	Aeronautica	Comunicatii	Constructii	Electronica	Navigatie	Pompieri
	Tehnica mecanica

Tehnica mecanica

Index » inginerie » Tehnica mecanica
» DEFORMATIILE BARELOR DREPTE SOLICITATE LA INCOVOIERE

DEFORMATIILE BARELOR DREPTE SOLICITATE LA INCOVOIERE

DEFORMATIILE BARELOR DREPTE SOLICITATE LA INCOVOIERE

1 generalitATi

Prin solicitarea de incovoiere , barele se deformeaza si iau forme curbe . Studiul acestor deformatii se impune datorita urmatoarelor considerente :

-in toate cazurile de rezolvare a problemelor static nedeterminate la incovoiere este necesar sa apelam la relatiile de deformare ;

-exista situatii in care barele solicitate la incovoiere trebuie sa indeplineasca unele conditii limita de deformare .

Studiul deformatiilor barelor drepte solicitate la incovoiere se face asupra axei barei , care dupa deformare poarta numele de fibra medie deformata .

Se considera o bara dreapta , simplu rezemata , solicitata la incovoiere de un sistem de forte ce actioneaza in planul sectiunii transversale : F_i ( i=1,2,.,n) , ( figura 1 ).

Starea de deformatie a unei sectiuni de abscisa x (fig.1 ) :, se caracterizeaza prin urmatoarele marimi geometrice

- deplasarea pe verticala y=v , denumita sageata , si care rezulta din ecuatia fibrei medii deformate : ( 5 . 1 )

-rotirea sectiunii j , sau inclinarea fibrei medii deformate , care se obtine din derivarea ecuatiei fibrei medii deformate :

( 5 . 2 )

-raza de curbura r a fibrei medii deformate .In geometria diferentiala se demonstreaza:

( 5 . 3 )

unde : ( 5 . 4 )

relatia ( 3 ) devine :

( 5 . 5 )

Dar din relatia lui Navier se poate scrie :

( 5 . 6 )

rezulta ca :

( 5 . 7 )

Din figura ( 5 . 1 ) rezulta ca derivata a doua a ecuatiei fibrei medii deformate este negativa , cand momentul incovoietor este pozitiv.Prin urmare in relatia ( 5 .7 )trebuie introdus semnul ( - ) :

(5 . 7' )

unde M , reprezinta momentul incovoietor ce deformeaza bara.

In cazul solicitarii de incovoiere pura , M=const , deci deformatia are loc dupa un arc de cerc .

Daca modulul de rigiditate la incovoiere E I_z este constant , tinand cont de relatiile diferentiale intre eforturi ,ecuatiile diferentiale aproximative de ordin superior ale fibrei medii deformate sunt :

( 5 . 8 )

Studiul deformatiilor se bazeaza pe efectuarea integrarii ecuatiei ( 5 . 7' ) .Se obtin astfel :

Deformatia unghiulara

( 5 . 9 )

Sageata

( 5 . 10 )

C_{1 ,}C₂ fiind constante de integrare ce se determina din conditiile initiale :

- in articulatie si reazem simplu , sageata este nula ;

- in incastrare , unghiul si sageata sunt nule .

Integrarea analitica a ecuatiei fibrei medii deformate se recomanda in cazurile in care bara are o incarcare simpla , unul , doua campuri ( tronsoane ) . La trecerea de la un tronson la altul , trebuiesc respectate conditiile de continuitate: sageata si unghiul de ratatie sa aibe aceleasi valori la limita dintre cele doua tronsoane .

In punctul in care momentul invovoietor se anuleaza , fibra medie deformata are punc de inflexiune ( isi schimba curbura ).

