MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - intrebari examen

Lista de intrebari-suport pentru examenul din semestrul I:

[1] Capitolul I, Sectiunea 1.3, Spatii vectoriale , paginile 20-26.

Spatii    vectoriale.Definitii

Spatii    vectoriale. Exemple

Spatii    vectoriale. Aplicatii

Vectori liniar independenti.Definitie

Vectori liniar independent.Aplicatii

Vectorul este o combinatie liniara de vectorii pentru ca:

a.       Pentru orice numere reale avem ca

b.      Exista numere reale astfel incit

c.       Daca atunci

d.      Nu exista numere reale astfel incit

Vectorii formeaza un sistem liniar independent pentru ca:

a.       Pentru orice numere reale avem ca

b.      Exista numere reale astfel incit

c.       Daca atunci pentru doua numere reale atunci

d.      Nu exista numere reale astfel incit

Vectori liniar dependenti.Definitie

Vectori liniar dependenti. Aplicatii

Fie vectorii din spatiul : .

Stabiliti daca

a.       Vectorii sunt liniar dependent

b.      Vectorii sunt liniar independent

c.       Multimea formeaza o baza a spatiului

Spatiu vectorial finit dimensional.Definitie

Sistem de generatori. Definitie

Fie vectorii , . Sa se scrie vectorul ca o combinatie liniara a vesctorilor .

a.      

b.     

c.      

d.     

Baza si dimensiune a unui spatiu vectorial. Definitii

Baza si dimensiune a unui spatiu vectorial. Aplicatii

Modificarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei. Matricea de trecere. Aplicatii.

Aflati coordonatele vectorului:

in baza

din spatial R³:

a.      

b.     

c.      

d.     

Aflati coordonatele vectorului

in baza canonica din spatiul R³.

a.      

b.     

c.      

d.     

[1] Capitolul I, Sectiunile 1.1-Sisteme de ecuatii liniare, 1.2- Sisteme de inecuatii liniare , paginile 13-20.

Sisteme de ecuatii liniare.Teorema Kroneker-Capelli

Sisteme de ecuatii liniare. Metode de rezolvare

Sisteme de ecuatii liniare. Aplicatii

Sa se resolve cu metoda eliminarii (pivotului) sistemul de ecuatii:

a.       Sistemul este incompatibil

b.     

c.      

d.      Sistemul este compatibil simplu nedeterminat

Sisteme de inecuatii liniare. Metode de rezolvare

Sisteme de inecuatii liniare. Aplicatii

[1] Capitolul I, Sectiunea 1.4-Spatii euclidiene, paginile 26-29.

Spatii euclidiene.Definitii

Spatii euclidiene. Aplicatii

Produs scalar. Definitie

Norma unui vector. Definitie.

Vectori ortogonali. Definitie

Sistem ortogonal de vectori. Definitie.

Procedeul de ortogonalizare Gramm-Schmidt. Aplicatii

Spatiu vectorial normat. Definitie.

Baza ortonormata. Definitie

Baza ortonormata. Aplicatii

[1] Capitolul I, Sectiunea 1.5-Aplicatii liniare, paginile 29-36.

Aplicatii liniare, transformari liniare, operatori liniari. Definitii

Matrice asociata unei aplicatii liniare, transformari liniare sau operator liniar. Aplicatii

Fie operatorul liniar , unde;

Determinati spatial vectorial X :

a.      R

b.      R²

c.       R³

Fie operatorul liniar , unde;

Precizati matricea asociata acestui operator liniar.

a.      

b.     

c.      

d.     

Valori proprii atasate unei aplicatii liniare, transformari liniare sau operator liniar. Definitie

Vector propriu atasat unei aplicatii liniare, transformari liniare sau operator liniar. Definitie

Polinom caracteristic atasat unei aplicatii liniare, transformari liniare sau operator liniar. Definitie

Fie operatorul liniar , unde;

Determinati polinomul characteristic asociat acestui operator:

a.      

b.     

c.      

d.     

Ecuatie caracteristica atasata unei aplicatii liniare, transformari liniare sau operator liniar. Definitie.

Pentru urmatorul operator determinat prin matricea sa in baza canonica.

stabiliti care este ecuatia caracteristica:

a.      

b.     

c.      

d.     

Determinarea valorilor proprii si a vectorilor proprii pentru o aplicatie liniara, transformare liniara sau operator liniar. Aplicatii

Fie operatorul liniar , unde;

Aflati vectorii proprii asociati acestui operator liniar.

a.      

b.     

c.      

Fie un operator liniar care in baza canonica este dat de matricea:

Aflati valorile proprii asociate acestui operator.

a.      

b.     

c.      

d.     

Fie operatorul liniar , unde;

Determinati valorile proprii asociate pentru acest operator liniar.

a.      

b.     

c.      

d.     

