INTINDEREA - COMPRESIUNEA BARELOR DREPTE

INTINDEREA - COMPRESIUNEA BARELOR DREPTE

1 GENERALITATI

O bara este solicitata la intindere compresiune in orice sectiune , normala pe axa sa apar numai forte axiale ( sau concurente , cu punctul de aplicatie pe axa barei , a caror rezultanta fiind dirijata In lungul aceaseia ) ( fig. 1 )

Cand efectul acestor forte este de lungire , solicitarea se numeste intindere si se considera pozitiva , iar cand efectul fortelor axiale este de scurtate , de comprimare , soliciterea se numeste compresiune , si    se considera negativa

2 DIAGRAME DE FORTE AXIALE

Intrucat in lungul axei unei piese pot apare mai multe forte axiale , eforturile axiale vor varia in sectiunile transversale ale acesteia . Este necesar sa se traseze , in lungul axei piesei ( de obicei bara ) diagramele de eforturi , numite diagrame de eforturi axiale , ce urmaresc variatia fortei axiale in lungul unei bare . Pentru a trasa aceste diagrame , se utilizeaza metoda sectiunilor , potrivit careia , se sectioneaza bara in locul in care se doreste determinarea efortului axial .Se reduc fortele din stanga sau din dreapta sectiunii si se scriu ecuatiile de echilibru , in care se considera eforturile pozitive cele care ies din sectiune ( intind ) si negative cele care intra in sectiune ( comprima ) . Daca suma rezulta pozitiva , bara este intinsa in acel loc , iar daca suma este negativa , bara este comprimata . Pentru trasarea diagramei de eforturi axiale , se traseaza linia de "0" paralela cu axa barei . valorile pozitive ale fortei axiale rezultate se trec deasupra liniei de "0" iar cele negative dedesubt .

Exemplu de calcul :

Fie bara din figura Sa se traseze diagrama de forta axiala pentru aceasta bara

Bara fiind incastracta in sectiunea A , trebuie sa se calculeze reactiunile din incastrare.

Deoarece este solicitata numai axial , in incadtrare apare doar reactiunea axiala H_A , care se calculeaza facand suma proiectiilor tuturor fortelor pe axa barei :

( 2 . 1 )

Pentru a determina efortul axial in lungul axei barei , se aplica metode sectiunilor :

intre A si B ,se sectioneaza imaginar bara , se introduce efortul N₁₁ ce reprezinta efectul partii inlaturate . Se scrie ecuatia de echilibru static pentru partea din stinga planului de sectiune :

( 2 . 2 )

Valoarea obtinuta ,reprezinta valoarea efortului axial intre A si B , , fiind pozitiva , se trece in diagrama deasupra liniei de "0".

-Intre B si C , efortul introdus in aceeasi maniera , se noteaza N₂₂ si are valoarea :

( 2 . 3 )

Valoarea se trece in diagrama , deasupra liniei de "0" fiind pozitiva si se reprezinta la fel ca in cazul precedent , printr-o linie orizontala intre B si C .

intreC si D ,efortul axial introdus se noteaza cu N₃₃:

( 2 . 4 )

Pe ultima portiune a barei , valoarea efortului fiind de 25N , pozitiva , la fel se trece deasupra liniei de "0" , pina in dreptul capatului D al barei , unde diagrama se inchide cu aceeasi valoare 25N a fortei aplicate in D.

In exemplul studiat , se observa ca forta axiala este constanta intre sectiunile de aplicare a doua forte invecinate , este discontinua in dreptul fortei aplicate , discontinuitate egala cu valoarea fortei .Deci , diagrama de eforturi se deschide cu valoarea primei forte , ( pozitiva daca aceasta intinde sau iese din sectiune sau negativa daca forta comprima sau intra in sectiune ) si se inchide cu valoarea ultimei forte aplicate ( sau cu reactiunea axiala

3 TENSIUNI Si deformaTii la

Intindere compresiune

Se considera o bara de sectiune constanta ,actionata de o forta axiala F , la capete . Experienta arata ca in timpul solicitarii piesei , in orice sectiune , tensiunea ( intensitatea solicitarii ) normala , este orientata in sensul fortei axiale F de pe portiunea indepartata si este constanta pe toata sectiunea . Pentru a determina tensiunea , se considera partea din stanga ( fig.3 b ) . Scriind ecuatia de echilibru static ( proiectia dupa axa barei ) se obtine :