Exemple DE CALCUL

In continuare se vor studia cateva exemple simple de calcul al deformatiilor la incovoiere :

EXEMPLUL 1

Calculul deformatiilor la o bara incastrata la un capat , libera la celalalt , solicitata de o forta concentrata la capatul liber .( figura 5 . 2)

In sectiunea situata la distanta x de capatul liber B , momentulincovoietor este :

( 5 . 11 )

Ecuatia fibrei medii deformate devine :

( 5 .12 )

Calculul deformatiei unghiulare :

(5 . 13 )

Constanta de integrare se determina din conditia la limita :

x=l => j

(5 . 14 )

Deci : ( 5 . 15 )

Rotirea maxima se produce in incastrare , pentru x=0 :

( 16 )

Calculul deformatiei pe verticala ( sagetii )

(5 . 17 )

Constanta de integrare se determina din conditiile la limita :

x=l => v=0 :

(5 . 18 )

Deci : (5 . 19 )

Sageata maxima are loc la capatul liber , pentru x=0:

(5 . 20 )

EXEMPLUL 2

Calculul deformatiilor la o bara dreapta incastrata la un capat , libera la celalalt , actionata de o forta uniform distribuita pe toata lungimea ( Fig.3):

Momentul incovoietor in sectiunea x este :

(5 . 21 )

Ecuatia fibrei medii deformate devine :

( 22 )

1) Calculul deformatiei unghiulare :

Constanta de integrare C₁ se determina din conditiile la limita :

x=l => j

( 23 )

Deci : ( 5 . 24 )

Rotirea maxima are loc in incastrare , pentru x=0:

( 25 )

. Calculul deformatiei pe verticala ( sagetii )

(5 . 26 )

Constanta de integrare C₂ se determina din conditiile la limita :

x=l => v=0

(5 . 27 )

Deci sageata este :

( 5 . 28 )

iar sageata maxima din capatul liber este :

(5 . 29 )

EXEMPLUL 3

Calculul deformatiilor pentru bara simplu rezemata , solicitata de o forta concentrata la mijloc(fig.4 ).

Intr-o sectiune curenta situata la distanta x de reazemul simplu , momentul incovoietor este :

( 5 . 30 )

Ecuatia fibrei medii deformate devine :

( 5 . 31 )

Calculul deformatiei unghiulare

( 5 . 32 )

Constanta de integrare C₁se determina din conditiile la limita :

x=l/2 , j

( 33 )

deci:

( 34 )

Rotirile maxime se obtin in reazeme :

( 35 )

Calculul deplasarii pe verticala ( sagetii)

( 5 .36)

( 5 . 36')

Din conditiile la limita se determina constanta de integrare C₂ :

x=0 , x=l , => C₂=0.

Deci:

( 37 )

Sageata maxima se obtine la jumatatea barei , pentru x=l/2 :

(5 . 38 )

EXEMPLUL 4 Calculul deformatiilor pentru o bara simplu rezemata , solicitata de o sarcina uniform distribuita pe toata lungimea ei ( fig.5 ):

Momentul incovoietor in sectiunea situata la distanta x de reazemul simplu este :

( 39 )

Ecuatia fibrei medii deformate devine :

( 40 )

Calculul deformatiei unghiulare

( 5 . 41 )

Constanta de integrare se obtine din conditiile la limita : x=l/2 =>j

( 5 . 42 )

Deci : ( 5 . 43 )

Rotirea maxima are loc in reazeme :

(5 . 44 )

Calculul deplasarii pe verticala ( sagetii )

( 45 )

Constanta de integrare se determina din conditiile la limita : x=0 => v=0 => C₂ =0

Deci : (5 . 46 )

Sageata maxima se obtine la mijlocul barei , pentru x=l/2 :

(5 .47)

OBSERVATII

Calculul deformatiilor prin integrarea ecuatiei diferentiale a fibrei medii deformate este dificil in cazul in care apar mai multe solicitari in lungul barei . De aceea se adopta metode mai simple de calcul . Una dintre aceste metode este cea a barei conjugate sau metoda barei reciproce .

