Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Meseria se fura, ingineria se invata.Telecomunicatii, comunicatiile la distanta, Retele de, telefonie, VOIP, TV, satelit




Aeronautica Comunicatii Constructii Electronica Navigatie Pompieri
Tehnica mecanica

Tehnica mecanica


Index » inginerie » Tehnica mecanica
DEFORMATIILE BARELOR DREPTE SOLICITATE LA INCOVOIERE


DEFORMATIILE BARELOR DREPTE SOLICITATE LA INCOVOIERE


DEFORMATIILE BARELOR DREPTE SOLICITATE LA INCOVOIERE

1 generalitATi



Prin solicitarea de incovoiere , barele se deformeaza si iau forme curbe . Studiul acestor deformatii se impune datorita urmatoarelor considerente :

-in toate cazurile de rezolvare a problemelor static nedeterminate la incovoiere este necesar sa apelam la relatiile de deformare ;

-exista situatii in care barele solicitate la incovoiere trebuie sa indeplineasca unele conditii limita de deformare .

Studiul deformatiilor barelor drepte solicitate la incovoiere se face asupra axei barei , care dupa deformare poarta numele de fibra medie deformata .

Se considera o bara dreapta , simplu rezemata , solicitata la incovoiere de un sistem de forte ce actioneaza in planul sectiunii transversale : Fi ( i=1,2,.,n) , ( figura 1 ).

Starea de deformatie a unei sectiuni de abscisa x (fig.1 ) :, se caracterizeaza prin urmatoarele marimi geometrice

- deplasarea pe verticala y=v , denumita sageata , si care rezulta din ecuatia fibrei medii deformate : ( 5 . 1 )

-rotirea sectiunii j , sau inclinarea fibrei medii deformate , care se obtine din derivarea ecuatiei fibrei medii deformate :

( 5 . 2 )

-raza de curbura r a fibrei medii deformate .In geometria diferentiala se demonstreaza:

( 5 . 3 )

unde : ( 5 . 4 )

relatia ( 3 ) devine :

( 5 . 5 )

Dar din relatia lui Navier se poate scrie :

( 5 . 6 )

rezulta ca :

( 5 . 7 )

Din figura ( 5 . 1 ) rezulta ca derivata a doua a ecuatiei fibrei medii deformate este negativa , cand momentul incovoietor este pozitiv.Prin urmare in relatia ( 5 .7 )trebuie introdus semnul ( - ) :

(5 . 7' )

unde M , reprezinta momentul incovoietor ce deformeaza bara.

In cazul solicitarii de incovoiere pura , M=const , deci deformatia are loc dupa un arc de cerc .

Daca modulul de rigiditate la incovoiere E Iz este constant , tinand cont de relatiile diferentiale intre eforturi ,ecuatiile diferentiale aproximative de ordin superior ale fibrei medii deformate sunt :

( 5 . 8 )

Studiul deformatiilor se bazeaza pe efectuarea integrarii ecuatiei ( 5 . 7' ) .Se obtin astfel :

Deformatia unghiulara

( 5 . 9 )

Sageata

( 5 . 10 )

C1 ,C2 fiind constante de integrare ce se determina din conditiile initiale :

- in articulatie si reazem simplu , sageata este nula ;

- in incastrare , unghiul si sageata sunt nule .

Integrarea analitica a ecuatiei fibrei medii deformate se recomanda in cazurile in care bara are o incarcare simpla , unul , doua campuri ( tronsoane ) . La trecerea de la un tronson la altul , trebuiesc respectate conditiile de continuitate: sageata si unghiul de ratatie sa aibe aceleasi valori la limita dintre cele doua tronsoane .

In punctul in care momentul invovoietor se anuleaza , fibra medie deformata are punc de inflexiune ( isi schimba curbura ).