( 2 . 5 )

Relatia ( 5 ) reprezinta relatie fundamentala la solicitarea de intindere compresiune

Din conditia de rezistenta

( 2 . 6 )

inlocuita in relatia ( 2 . 5 ) se obtine :

    ( 2 . 7 )

ce reprezinta prima relatie fundamentala la solicitarea de intindere compresiune din conditia de rezistenta

Daca materialul elementului de rezistenta satisface legea lui Hooke , expresia lungirii specifice se poate scrie :

( 2 . 8 )

iar lungirea totala va fi :

( 2 . 9 )

Numitorul expresiei ( 2 . 9 ) , respectiv produsul : E.A se numeste la modul de rigiditate la intindere compresiune . Din conditia de rigiditate :

( 2 .

inlocuita in expresia ( 2 . 9 ) se obtine :

( 2 . 11 )

Relatia ( 2 . 11 ) reprezinta a doua relatie fundamentala a solicitarii intindere compresiune .

4 RELATII DE CALCUL LA INTINDERE COMPRESIUNE

Calculul la Intindere respectiv la compresiune se face pe baza conditiilor de rezistenta si rigiditate utilizind relatiile ( 2 . 7 ) si respectiv ( 2 . 9 ).

a)Calculul de dimensionare consta in determinarea ariei minime a sectiunii transversale care sa satisfaca conditia de rezistenta sau pe cea de rigiditate :

( 2 . 12 )

sau

( 2 . 13 )

In formulele ( 2 . 12 ) respectiv ( 2 . 13 ) , N reprezinta valoarea maxima a efortului axial ( in valoare absoluta ) din diagrama de forta axiala

In functie de materialele standardizate ( a caror sectiune transversala au aria fixa ) solutiile tehnice constructive se adopta astfel incat :

( 2 . 14 )

Dimensiunile sectiunii , in functie de forma ei geometrica se adopta din considerente de ordin constructiv .

b)   Calculul de verificare consta din determinarea tensiunii efective din bara respectiv , a lungirii efective si compararea cu valorile admise :

( 2 . 15 )

si:

( 2 . 16 )

Valoarea efortului N se ia din diagrama de eforturi axiale ca fiind valoarea cea mai mare in modul . Se tine seama de semnul efortului axial in cazul materialelor care au o comportare diferita la intindere fata de compresiune . In acest caz , se cunosc doua valori pentru _a una pentru tractiune , care se va compara cu valoarea efectiva a tensiunii calculata cu valoarea maxima pozitiva din diagrama de eforturi axiale si una de compresiune care se va compara cu valoarea efectiva calculata cu valoarea maxima negativa a efortului axial ( din aceeasi diagrama de eforturi axiale )

c) Calculul efortului capabil . Pentru un element de rezistenta dat , ale carui dimensiuni sunt cunoascute , si materialul din care este confectionat cunoscut , deci _a si Al_a se cunosc; trebuie calculata valoarea maxima a efortului axial la care poate fi solicitat elementul de rezistenta, respectind conditia de rezistenta ( 2 . 6 ), respectiv conditia de deformabilitate ( 2 . 10 ) , ( efortul astfel determinat se numeste efort capabil ) :

( 2 . 17 )

( 2 . 18 )

INTINDEREA SAU COMPRESIUNEA SUB EFECTUL GREUTATII PROPRII

In rezistenta materialelor , efectul greutatii proprii este aproape intotdeauna neglijabil . Barele aflate in pozitie verticala , foarte lungi au greutatea mai mare uneori decat forta utila , nemai putand fi neglijata la intindere sau compresiune . Se considera bara din figura 3 , de lungie l si sectiune constanta A confectionata dintr-un material omogen cu greutatea specifica g si modulul de elasticitate longitudinal E . Bara este incastrata la capatul superior si solicitata la intindere de forta axiala F aplicata la capatul liber .

