Siruri de numere reale

Siruri de numere reale

Generalitati

Prin sir de numere reale vom intelege o aplicatie f: N si il vom nota cu (x_n).Vom spune ca (x_n) este convergent daca astfel incat:

.

Vom spune ca x este limita a sirului (x_n) si notam . Un sir care nu este convergent se numeste divergent.

Vom spune ca un sir (x_n) tinde la infinit si notam daca:

.

In mod analog daca :

.

Sirul (x_n) se numeste sir fundamental sau sir Cauchy daca :

.

R este un spatiu metric complet , adica un sir de numere reale este convergent daca si numai daca este un sir fundamental.

Definitie Un sir (x_n) se numeste crescator (resp. strict crescator ) daca:

(resp ,

Un sir (x_n) se numeste descrescator (resp. strict descrescator) daca :

(resp ,

Un sir se numeste monoton daca este descrescator sau crescator.

Definitie Un sir (x_n) se numeste majorat (resp. minorat) daca:

(resp. .

Un sir care este atat majorat cat si minorat se numeste marginit.

Definitie x se numeste punct limita a sirului (x_n) daca exista un subsir al lui (x_n) care are limita x. Vom nota cu multimea punctelor limita pentru (x_n). Numerele:

se numeste limita superioara (respectiv inferioara ) a sirului (x_n).

Observatie (x_n) este convergent daca si numai daca

Teorema Orice sir monoton si marginit este convergent.

Exemplu Sa se arate ca sirul (x_n) definit prin : x₁= este convergent.

Solutie: Vom demonstra prin inductie matematica ca sirul dat este strict crescator, adica Intr-adevar

Presupunem ca si demonstram ca .Avem:

si astfel sirul este crescator.

Pentru a studia marginirea vom proceda tot prin inductie matematica. Observam ca . Presupunem ca . Atunci

ceea ce demonstreaza marginirea.

Prin urmare sirul este strict crescator si marginit deci este convergent.

Observatie Reciproc, daca un sir este convergent rezulta ca este marginit dar el nu este in mod necesar monoton.

Exemplu Sa se arate ca sirul

este convergent dar nu este monoton.

Solutie: Observam ca ^, relatia care ne arata ca sirul este convergent si are limita 1. Cum insa termenii sirului de ordin impar sunt mai mici ca 1 , iar termenii sirului de ordin par sunt mai mari ca 1, sirul nu este monoton.

Observatie In observatia precedenta am notat ca orice sir convergent este marginit. Reciproca nu este insa adevarata.

Exemplu Aratati ca sirul de termen general

este marginit dar nu este convergent.

Solutie: Avem , deci sirul (a_n) este marginit. Acest sir este divergent pentru ca admite doua puncte limita -1 si +1. Intradevar subsirul (a_2k) tinde la 1 iar subsirul (a_2k+1) tinde la -1.

Teorema Sirul (aⁿ) este convergent daca si numai daca si

Pentru avem iar pentru nu exista.

Exemplu Sa se calculeze:

stiind ca a

Solutie: Distingem urmatoarele cazuri:

1) Avem :

2). Atunci :

3) a=b. In acest caz

deci se obtine un sir constant cu limita

Teorema Fie (P(n)) unde P este o functie polinomiala.

Atunci:

Exemplu Avem:

Teorema Daca P si Q sunt functii polinomiale atunci:

unde a_k si b_k reprezinta coeficientii termenilor de grad maxim a polinoamelor P si respectiv Q

Exemplu:

Teorema Sirul este strict crescator si marginit (deci convergent) si limita acestui sir se noteaza e (constanta lui Euler e)

Exemplu Sa se calculeze limita sirului

Solutie:

Propozitie Fie (x_n) un sir de numere reale.

1. Daca exista x si (y_n) un sir de numere reale convergent la zero astfel incat:

atunci (x_n) este convergent si

2. mai general, daca exista (y_n) si (z_n) doua siruri de numere reale astfel incat:

si , , atunci

3. daca exista (y_n) un sir de numere reale astfel incat:

si atunci

4. daca exista (y_n) un sir de numere reale astfel incat:

si atunci

Exemplu Sa se calculeze limita urmatoarelor siruri:

a_n=

a_n=

Solutie: 1. deci (a_n) tinde la 0.

2. deci a_n>2ⁿ. Astfel a_n este divergent si are limita

Sirul majorant este un sir geometric care converge la zero, deci converge la zero.