CINEMATICA PUNCTULUI

Cinematica punctului studiaza miscarile mecanice ale corpurilor, fara a lua in considerare masa acestora si fortele care actioneaza asupra lor. Cinematica face un studiu geometric al miscarilor din care cauza aceasta parte a mecanicii se mai numeste si geometria miscarilor. Cinematica foloseste notiunile fundamentale de spatiu si timp. Spatiul se considera absolut, euclidian si tridimensional, iar timpul un parametru scalar independent de spatiu si continuu crescator. Notiunea de miscare este relativa. Miscarea se raporteaza in general la un reper sau sistem de referinta. Daca reperul este fix, miscarea se numeste absoluta iar daca reperul este mobil, miscarea se numeste relativa

1. NOTIUNI FUNDAMENTALE

1.1. LEGEA DE MISCARE

Miscarea unui punct M este cunoscuta daca, in orice moment t, se poate preciza pozitia acestuia in raport cu un reper presupus fix, definita de vectorul de pozitie ca functie de timp (fig.1).

(1)

Pentru a defini miscarea reala, functia vectoriala descrisa de ecuatia (1), trebuie sa fie continua, uniforma, finita in modul si de doua ori derivabila. Ea constituie legea de miscare

1.2. TRAIECTORIA

Traiectoria este locul geometric al pozitiilor succesive ocupate de punct in miscare. Referitor la traiectorie, se intalnesc doua cazuri:

Cazul 1. Se cunoaste pozitia punctului, data prin functiile scalare, care definesc vectorul variabil (fig.2) si se cere sa se determine traiectoria.

Daca functia vectoriala este definita cartezian se poate scrie:

(2)

unde sunt versorii axelor Ox, Oy si Oz, ale sistemului cartezian.

Proiectiile pe axe ale vectorului reprezinta coordonatele punctului M in sistemul cartezian Oxyz, sunt functii scalare de timp si se numesc ecuatii parametrice ale traiectoriei, parametrul fiind timpul t.

(3)

Prin eliminarea parametrului t in ecuatiile parametrice (3) se obtine traiectoria, ca intersectie a doua plane:

(4)

k

Cazul 2. Se cunoaste traiectoria punctului, curba (C), si se cere sa se determine pozitia acestuia. Daca traiectoria este o curba continua, rectificabila si are in orice punct o tangenta unica, pozitia punctului se poate determina utilizand un singur parametru scalar, care este coordonata curbilinie s (fig.3).

Punctul M se deplaseaza pe curba (C) in sensul indicat de sageata. Pentru a indica pozitia la un moment dat a punctului se alege ca reper punctul M₀, care constituie originea arcelor, sensul de parcurs fiind indicat de sageata.

Pozitia punctului M pe curba, in timp este determinata de ecuatia orara a miscarii sau legea orara a miscarii:

(5)

1.3. VITEZA

Viteza este o marime vectoriala atasata punctului care precizeaza directia si sensul in care se efectueaza miscarea.

Se considera doua pozitii succesive M₁ si M₂ ale punctului M in miscarea pe curba (C), la momentele t si respectiv t+Dt, caracterizate prin vectorii de pozitie , respectiv (fig.4). Intervalul de timp Dt fiind foarte mic, se poate asimila elementul de arc M₁M₂, cu elementul de coarda M₁M₂, care reprezina modulul vectorului

Raportul se numeste viteza medie a punctului M. Cum de regula intereseaza directia si sensul miscarii in orice moment pe curba (C), se calculeaza viteza instantanee. Aceasta se realizeaza cand intervalul de timp sau .

Trecand la limita, rezulta viteza instantanee intr-un punct:

(6)

Relatia (6), arata ca viteza unui punct este egala cu derivata vectorului de pozitie al punctului, in raport cu timpul (derivata in raport cu timpul a functiilor scalare sau vectoriale se va nota, in general, cu un punct, deasupra).

Viteza este tangenta la traiectorie in punctul respectiv:

(7)

unde:

(8)

este versorul tangentei.

1.4. ACCELERATIA

Acceleratia este o marime vectoriala atasata punctului in miscare si arata modul de variatie al vitezei acestui punct in decursul miscarii, ca modul, directie si sens.

Se considera doua pozitii succesive M₁ si M₂ ale punctului M in miscare pe curba (C), la momentele t si respectiv t+Dt, avand vitezele si (fig.5). Variatia vitezei in intervalul de timp Dt este:

Raportul masoara variatia vitezei in timp si se numeste acceleratie medie. Prin trecerea la limita, aceasta realizandu-se cand intervalul de timp sau , rezulta acceleratia instantanee

(9)

Daca se continua derivarea in raport cu timpul, a vectorului de pozitie , se obtin vectori care se numesc acceleratii de ordin superior. Astfel, derivata a treia in raport cu timpul a vectorului de pozitie, se numeste acceleratie de ordinul al doilea sau supraacceleratie.