Intr-o sectiune situata la distanta x de capatul liber , forta axiala este "

( 2 . 19 )

si tensiunea normala

( 2 . 20 )

Se observa variatia liniara a efortului axial si a tensiunii normale in lungul axei barei cu valorile la capetele barei :

( 2 . 21 )

si   

( 2 . 22 )

Rezulta ca sectiunea periculoasa se afla in incastrare . Pentru dimensionare , valoarea ariei necesare se determina , egaland valoarea maxima obtinuta cu expresia ( 2 . 22 ) cu valoarea _a , obtinandu-se :

( 2 . 23 )

Daca lungimea barei este foarte mare , ruperea barei se produce sub greutatea proprie ( F=0, _r g.l_r )

Lungimea de rupere sub efectul greutatii proprii se calculeaza

    ( 2 . 24 )

Calculul deformatiei se face tinand cont ca tensiunea variaza liniar in lungul barei . Deci pentru un element de lungime infinit mica ( dx ) :

( 2 . 25 )

Dar : introdusa in expresia ( 2 . 25 ) rezulta

( 2 . 26 )

Integrand pe intreaga lungime a barei , rezulta lungirea totala :

Deci:

( 2 . 27 )

Se observa ca la lungirea produsa de sarcina exterioara F se mai adauga o lungire data de jumatate din greutatea proprie a barei .

bara de egalA rezistenTA la Intindere compresiune

Bara de lungime mare si sectiune constanta este o solutie neeconomica , deoarece , tensiunea variind liniar in lungul axei barei , valoarea maxima fiind in incastrare , dimensionarea urmeaza a se efectua in acea sectiune ( la valoarea maxima a efortului ) . Deci , in celelalte sectiuni , bara va fi supradimensionata .

Solutia corecta o constituie bara de egala rezistenta la intindere sau compresiune . La aceasta bara , tensiunea este constanta in lungul sau . Trebuie stabilita o lege de variatie a sectiunii in aceste conditii .

Pentru aceasta , se considera o bara de sectiune variabila incastrata la un capat si libera la celalalt solicitata de o forta axiala constanta F ( fig.4 - a ) . Din aceasta , se sectioneaza si se izoleaza un element de lungime dx ( fig.4 - b ) situat la distanta x de capatul liber . Acest element , de greutate :

( 2 . 28 )

este in echilibru . Scriind ecuatia de echilibru a tuturor fortelor ce actioneaza dupa axa barei pentru elementul considerat se obtine :

sau:

( 2 . 29 )

Relatia ( 29 ) poate fi scrisa si sub forma :

si face legatura inrea tensiuni si arii , pentru elementul considerat . Extinzand relatia pe toata lungimea barei , prin integrare , se obtine :

( 2 . 30 )

unde C este o constanta de integrare , ce se determina din conditiile limita ale barei :

x=0 => A_x =A_o

ln A_o =C ( 2 .

Relatia ( 2 . 30 ) devine :

de unde :

( 2 . 32 )

Se observa ca sectiunea barei de egala rezistenta la intindere compresiune , variaza logaritmic in functie de departarea fata de capatul liber . In practica , realizarea unei astfel de sectiuni variabile este daca nu imposibila , foarte dificil de realizat . De aceea se realizeaza o variatie in trepte (fig . 2 .

Aplicand succesiv formula de dimensionare , se obtine :

( 2 . 33 )

Variatia eforturilor de-a lungul tronsoanelor este prezentata in figura 5 b) .

Lungirea totala se determina prin insumarea lungimilor tronsoanelor componente ale barei :

( 2 . 34 )

in care lungirea tronsonului n se calculeaza aplicand relatia ( 2 . 11 ) :

OBSERVATIE Formulele de calcul determinate in cazul anterior ( pentru bara intinsa de forta F ) sunt valabile si in cazul in care bara este comprimata de forta F , dar trebuie tinut cont de aparitia fenomenului de pierdere a stabilitatii    ( fenomen ce nu trebuie sa apara

7 SISTEME STATIC NEDETERMINATE LA INTINDERE COMPRESIUNE

In practica se intalnesc situatii in care , conditiile de echilibru static nu permit determinarea necunoscutelor , deoarece numarul de necunoscute este mai mare decat numarul de ecuatii de echilibru static ce pot fi scrise pentru sistem . In acest caz , se spune ca sistemul este static nedeterminat .

