=1 seria devine care este evident divergenta.