Sa se determine suma valorilor proprii pentru urmatorul operator determinat prin matricea sa in baza canonica.

a.      

b.     

c.      

d.     

Diagonalizarea unei matrici. Aplicatii

[1] Capitolul I, Sectiunea 1.6-Forme liniare. Forme patratice, paginile 36-44

Forma liniara. Definitie

Forma biliniara. Definitie

Forme biliniare. Aplicatii

Se da forma biliniara urmatoare:

Scrieti matricea asociata:

a.      

b.     

c.      

Se da matricea:

atasata unei forme biliniare. Scrieti forma biliniara corespunzatoare:

a.      

b.     

c.      

d.     

Forma biliniara simetrica. Definitie

Forma patratica. Definitie

Forme patratice. Aplicatii

Fie urmatoarea forma patratica:

Aflati matricea asociata acestei forme patratice.

a.      

b.     

c.      

d.     

Forme patratice pozitiv si semipozitiv definite.Definitii

Forme patratice pozitiv si semipozitiv definite.Aplicatii

Determinati astfel incit forma patratica urmatoare sa fie pozitiv definita:

a.      

b.     

c.      

Stabiliti natura formei patratice urmatoare:

a.       Pozitiv definita

b.      Negative definita

c.       Semipozitiv definita

d.      Nedefinita

Forme patratice negativ si seminegativ definite.Definitii

Forme patratice negativ si seminegativ definite.Aplicatii

Forme patratice nedefinite. Definitie

Forme patratice nedefinite. Aplicatii Forme patratice canonice. Definitie

Reducerea unei forme patratice la forma canonica. Metoda Jacobi. Aplicatii

Fie urmatoarea forma patratica:

Sa se aduca la forma canonica (suma de patrate) prin metoda Jacobi:

a.      

b.     

c.      

Utilizind metoda lui Jacobi aduceti la forma canonica forma patratica urmatoare:

a.      

b.     

c.      

Reducerea unei forme patratice la forma canonica. Metoda Gauss. Aplicatii

Reducerea unei forme patratice la forma canonica. Metoda valorilor proprii. Aplicatii

Fie urmatoarea forma patratica:

Precizati sirul minorilor asociati acestei frome patratice:

a.      

b.     

c.      

Reducerea unei forme patratice la forma canonica. Aplicatii

[1] Capitolul II, Programare liniara, Sectiunea 2.2-Forma generala a unei probleme de programare liniara, paginile 47-49

Forma generala a unei probleme de programare liniara.

Forma generala a unei probleme de programare liniara. Aplicatii

[1] Capitolul II, Programare liniara, Sectiunea 2.3-Solutia problemei de programare liniara (PPL), paginile 49-51

Solutie posibila a unei PPL. Definitie

Solutie de baza a unei PPL. Definitie

Solutii degenerate si nedegenerate ale unei PPL. Definitii

Solutia optima a unei PPL. Definitie.

Solutii ale unei PPL. Aplicatii

[1] Capitolul II, Programare liniara, Sectiunea 2.4-Metoda Simplex de rezolvare a unui program liniar standard, paginile 51-56

Coordonate bazice (variabile de baza). Definitie

Construirea tabelului simplex. Aplicatii

Teorema de existenta a unui optim finit pentru programul liniar standard

Teorema de existenta a unui optim infinit pentru programul liniar standard

Criteriu de determinare a locatiei pivotului in tabelul simplex.

Criteriu de determinare a vectorului ce intra in baza

Criteriu de determinare a vectorului ce iasa din baza

Reguli de calcul a elementelor din tabelul simplex

Metoda Simplex de rezolvare a unui program liniar standard. Aplicatii

Fie problema de programare liniara:

Sa se aduca la forma standard simplex.

a.

b.     

c.      

Fie problema de programare liniara:

Prima iteratie a algoritmului simplex este:

Pivotul se afla pe linia corespunzatoare lui:

a.       a₄

b.      a₅

c.       a₆

Fie problema de programare liniara:

Prima iteratie a algoritmului simplex este:

Stabiliti care este vectorul care iese, respective vectorul care intra in baza:

a.      intra a₃, iese a₄

b.      intra a₃, iese a₅

c.       intra a₃, iese a₆

d.      intra a₁, iese a₆

e.       intra a₁, iese a₅

Fie problema de programare liniara:

Care este solutia optima pentru problema de programare liniara?

a.       maxf = ,

b.      maxf = ,

c.       maxf = ,

Fie problema de programare liniara:

Aplicindu-se algoritmul simplex se ajunge la un moment dat la:

Linia lui ∆_j     este:

a.      

b.     

c.      

d.     

Fie problema de programare liniara:

Matricea asociata formei standard este:

a.      

b.     

c.      

d.     