Deci , trebuie sa se completeze sistemul de ecuatii de echilibru static cu un numar de ecuatii egal cu diferenta dintre numarul necunoscutelor si numarul de ecuatii de echilibru static ce se pot scrie . De regula , ecuatiile suplimentare se scriu din conditii de deformare ale elementelor de rezistenta ( sau din conditii de deplasari ale acestora ) . Pentru aceasta , se presupune cunoscut materialul din care este confectionat elementul de rezistenta , respectiv pentru a se putea determina rigiditatea acestuia sau rapoarte intre rigiditati , cand acestea variaza in lungul piesei .

7.1 BARA INCASTRATA ( ARTICULATA ) LA AMBELE CAPETE

Se considera o bara dreapta , de rigiditate EA , constanta pe toata lungimea , incastrata la ambele capete ( sau articulata ) , actionata in punctul C ( intre capetele A si B ) de o forta axiala F - figura 6 . Se cer reactiunile R_A si R_B din legarturile laterale .

Pentru calculul necunoscutelor ( a reactiunilor R_A si R_B ) se scrie ecuatia de echilibru a fortelor dupa axa barei :

( 2 . 36 )

Deoarece nu se mai poate scrie alta ecuatie de echilibru static , si pentru ca sunt doua necunoscute , trebuie cautata inca o ecuatie , ce se va obtine scriind conditia de deformabilitate a barei - fiind incastrata , sau articulata la capete , acestea sunt fixe , deci :

( 2 .37 )

In care Al_A-C si Al _C-B se calculeaza cu formula ( 2 . 11 )    ( desigur , pe zona C-B deformatia fiind de compresiune , este deci negativa ), valorile eforturilor ce produc deformarea luandu-se din diagrama de forta axiala , respectiv relatia ( 2 . 37 ) devenind :

( 2 . 38 )

Tinand cont de relatia ( 2 . 36 ) se obtine :

( 2 .39 )

si se deduce :

( 2 .40 )

Cu reactiunile determinate , sunt calculate valorile din diagrama de eforturi axiale in lungul barei .

Metoda poate fi aplicata in acelasi mod , atunci cand in lungul axei barei exista mai multe forte axiale , sau cand , modulele de rigiditate EA, variaza in lungul axei barei si sunt cunoscute .

7.2 SISTEM DE TREI BARE PLANE ARTICULATE CONCURENTE ,

SOLICITATE LA INTINDERE

Se considera sistemul de trei bare plane articulate , concurente , ca si in figura 7 actionate in punctul B de o sarcina verticala F . Sistemul este simetric din punct de vedere geometric dar si mecanic-barele laterale avand rigiditatea E₁A₁ , iar bara centrala are rigiditatea EA . Trebuie sa se determine eforturile din bare .

Sectionand cele trei bare , izoland nodul B ( fig.7.b) se scriu ecuatiile de proiectii dupa orizontala :

( 2 . 41 )

( sau eforturile din barele laterale sunt egale intre ele si egale cu N₁, lucru evident si datorita faptului ca bara este simetrica din punct de vedere geometric si mecanic ).

Scriind ecuatia de proiectii dupa verticala

( 2 . 42 )

Din conditiile de echilibru static a rezultat o ecuatie    ( relatia 42 )cu doua necunoscute : N₁ , N . A doua relatie se va obtine din conditia de deformare a triunghiului BB₁E ( fig.7 , c), in care :

( 2 . 43 )

in care A este un unghi infinit mic deci poate fi neglijat ; segmentul BB₁ masoara lungirea barei BC iar B₁E lungirea barei B₁D. Aceste lungiri pot fi scrise cu relatia ( 2 .11 ) in urmatorul mod :

( 2 . 44 )

( 2 . 45 )

Deci :

( 2 . 46 )

Relatiile ( 2 . 42 ) si ( 2 . 46 ) formeaza un sistem de doua ecuatii cu cele doua necunoscute N si N₁ . In urma rezolvarii se determina cele doua eforturi ca fiind date de relatiile :