Exemple DE CALCUL

In continuare se vor studia cateva exemple simple de calcul al deformatiilor la incovoiere :

EXEMPLUL 1

Calculul deformatiilor la o bara incastrata la un capat , libera la celalalt , solicitata de o forta concentrata la capatul liber .( figura 5 . 2)

In sectiunea situata la distanta x de capatul liber B , momentulincovoietor este :

( 5 . 11 )

Ecuatia fibrei medii deformate devine :

( 5 .12 )

Calculul deformatiei unghiulare :

(5 . 13 )

Constanta de integrare se determina din conditia la limita :

x=l => j

(5 . 14 )

Deci :    ( 5 . 15 )

Rotirea maxima se produce in incastrare , pentru x=0 :

( 16 )

Calculul deformatiei pe verticala ( sagetii )

(5 . 17 )

Constanta de integrare se determina din conditiile la limita :

x=l => v=0 :



(5 . 18 )

Deci : (5 . 19 )

Sageata maxima are loc la capatul liber , pentru x=0:

(5 . 20 )

EXEMPLUL 2

Calculul deformatiilor la o bara dreapta incastrata la un capat , libera la celalalt , actionata de o forta uniform distribuita pe toata lungimea ( Fig.3):

Momentul incovoietor in sectiunea x este :

(5 . 21 )

Ecuatia fibrei medii deformate devine :

( 22 )

1) Calculul deformatiei unghiulare :

Constanta de integrare C1 se determina din conditiile la limita :

x=l => j

( 23 )

Deci :     ( 5 . 24 )

Rotirea maxima are loc in incastrare , pentru x=0:

( 25 )

. Calculul deformatiei pe verticala ( sagetii )

(5 . 26 )

Constanta de integrare C2 se determina din conditiile la limita :

x=l => v=0

(5 . 27 )

Deci sageata este :

( 5 . 28 )

iar sageata maxima din capatul liber este :

(5 . 29 )

EXEMPLUL 3

Calculul deformatiilor pentru bara simplu rezemata , solicitata de o forta concentrata la mijloc(fig.4 ).

Intr-o sectiune curenta situata la distanta x de reazemul simplu , momentul incovoietor este :

( 5 . 30 )

Ecuatia fibrei medii deformate devine :

( 5 . 31 )

Calculul deformatiei unghiulare

( 5 . 32 )

Constanta de integrare C1 se determina din conditiile la limita :

x=l/2 , j

( 33 )

deci:   

( 34 )

Rotirile maxime se obtin in reazeme :

( 35 )

Calculul deplasarii pe verticala ( sagetii)

( 5 .36)

( 5 . 36')

Din conditiile la limita se determina constanta de integrare C2 :

x=0 , x=l , => C2=0.

Deci:   

( 37 )

Sageata maxima se obtine la jumatatea barei , pentru x=l/2 :

(5 . 38 )

EXEMPLUL 4 Calculul deformatiilor pentru o bara simplu rezemata , solicitata de o sarcina uniform distribuita pe toata lungimea ei ( fig.5 ):

Momentul incovoietor in sectiunea situata la distanta x de reazemul simplu este :

( 39 )

Ecuatia fibrei medii deformate devine :

( 40 )

Calculul deformatiei unghiulare

( 5 . 41 )

Constanta de integrare se obtine din conditiile la limita : x=l/2 =>j

( 5 . 42 )

Deci : ( 5 . 43 )

Rotirea maxima are loc in reazeme :

(5 . 44 )

Calculul deplasarii pe verticala ( sagetii )

( 45 )

Constanta de integrare se determina din conditiile la limita : x=0 => v=0 => C2 =0

Deci : (5 . 46 )

Sageata maxima se obtine la mijlocul barei , pentru x=l/2 :

(5 .47)

OBSERVATII

Calculul deformatiilor prin integrarea ecuatiei diferentiale a fibrei medii deformate este dificil in cazul in care apar mai multe solicitari in lungul barei . De aceea se adopta metode mai simple de calcul . Una dintre aceste metode este cea a barei conjugate sau metoda barei reciproce .

METODA BAREI RECIPROCE PENTRU CALCULUL DEFORMATIILOR

Prin bara reciproca sau bara conjugata se intelege , bara data initial incarcata cu o sarcina fictiva , sarcina fictiva pf , fiind diagrama de moment incovoietor din lungul barei:

(5 . 48 )

Ecuatia fibrei medii deformate devine :

( 5 . 49 )

Dar se cunoasc pentru incarcarea fictiva urmatoarele relatii diferentiale intre eforturi :

( 50 )




Daca pentru sarcina fictiva se construiesc diagramele de eforturi in lungul axei barei Tf si Mf rezulta :

( 51 )

Deci prin integrare :

( 52 )

sau : variatia deformatiei unghiulare in lungul axei barei solicitate la incovoiere , se obtine prin impartirea diagramei de forta taietoare fictiva la modulul de rigiditate la incovoiere Eiz .