METODA BAREI RECIPROCE PENTRU CALCULUL DEFORMATIILOR

Prin bara reciproca sau bara conjugata se intelege , bara data initial incarcata cu o sarcina fictiva , sarcina fictiva p_f , fiind diagrama de moment incovoietor din lungul barei:

(5 . 48 )

Ecuatia fibrei medii deformate devine :

( 5 . 49 )

Dar se cunoasc pentru incarcarea fictiva urmatoarele relatii diferentiale intre eforturi :

( 50 )

Daca pentru sarcina fictiva se construiesc diagramele de eforturi in lungul axei barei T_f si M_f rezulta :

( 51 )

Deci prin integrare :

( 52 )

sau : variatia deformatiei unghiulare in lungul axei barei solicitate la incovoiere , se obtine prin impartirea diagramei de forta taietoare fictiva la modulul de rigiditate la incovoiere Ei_z .

Prin derivarea primei forme a relatiei ( 5 . 52 ) se obtine :

( 53 )

sau : sageata in lungul axei barei solicitate la incovoiere se obtine impartind diagrama de moment incovoietor fictiv prin EI_z .

Aceste relatii sunt valabile in cazul in care constantele de integrare sunt nule . Cercetarile arata ca in cazul arelor incastrate le un capat , libere la celalalt , unghiul si sageata sunt nule in incastrare .Aceasta implica ca grinda reciproca sa aibe in acel punct forta taietoare si momentul incovoietor nule . Acest rezultat se obtine daca grinda reciproca are capatul liber acolo unde grinda reala are incastrarea , si incastrarea la capatul liber (figura6).

Deci :

-reciproca barei incastrate este tot o bara incastrata la capatul liber al grinzii reale si libera la capatul incastrat ( figura 6 );

-reciproca barei simplu rezemata este tot o bara simplu rezemata ( figura 7 );

-reciproca unei bare cu doua reazeme simple si cu o consola la un capat este o grinda la care reazemul simplu de la capat ramane reazem simplu , reazemul simplu intermediar devine articulatie , iar capatul liber al consolei devine incastrare .in mod analog se procedeaza la grinda cu doua console .

Metoda grinzii conjugate are dezavantajul ca , diagrama de moment devine o incarcare complexa , calculul fortei taietoare fictive si a momentului incovoietor fictiv devin dificil de calculat , deci , cu toate ca nu trebuiesc calculate constante de integrare,metoda se foloseste doar in cazul unor ncarcari simple .

EXEMPLUL NR . 1Calculul deformatiilor pentru bara simplu rezemata solicitata de o forta concentrata la mijloc ( figura 8 ) , prin metoda grinzii reciproce .

Sarcina totala ce actioneaza asupra grinzii reciproce( sarcina fictiva totala) :

( 5 . 54 )

Reactiunile grinzii reciproce sunt:

( 55 )

( grinda reciproca fiind simetrica din punct de vedere geometric si mecanic )

Prin urmare , unghiul pe reazem al grinzii este egal cu forta taietoare fictiva ( deci cu reactiunea grinzii reciproce ) impartite prin EI_z :

( 5 .56)

Forta taietoare fictiva intr-o sectiune situata la distanta x de reazemul 1 va fi :

(5 . 57 )

Panta fibrei medii deformate intr-o sectiune oarecare va fi :

( 58 )

Se verifica in reletia ( 58 ) ca pentru x=l/2 => j

Momentul incovoietor fictiv este :

(5 . 59 )

Sageata intr-o sectiune oarecare va fi :

(5 . 60)

Sageata maxima se obtine pentru x=l/2:

(5 . 61 )

4 CALCULUL DEFORMATIILOR DE INCOVOIERE

CU AJUTORUL PRINCIPIULUI SUPRAPUNERII EFECTELOR

In cazul in care incarcarea este complexa , diagramele de eforturi de asemenea devin complexe , calculul deformatiilor este greoi . De aceea se poate aplica cu succes principiul suprapunerii efectelor :

Daca asupra unui element de rezistenta actioneaza sistemul de forte F₁,intr-o sectiune sageata este v₁ , daca asupra aceluiasi element actioneaza sistemul de forte F₂ , sageata in aceeasi sectiune este v₂. Cand cele doua sisteme de forte actioneaza simultan , in sectiunea mentionata , sageata se va putea calcula prin insumarea celor doua sageti calculate in mod independent :