1.5. VITEZA SI ACCELERATIA UNGHIULARA

Sunt cazuri cand pozitia unui punct pe traiectorie se poate preciza cu ajutorul unui unghi la centru q, ca in cazul miscarii circulare. Considerand ca reper, diametrul orizontal, legea de miscare a punctului M pe cerc este definita de functia:

(10)

Se considera doua pozitii succesive M₁ si M₂ ale punctului M in miscarea pe cerc, la momentele t si respectiv t+Dt, avand unghiurile la centru si (fig.6). Variatia unghiulara in intervalul de timp Dt este:

Raportul se numeste viteza unghiulara medie a punctului M. Prin trecerea la limita, aceasta realizandu-se cand intervalul de timp sau , rezulta viteza unghiulara  instantanee:

(11)

Considerand pozitiile succesive M₁ si M₂ ale punctului M in miscare pe cerc, la momentele t si respectiv t+Dt, avand vitezele unghiulare si , variatia vitezei unghiulare in intervalul de timp Dt este:

Raportul masoara variatia vitezei unghiulare in timp si se numeste acceleratie unghiulara medie. Prin trecerea la limita cand intervalul de timp sau , rezulta acceleratia unghiulara instantanee

(12)

Prin conventie, viteza unghiulara poate fi considerata un vector al carui suport este o dreapta perpendiculara pe planul traiectoriei, care trece prin punctul O. Sensul pozitiv al vectorului viteza unghiulara este dat de regula surubului, care se roteste in sensul de deplasare al punctului M. In mod similar se defineste si vectorul acceleratie unghiulara

2. STUDIUL MISCARII PUNCTULUI

8.2.1.     STUDIUL MISCARII IN COORDONATE CARTEZIENE

A cunoaste miscarea punctului, inseamna a cunoaste in orice moment vectorul de pozitie , viteza si acceleratia acestuia (fig.7).

Vectorul de pozitie are expresia:

(13)

Ecuatiile parametrice ale traiectoriei sunt:

(14)

Traiectoria sau curba (C) se obtine prin eliminarea parametrului t, in ecuatiile parametrice ale miscarii.

Viteza se obtine ca derivata vectorului de pozitie in raport cu timpul:

(15)

Componentele vitezei sunt:

(16)

Modulul vitezei este:

(17)

Directiile pe care le formeaza suportul vectorului viteza cu axele sistemului cartezian Oxyz sunt date de cosinusii directori:

(18)

Acceleratia se obtine ca derivata in raport cu timpul a vitezei punctului sau derivata de doua ori in raport cu timpul, a vectorului de pozitie:

(19)

Componentele acceleratiei sunt:

(20)

Modulul acceleratiei este:

(21)

Directiile pe care le formeaza suportul vectorului acceleratie cu axele sistemului cartezian Oxyz sunt date de cosinusii directori:

(22)

2.2. STUDIUL MISCARII IN COORDONATE POLARE

Sistemul de coordonate polare este un sistem plan, pozitia punctului M pe curba (C) determinandu-se cu ajutorul coordonatelor polare: raza polara r si unghiul polar q (fig.9).

(29)

Ecuatiile (29) reprezinta ecuatiile parametrice ale miscarii in coordonate polare.

Eliminand timpul, rezulta ecuatia traiectoriei.

(30)

Versorii sistemului de coordonate polare sunt si , variabili in timp ca directie, intrucat se misca odata cu punctul M. In timpul miscarii, versorii si raman ortogonali.

Versorii si pot fi exprimati in functie de versorii si ai sistemului de axe cartezian, care sunt versori constanti in timp.

(31)

Derivand in raport cu timpul, rezulta:

(32)

Vectorul de pozitie al punctului M se exprima in functie de versorul

(33)      

Intrucat expresiile , si sunt functii de timp, viteza este:

(34)

Cum expresia vitezei exprimata prin proiectii pe axe este de forma:

(35)

rezulta componentele vitezei in coordonate polare:

(36)

Componentele si fiind perpendiculare, modulul vitezei este:

(37)

Intrucat expresiile sunt functii de timp, acceleratia este:

(38)

Cum expresia acceleratiei exprimata prin proiectii pe axe este:

(39)

rezulta componentele acceleratiei in coordonate polare:

(40)

Modulul acceleratiei este:

(41)

8.2.3.     STUDIUL MISCARII IN COORDONATE CILINDRICE

Pozitia punctului M pe curba se determina cu ajutorul coordonatelor cilindrice: unghiul polar q, raza polara r, cota z (fig.10).

Ecuatiile parametrice ale traiectoriei sunt:

(42)

unde:

Directiile axelor sistemului de coordonate sunt ortogonale si au versorii: - pentru raza polara OM’, - pentru o directie perpendiculara pe raza polara, - pentru axa Oz.

