Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune.stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme




Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
» Tangenta si planul normal intr-un punct al unei curbe


Tangenta si planul normal intr-un punct al unei curbe




Tangenta si planul normal intr-un punct al unei curbe

Ca si in cazul curbelor plane, tangenta in punctul al curbei Γ se defineste ca pozitia limita a secantei cand punctul P de pe curba Γ tinde catre .

Planul normal la curba Γ in punctul este planul care trece prin punctul si este perpendicular pe tangenta in acest punct la curba.




Pentru a gasi reprezentarea analitica a tangentei vom considera doua cazuri, dupa cum curba este definita prin ecuatii implicite sau prin ecuatii parametrice.

Tangenta si planul normal intr-un punct al unei curbe definite
prin ecuatii implicite

Fie si un punct al curbei Γ, adica: .

Derivabilitatea functiilor F si G in inseamna ca exista o vecinatate a acestui punct in care au loc urmatoarele egalitati:

(3.1)

in care α si β sunt functii care tind catre zero cand punctul tinde catre punctul , iar inseamna distanta de la punctul la punctul P.

Daca punctul P din vecinatatea lui se afla si el pe curba, inseamna ca , iar din (3.1) rezulta:

(3.2)

Consideram vectorii:

(3.3)

Mentionam ca acesti vectori se numesc gradientii functiilor F si G in si au notatia consacrata.

Folosind relatiile (3.2) si (3.3), obtinem cosinusurile unghiurilor dintre acesti vectori si vectorul definit de sageata cu sursa in si capatul in P:

Deoarece si tind catre zero cand punctul P de pe curba Γ tinde catre punctul , rezulta ca atunci cand P tinde catre
secanta devine perpendiculara pe gradientii in ai functiilor F si G.

Asadar ecuatiile tangentei la curba Γ in se obtin punand conditia ca, pentru orice punct de pe tangenta, vectorul de sursa si capat Q
sa fie perpendicular pe gradientii in ai functiilor F si G:

(3.4)

In ceea ce priveste planul normal la curba Γ in punctul , cunoastem deja doi vectori situati in acest plan, si anume gradientii in ai functiilor F si G, care am vazut ca sunt perpendiculari pe tangenta.

Prin urmare, notand tot coordonatele unui punct Q aflat de asta data in planul normal, conditia ce trebuie sa o indeplineasca aceste coordonate este ca vectorul sa fie coplanar cu gradientii in ai functiilor F si G. Asadar produsul mixt al celor trei vectori trebuie sa fie egal cu zero.



Folosind formula de calculare a produsului mixt a trei vectori, obtinem ecuatia planului normal la curba Γ in punctul :

(3.5)

Tangenta si planul normal intr-un punct al unei curbe definite
prin ecuatii parametrice

Fie Γ o curba definita prin ecuatii parametrice:

Reamintim ca sunt coordonatele carteziene ale unui punct P al curbei, iar sunt functiile ale caror valori sunt coordonatele . Domeniul de definitie este o reuniune finita de intervale ale dreptei reale.

Curba Γ se poate defini si sub forma vectoriala:

.

Fie un punct al curbei si astfel ca:

. (3.6)

Din expresiile vectorilor si obtinem:

, (3.7)

de unde rezulta:

. (3.8)

Deoarece directia unui vector nu se schimba prin inmultirea sa cu un scalar (avem in vedere impartirea cu ), rezulta ca directia vectorului obtinut in (3.8) este directia limita a secantei cand punctul P de pe curba tinde
catre . Asadar vectorul are directia tangentei la curba Γ, deci coordonatele sale sunt parametrii directori ai tangentei.

Putem scrie ecuatiile tangentei sub forma canonica:

, (3.9)

in care sunt coordonatele carteziene ale unui punct Q situat pe tangenta in punctul .

Vectorul , avand directia tangentei, este perpendicular pe planul normal la curba Γ, deci coordonatele acestui vector sunt parametrii directori ai normalei acestui plan. Deci ecuatia planului normal la curba Γ in punctul este:

, (3.10)

in care sunt coordonatele carteziene ale unui punct Q situat, de data asta, in planul normal al curbei Γ in








Politica de confidentialitate





Copyright © 2021 - Toate drepturile rezervate