[1] Capitolul II, Programare liniara, Sectiunea 2.7- Dualitate in programare liniara, paginile 67-72

Programul dual al unei PPL.Teorema de existenta a solutiei, Teorema fundamental a dualitatii, Conditia necesara si suficienta de optimalitate. Aplicatii

Fie problema de programare liniara:

Duala acestei probleme de programare liniara este:

a.      

b.     

c.      

d.     

Fie problema de programare liniara:

Dupa ce se aduce la forma standard se obtine primul tabel simplex:

Baza initiala pentru algoritmul simplex este:

a.      

b.     

c.      

d.     

Fie problema de programare liniara:

Dupa ce se aduce la forma standard se obtine primul tabel simplex:

Linia lui f_j este:

a.      

b.     

c.      

[1] Capitolul II, Programare liniara, Sectiunea 2.8-Aplicatii in economie, Sectiunea 2.9-Probleme de transport, paginile 74-85.

Se considera problema de transport:

O solutie initiala de baza obtinuta prin metoda coltului N-V este:

a.       , in rest

b.      , in rest

c.       , in rest

d.      , in rest

Se considera problema de transport:

O solutie initial de baza obtinuta prin metoda costului minim pe linie este:

a.       , in rest

b.      , in rest

c.       , in rest

d.      , in rest

[1] Capitolul III, Elemente de Analiza matematica, Sectiunile 3.1-3.4, paginile 86-92.

Functii vectoriale, Limite iterate, Continuitatea functiilor vectoriale. Continuitate partiala. Definitii

[1] Capitolul III, Elemente de Analiza matematica, Sectiunile 3.5-3.9, paginile 93-100.

Derivate partiale pentru o functie reala de mai multe variabile si inerpretarea lor economica (randamente marginale sau produse marginale)

Diferentiabilitatea functiilor de mai multe variabile

Derivate partiale de ordin superior. Criteriile lui Schwartz si Young.

Formula lui Taylor.

[1] Capitolul III, Elemente de Analiza matematica, Sectiunea 3.10, paginile 101-104.

Extremele functiilor de mai multe variabile. Aplicatii

Se da functia de doua variabile

Derivata partiala a lui f in raport cu este:

a.      

b.     

c.      

d.      alt raspuns

Se da functia de doua variabile

Derivata partiala a lui f in raport cu este:

a.      

b.     

c.      

d.      alt raspuns

Se da functia de doua variabile

Derivata partiala mixta a lui f in raport cu si este:

a.      

b.     

c.      

d.      Nu exista

Scrieti diferentiala de ordinal intai a functiei

a.      

b.     

c.      

d.      alt raspuns

Se da functia de doua variabile

f are punct stationar pe:

a.       M(0,0)

b.      M(-1,0)

c.       M(1,0)

d.      M(1,1)

Se da functia de doua variabile

Estimand valoarea expresiei:

si tinand cont de valoarea , stabileste natura punctului critic M(0,0)

a.       Punct de maxim local

b.      Nu este punct de extrem local

c.       Punct de minim local

d.      Nu se poate spune nimic despre natura punctului (0,0)

[1] Capitolul III, Elemente de Analiza matematica, Sectiunea 3.11, paginile 105-106.

Functii implicite

[1]Capitolul III, Elemente de Analiza matematica, Sectiunea 3.12, paginile 106-107.

Extreme conditionate (legate) - Metoda multiplicatorilor lui Lagrange

[1]Capitolul III, Elemente de Analiza matematica, Sectiunile 3.13-3.14, paginile 107-109.

Functii omogene de mai multe variabile. Functii omogene in economie

[1]Capitolul III, Elemente de Analiza matematica, Sectiunile 3.15-3.20, paginile 110-115.

Ecuatii diferentiale. Definitie.problema lui Cauchy.

Ecuatii diferentiale care nu contin variabile independente

Ecuatii cu variabile separabile.

Ecuatii omogene

Ecuatii reductibile la ecuatii omogene.

Ecuatii liniare de ordinal intii.

Fie ecuatia diferentiala

Ecuatia este:

a.       Cu variabile separabile

b.      Ecuatie omogena

c.       Ecuatie diferentiala de ordinul II

d.      Alt raspuns

O forma echivalenta a ecuatiei este

a.      

b.     

c.      

d.     

Solutia ecuatiei este data de

a.      

b.     

c.      

d.     

[1] Capitolul III, Elemente de Analiza matematica, Sectiunile 3.21, paginile 116-117.

Aplicatii in economie a ecuatiilor diferentiale.

Manual de referinta:

[1] Rodica Trandafir, I.Duda, Aurora Baciu, Rodica Ioan, Silvia Barza, "Matematici pentru economisti", Editura Fundatiei "Romania de maine", Bucuresti

Text alternativ

[2] "Matematici pentru economist" -Sinteza