Ecuatia curbei (C) se obtine eliminand timpul in ecuatiile parametrice ale traiectoriei:

(43)

Vectorul de pozitie al punctului M, in miscarea pe curba (C) este:

(44)

Avand in vedere ca:

(45)

prin derivarea in raport cu timpul a vectorului de pozitie, definit de relatia (44) se obtine viteza punctului M:

(46)

Cum viteza, in sistemul de coordonate cilindrice, poate fi scrisa sub forma:

(47)

se obtin componentele vitezei in sistemul de coordonate cilindrice:

(48)

a carei marime este data de expresia:

(49)

Cu mentiunea (45), acceleratia punctului M devine:

(50)

Cum:

(51)

componentele acceleratiei pe axele sistemului de coordonate cilindrice sunt:

(52)

Marima acceleratiei este:

(53)

8.2.4.     STUDIUL MISCARII IN COORDONATE NATURALE

Sistemul de coordonate natural numit si intrinsec sau triedrul Frenet este un sistem de referinta mobil (fig.11), cu originea in punctul M, care efectueaza miscarea si avand ca axe:

tangenta, cu versorul , pozitiv in sensul cresterii parametrului scalar s, masurat de la originea arcelor, M₀;

normala principala, cu versorul pozitiv inspre centrul de curbura;

binormala, cu versorul definit astfel incat versorii sa formeze un sistem triortogonal drept ().

Planele determinate de cei trei vectori se numesc: osculator, rectifiant si normal.

Pentru determinarea componentelor vitezei si ale acceleratiei in triedrul Frenet, se va utiliza relatia de definitie a tangentei la o curba

(54)

si formula Frenet:

(55)

in care r este raza de curbura in punctul M.

Sistemul natural se utilizeaza cand se cunoaste ecuatia orara a miscarii (5), .

Vectorul de pozitie se poate exprima in functie de elementul de arc, s:

(56)

Viteza se obtine derivand vectorul de pozitie in raport cu timpul si tinand seama de relatia (54):

(57)

Componentele vitezei pe axele triedrului Frenet sunt:

(58)

Rezulta ca viteza este dirijata dupa directia tangentei si are modulul:

(59)

Acceleratia se obtine derivand viteza in raport cu timpul si tinand seama de relatia (55):

(60)

Componentele acceleratiei pe axele triedrului Frenet sunt

(61)

Modulul acceleratiei este:

(62)

Acceleratia are componenta pe binormala, nula, in tot timpul miscarii, vectorul acceleratie fiind situat in planul osculator (fig.12).

Observatii

1.     Daca , miscarea este uniforma;

2.     Acceleratia este zero daca ambele componente ale acesteia sunt nule:

Singura miscare in care acceleratia este nula este miscarea rectilinie si uniforma.

3.     Componenta tangentiala a acceleratiei exprima variatia vitezei in modul, iar componenta normala , variatia vitezei in directie.

4.     Daca , miscarea este accelerata, daca , miscarea este incetinita (decelerata).

8.3.1.        MISCAREA CIRCULARA

8.3.1.1.         STUDIUL MISCARII IN COORDONATE CARTEZIENE

Punctul M se misca pe o traiectorie circulara de raza R, avand legea de miscare, viteza si acceleratia unghiulara date de expresiile:

(79)

Sistemul cartezian este ales cu originea O, in centrul cercului (fig.21). Ecuatiile parametrice ale traiectoriei sunt:

(80)

Prin eliminarea parametrului t, aflat implicit in legea de miscare q(t) va rezulta traiectoria, care este cercul de raza R cu centrul in originea O:

(81)

Componentele vitezei pe axele sistemului cartezian sunt:

(82)

Vectorul viteza are expresia:

(83)

si este tangent la traiectorie, adica perpendicular pe , deoarece produsul scalar este nul:

Modulul vitezei este:

(84)

Componentele acceleratiei se obtin prin derivarea componentelor vitezei:

(85)

Vectorul acceleratie are expresia:

(86)

si modulul:

(87)

8.3.1.2.         STUDIUL MISCARII CIRCULARE IN COORDONATE POLARE

Ecuatiile parametrice ale miscarii circulare in coordonate polare sunt:

(88)

Din relatiile (88) se deduc:

(89)

Viteza punctului in coordonate polare are expresia:

(90)

Acceleratia punctului in coordonate polare are expresia:

(91)

Marimea acceleratiei este:

                  (92)

8.3.1.3.         STUDIUL MISCARII CIRCULARE IN COORDONATE NATURALE

Punctul M se misca pe cercul de raza R, avand legea de miscare, viteza si acceleratia unghiulara date de expresiile:

(93)

Ecuatia orara a miscarii, (fig.23) este:

(94)

Vectorul viteza are expresia:

(95)

Componentele vitezei sunt:

(96)

iar modulul:

(97)

Vectorul acceleratie este:

(98)

Componentele acceleratiei sunt:

(99)

Modulul acceleratiei este:

(100)

Cazuri particulare: 1. miscarea circulara uniforma

Se caracterizeaza prin viteza unghiulara constanta, , deci . Caracteristicile unghiulare ale miscarii sunt:

(101)

2. miscarea circulara uniform variata

Se caracterizeaza prin acceleratie unghiulara constanta, . Caracteristicile unghiulare ale miscarii sunt:

(102)