( 2 . 47 )

7.3 BARA NEOMOGENA

In practica exista situatii In care se folosesc bare cu sectiune neomogena , adica , sunt confectionate din materiale cu proprietati mecanice diferite . De exemplu : bara de aluminiu sau cupru , cu inima din otel , stalpi din beton armat , etc . Se pune problema modului de repartizare al eforturilor unitare Intr-o sectiune , daca se cunoaste forta axiala ce actioneaza in intreaga sectiune . Pentru aceasta , se considera o bara de sectiune neomogena , formata din n materiale ( bare) diferite , solicitata la intindere de forta axiala F . ( Fiecare material in parte este considerat ca fiind o bara dreapta , iar raportul ariilor in fiecare sectiune se considera constant - figura 2 . 8 ) . Se cere sa se determine tensiunea _i din sectiunea i pentru care se cunosc :

- A_i aria din materialului i;

-E_i modulul de elasticitate longitudinal al materialului i ;

-N_i forta axiala aferenta

- ( 2 . 48 )

Scriind ecuatiile de echilibru pentru intreaga bara

( 2 . 49 )

Relatia ( 2 . 49 ) este o ecuatie cu n necunoscute _i Deci problema este static nedeterminata de (n-1) ori .Rezolvarea ei , implica scrierea a ( n-1 ) ecuatii ( ce se obtin din conditiile de deplasari ). Pentru aceasta , se considera ca cele n bare sunt solidarizate intre ele . Aceasta inseamna , ca alungirea totala a este constanta , egala intre ele , pentru cele n bare . Conform legii lui Hooke se poate scrie :

( 2 . 50 )

Relatiile ( 2 . 50 ) reprezinta cele ( n-1) ecuatii necesare .

Daca se multiplica ambii termeni ai rapoartelor ( 2 . 50) cu ariile corespunzatoare elementelor de bara , si se aduna numaratorii si numitorii intre ei , relatia ( 50 ) devine :

Tinand cont de relatiile ( 2 . si ( 2 . 51 ) se poate scrie :

. ( 2 . 52 )

Deci : ( 2 . 53 )

Relatia ( 2 . 53 ) permite determinarea necunoscutelor

le ce trebuiau gasite .

7.4.TENSIUNI DATORATE VARIATIILOR DE TEMPERATURA .

BARA IMPIEDICATA SA SE DILATE

Se considera o bara de lungime l , dintr-un material al carui coeficient de dilatatie termica este . La o crestere de temperatura At=t₁- t_o , bara se dilata ( se lungeste ) :

( 2 . 54 )

Daca bara incastrata este libera la unul din capete , sau este bara static determinata , lungirea (dilatarea ) se produce neimpiedicata . Daca , din contra , ( la sisteme static nedeterminate - de exemplu bara incastrata la ambele capete din figura 9 ) dilatarea este impiedicata in bara se produc tensiuni datorate reactiunilor orizontale ce apar in cele doua incastrari datorita faptului ca bara nu se poate dilata deloc datorita opozitiei peretilor .In exemplul din figura 9 , daca bara ar fi libera la un capat s-ar dilata la o variatie de temperatura At cu o cantitate Al_t data de relatia ( 2 . 54 ) .Peretii se opun acestei dilatari , fapt care duce la aparitia unei forte ce comprima bara ( in sens opus dilatarii ). Conditia de deformatie totala nula a barei se obtine din adunarea algebrica a dilatarii ( lungire datorata cresterii de temperatura At- deci pozitiva si a comprimarii ( scurtarii deci cu minus ) datorate reactiunilor din pereti , egale si de sensuri opuse , N, ce comprima bara :

( 2 . 55 )

Relatia ( 2 . 55 ) permite determinarea efortului axial din bara N :

( 56 )

si a tensiunii normale

( 2 . 57 )

In general in practica , la unul din capetele barei se practica un rost de dilatatie termica de marime cunoscuta In acest caz , relatia ( 2 . 55 ) devine :

( 2 . 58 )

si permite calculul efortului N. Daca N rezulta negativ , bara nu umple rostul prin dilatare, deci nu se produc tensiuni in bara .