Forme particulare ale seriei Fourier

Forme particulare ale seriei Fourier

Examinand graficul functiei se pot stabili eventualele simetrii ale curbei, care simplifica calculul coeficientilor Fourier, in sensul ca anumite armonice ar putea lipsi din dezvoltare. Sa analizam unele forme particulare.

1. Functia para (fig. 3.)

Curba este simetrica fata de axa ordonatelor , iar seria contine componenta continua si armonicele in cosinus .

Intr-adevar si si deci: iar

de unde rezulta : sau si seria devine : (8)

Functia impara (fig. 4)

Curba este simetrica fata de origine, , si in dezvoltare apar numai armonicele in sinus. Aceasta rezulta din identitatea :

Identificand coeficientii, rezulta , iar seria ia forma:

(9)

25.3. Functia alternativ simetrica (fig. 5)

Curba simetrica fata de abscisa dupa suprapunerea semiperioadelor se defineste prin relatia . Seria contine numai armonice impare in sinus si cosinus (). Intr-adevar

a) Daca

se obtine:   

b) Daca :

se obtine:

Deci in final seria se scrie: (10)

Observatii

Functia alternativ simetrica este utilizata frecvent in electrotehnica, motiv pentru care se mai numeste si "functie electrotehnica".

Functia alternativ simetrica para poseda simetrie fata de abscisa dupa suprapunerea semiperioadelor (fig. 5) si simetrie fata de ordonata:

Seria contine numai armonice impare in cosinus:

(11)

Functia alternativ simetrica impara are simetrie fata de abscisa dupa

suprapunerea semiperioadelor si simetrie fata de origine (fig. 6)

Seria contine numai armonice impare in sinus;

(12)