Analiza simpla a variantei intre grupe (one way between groups ANOVA)

Analiza simpla a variantei intre grupe (one way between groups ANOVA)

In esenta e o metoda prin care varianta totala a variabilei de raspuns y este descompusa (partitionata) intre varianta datorata variabilei dependentei x si cea indusa de factori necunoscuti (ε din ecuatie). Analiza simpla a variantei intre grupe e echivalenta cu testul t student pentru esantioane independente. De fapt, testul t e un caz particular al ANOVA. Intrucat testul t poate fi aplicat doar pentru 2 grupe in timp ce ANOVA pentru 2 sau mai multe grupe.

Ipoteza nula corespunzatoare ANOVA e urmatoarea: in populatia studiata nu exista diferente semnificative intre diferitele grupe in ceea ce priveste media masuratorilor variabilei y din fiecare grup.

ANOVA foloseste testul F, iar daca valoarea indicelui statistic F e suficient de mare astfel incat valoarea probabilitatii de transgresiune (α) asociata sa fie mai mica de 1% (sau 5) atunci ipoteza nula poate fi respinsa.

In afara de semnificatia diferentei dintre medii rezultatele trebuie interpretate si prin prisma coeficientului de determinare (r²) care variaza intre 0 si 1 si care reprezinta procentul din varianta variabilei independente y explicata prin variabilitatea variabilei dependente x, adica magnitudinea efectului datorat tratamentului.

Compararea diferentelor pentru toate perechile de medii se poate face doar daca testul F rezulta semnificativ pentru intregul model. Spre deosebire de analiza regresiei, in outputul ANOVA nu ne intereseaza in mod special tabelul cu estimarea coeficientilor (interceptul si coeficientul lui x), ci tabelul intitulat testul efectelor, adica in ce masura efectul diverselor tratamente (stari ale variabilei x) au o influenta semnificativa asupra variabilei de raspuns y. Se recomanda ca intotdeauna designul protocolului de observatii sau al experimentului sa fie echilibrat (numarul esantioanelor din fiecare grup sa fie egal). O diferenta de pana la 20% intre grupe (numarul esantioanelor) e acceptabila. Dar atunci mediile se ajusteaza corespunzator in vederea compararii. Aceste medii ajustate poarta numele "ajusted means" sau "least-square means". Cand varianta in grupe nu este egala in acest caz ANOVA standard nu e valabil. In cazul in care varianta nu e egala intre grupe se aplica o varianta intitulata Welch ANOVA.

Egaliatea variantelor intre grupe poate fi testata prin mai multe teste:

O'Brian,

Brown - Forsythe

Levene

Bartlett

In afara de omogenitatea variantelor intre grupe mai exista alte 2 prezumtii care trebuiesc satisfacute pentru ca rezultatele ANOVA sa fie valide (neafectate de erori):

esantionajul aleator efectuat in populatia studiata astfel incat sa se asigure independenta esantioanelor;

valorile variabilei dependente y sa fie distribuite normal (dupa curba Gausse)

c²_n=(c-1)/2  c = numar de stari a variabilei x = numar de grupe; c = 3

Datorita probabilitatii de a gresi (a respinge o ipoteza nula care de fapt e adevarata), odata cu cresterea numarului de comparatii de efectuat se opereaza ajustari ale nivelului critic de probabilitate de transgresiune. Aceasta ajustare se obtine automat in programele de calculator moderne:

procedeul REGW (Rzan-Einot-Gabriel-Welch) - CEL MAI ROBUST

procedeul Tukey.

Daca una dintre grupe e considerata ca referinta (martor) si celelalte grupe se compara doar cu aceasta, atunci numarul comparatiilor e mai redus si se efectueaza o ajustare Dunnet.

Puterea de detectie a analizei variantei are acelasi obiectiv ca si in cazul analizei regresiei. Numarul minim de replicatii LSN necesare pentru a detecta eventualele diferente intre grupe (date fiind varianta estimata a lui y si pragul prestabilit al probabilitatii de transgresiune) e un bun indicator al credibilitatii rezultatului obtinut.

Analiza simpla a variantei in interiorul grupelor

One-way ANOVA within groups

One-way repeated majors ANOVA

In acest caz fiecare subiect e expus (supus) fiecarui tratament, astfel incat asupra lui se efectueaza masuratori multiple (repetate) a variabilei y.

Designul unui astfel de experiment contrasteaza cu cel intitulat "intre grupe" si foloseste pentru a studia procesele dinamice (in timp) si dependenta cauza-efect prin compararea raspunsului subiectilor inainte si dupa tratament. Daca factorul temporal are 2 nivele (momente de masurare) atunci aceasta analiza e echivalenta cu testul t student pentru esantioane dependente (date perechi) "paired t test".

Testul t nu se poate aplica decat daca majoritatea starilor factorilor x este egala cu 2.

Interpretarea rezultatelor consta in 2 etape:

1. Semnificatia efectului produs de tratament asupra aceluiasi subiect;
2. Doar in cazul in care modelul e semnificativ atunci se trece la compararea mediilor obtinute in diferitele momente ale tratamentului.

Acest design prezinta avantajul eliminarii variantei reziduale a diferentei dintre subiecti si al eficientei datorita folosirii unui numar redus de subiecti (jumatate decat in cazul variantei intre grupe).

Marile dezavantaje sunt lipsa unor subiecti de control (martor), care sa permita evaluarea modificarilor produse numai si numai de tratamentul aplicat si pericolul alterarii masuratorilor datorita efectului tratamentului anterior asupra subiectului.

ANOVA in interiorul grupelor are o prezumtie de omogenitate a covariantei, care e denumita in statistica "sfericitate" - TREBUIE VERIFICATA!!!

Exista 2 alternative:

Testul Mauchly - spune daca prezumtia e indeplinita sau nu. Daca testul e foarte nesemnificativ atunci trebuie aplicat testul multivariat.

Corectii prin intermediul unor ajustari - se pot aplica daca conditia de sfericitate nu e foarte mult departata. Daca deviatiile semnificative de la sfericitate sunt evidentiate de valori mici, sub 1% ale probabilitatii asociate, atunci trebuie aplicat testul multivariat. Daca variatiile sunt mici si moderate (1-5%), atunci se foloseste un test F modificat prin intermediul unor ajustari:

Daca este sub 1% avem deviatii mari si se foloseste un test multivariat (mult mai robust).

y_{I mediu} y_{II mediu} y_{III mediu} = C + ∑

Testul multivariat

Se obtine prin considerarea tratamentelor aplicate la diverse intervale de timp ca niste variabile dependente separate, dar bineinteles corelate intre ele.

Cand numarul subiectilor e mic (mai putin de 20 de ori numarul tratamentelor) testul de sfericitate nu are suficienta putere de detectie si ca urmare trebuie folosit neaparat testul multivariat.

Raspunsul subiectilor exprimat prin masuratori poate fi uneori viciat de ordinea aplicarii tratamentelor, de aceea se recomanda folosirea unui design de contrabalansare, ce consta in aplicarea tuturor combinatiilor de ordonarea tratamentelor unui numar egal de subiecti.

Efectul tratamentelor anterioare care poate persista si vicia raspunsurile subiectilor la tratamentele ulterioare se poate evita partial prin separare mare in timp a tratamentelor.