Prin derivarea primei forme a relatiei ( 5 . 52 ) se obtine :

( 53 )

sau : sageata in lungul axei barei solicitate la incovoiere se obtine impartind diagrama de moment incovoietor fictiv prin EIz .

Aceste relatii sunt valabile in cazul in care constantele de integrare sunt nule . Cercetarile arata ca in cazul arelor incastrate le un capat , libere la celalalt , unghiul si sageata sunt nule in incastrare .Aceasta implica ca grinda reciproca sa aibe in acel punct forta taietoare si momentul incovoietor nule . Acest rezultat se obtine daca grinda reciproca are capatul liber acolo unde grinda reala are incastrarea , si incastrarea la capatul liber (figura6).

Deci :

-reciproca barei incastrate este tot o bara incastrata la capatul liber al grinzii reale si libera la capatul incastrat ( figura 6 );

-reciproca barei simplu rezemata este tot o bara simplu rezemata ( figura 7 );

-reciproca unei bare cu doua reazeme simple si cu o consola la un capat este o grinda la care reazemul simplu de la capat ramane reazem simplu , reazemul simplu intermediar devine articulatie , iar capatul liber al consolei devine incastrare .in mod analog se procedeaza la grinda cu doua console .

Metoda grinzii conjugate are dezavantajul ca , diagrama de moment devine o incarcare complexa , calculul fortei taietoare fictive si a momentului incovoietor fictiv devin dificil de calculat , deci , cu toate ca nu trebuiesc calculate constante de integrare,metoda se foloseste doar in cazul unor ncarcari simple .

EXEMPLUL NR . 1Calculul deformatiilor pentru bara simplu rezemata solicitata de o forta concentrata la mijloc ( figura 8 ) , prin metoda grinzii reciproce .

Sarcina totala ce actioneaza asupra grinzii reciproce( sarcina fictiva totala) :

( 5 . 54 )

Reactiunile grinzii reciproce sunt:

( 55 )

( grinda reciproca fiind simetrica din punct de vedere geometric si mecanic )

Prin urmare , unghiul pe reazem al grinzii este egal cu forta taietoare fictiva ( deci cu reactiunea grinzii reciproce ) impartite prin EIz :

( 5 .56)

Forta taietoare fictiva intr-o sectiune situata la distanta x de reazemul 1 va fi :

(5 . 57 )

Panta fibrei medii deformate intr-o sectiune oarecare va fi :

( 58 )

Se verifica in reletia ( 58 ) ca pentru x=l/2 => j

Momentul incovoietor fictiv este :

(5 . 59 )

Sageata intr-o sectiune oarecare va fi :

(5 . 60)

Sageata maxima se obtine pentru x=l/2:

(5 . 61 )

4 CALCULUL DEFORMATIILOR DE INCOVOIERE

CU AJUTORUL PRINCIPIULUI SUPRAPUNERII EFECTELOR

In cazul in care incarcarea este complexa , diagramele de eforturi de asemenea devin complexe , calculul deformatiilor este greoi . De aceea se poate aplica cu succes principiul suprapunerii efectelor :

Daca asupra unui element de rezistenta actioneaza sistemul de forte F1 ,intr-o sectiune sageata este v1 , daca asupra aceluiasi element actioneaza sistemul de forte F2 , sageata in aceeasi sectiune este v2. Cand cele doua sisteme de forte actioneaza simultan , in sectiunea mentionata , sageata se va putea calcula prin insumarea celor doua sageti calculate in mod independent :

( 62 )

EXEMPLU Pentru bara incastrata din figura 9 sa se calculeze sageata maxima .

Asa cum s-a spus , deformatia maxima se poate calcula insumand relatiile : (5 . 20 ) si (5 . 29 ) pentru calculul sagetii maxime :

( 5 . 63 )

si a relatiilor ( 16 ) cu (5 . 25 ) pentru calculul rotirii maxime :

( 5 . 64 )







Politica de confidentialitate





Copyright © 2023 - Toate drepturile rezervate