Siruri de numere reale. Puncte limita. Convergenta

Definitia 1.1.1. Fie sirul de numere reale. Un numar real a se numeste punct limita al sirului considerat, daca in orice vecinatate a sa se afla o infinitate de termeni ai sirului.

Notandu-se cu L multimea punctelor limita pentru sirul , marginea superioara a multimii L se va numi limita superioara a sirului, iar marginea inferioara a multimii L se va numi limita inferioara a sirului considerat.

Se va scrie: si .

Exemple

Sirul cu termenul general , are ca puncte limita pe .

Sirul cu termenul general , va avea , deci , sirul fiind convergent.

Definitia 1.1.2. Sirul se numeste convergent, daca exista un numar x, astfel incat pentru , astfel incat pentru sa se verifice .

Numarul real x cu proprietatea de mai sus se numeste limita sirului si se va scrie .

Daca un sir este convergent, limitele sale superioara si inferioara sunt egale.

Definitia 1.1.3. Un sir care are limita infinita sau un sir pentru care cele doua limite, inferioara si superioara, sunt diferite se numeste sir divergent.

Teorema lui Weierstrass Orice sir monoton si marginit este convergent.

Teorema Töplitz. Fie o matrice infinita de numere reale cu proprietatea ca exista , astfel incat:

.

Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

pentru orice sir convergent de numere reale sirul definit prin este convergent si ;

(i) ;

(ii) .

Consecinta 1. Daca in Teorema Töplitz se modifica punctul 2) (ii) in , atunci afirmatia 1) devine .

Teorema Cesaro-Stolz Fie sirul oarecare si monoton crescator de numere pozitive, cu . Atunci, daca exista , va exista si si cele doua limite vor avea aceeasi valoare.

Indicatie de rezolvare

Se aplica Teorema Töplitz sirului , iar sirul dublu

si .

In aceste conditii .

De asemenea, .

Consecinta 2. Daca sunt doua siruri de numere reale cu proprietatile:

;

.

Atunci .

Criteriul radicalului

Daca sirul este convergent si are termenii pozitivi, atunci .

Indicatie de rezolvare

Se aplica teorema Cesaro-Stolz pentru sirurile si . Atunci

,

de unde rezulta si de aici cerinta problemei.

Criteriul raportului

Daca sirul are termenii pozitivi, atunci , daca ultima limita exista.

Criteriul majorarii

Daca si , atunci .

O reciproca a teoremei Cesaro-Stolz

Daca sunt doua siruri de numere reale cu proprietatile:

;

;

.

Atunci .

Criteriul general de convergenta al lui Cauchy. Conditia necesara si suficienta ca un sir sa fie convergent este ca pentru , , astfel incat pentru si pentru sa se verifice .

1.2 Siruri recurente

Definitia 1.2.1. Un sir se numeste sir recurent daca este definit de o relatie de forma cunoscuti. Numarul natural k se numeste ordinul relatiei de recurenta.

Recurenta de ordinul 1

.

Cazul 1. .

Cazul 2. .

Cazul 3. .

Se cauta un sir cu termenul general de forma .

. Impunem conditia si rezulta si deci

.

Recurenta de ordinul 2

.

Observatie. Printr-o translatie a sirului se poate obtine o recurenta de forma .

Pentru aceasta problema se cauta solutii de forma . Inlocuind aceasta in relatia de recurenta, vom obtine ecuatia numita ecuatia caracteristica asociata recurentei.

Se disting trei cazuri:

Cazul I: Daca , ecuatia caracteristica are doua radacini reale si distincte .

Lema 1. Sirurile cu termenii generali , sunt solutii ale relatiei de recurenta.

Lema 2. Orice combinatie liniara a sirurilor , este solutie a relatiei de recurenta.

Lema 3. Solutia generala a relatiei de recurenta si sirurile , sunt liniar dependente.

Prin urmare, solutia generala a relatiei de recurenta este:

.

Cazul II: Daca

Lema 1. Sirurile cu termenii generali sunt solutii ale relatiei de recurenta.

Lema 2. Orice combinatie liniara a sirurilor este solutie a relatiei de recurenta.

Lema 3. Solutia generala a relatiei de recurenta si sirurile , sunt liniar dependente.

Prin urmare, solutia generala a relatiei de recurenta este:

.

Cazul III: Daca .

Lema 1. Sirurile cu termenii generali si sunt solutii ale relatiei de recurenta.

Lema 2. Orice combinatie liniara a sirurilor este solutie a relatiei de recurenta.

Lema 3. Solutia generala a relatiei de recurenta si sirurile , sunt liniar dependente.

Prin urmare, solutia generala a relatiei de recurenta este:

.

Observatie. Pentru relatii de recurenta de ordin superior lui doi se procedeaza similar, urmand urmatoarele etape:

se scrie si se rezolva ecuatia caracteristica;

se scrie solutia generala a relatiei de recurenta ca o combinatie liniara a solutiilor partiale.

1.3 Siruri in

Fie . Elementele lui se numesc puncte sau vectori.

Observatie. Pe multimea se definesc operatiile de adunare si inmultire cu numere reale prin

.

are o structura de spatiu vectorial peste corpul K.

Definitia 1.3.1. Fie . O aplicatie se numeste produs scalar pe multimea X, daca

, unde este conjugatul numarului complex .

Pentru conditia 4) din definitia produsului scalar devine .

Observatie. Pe spatiul vectorial se introduce produsul scalar de forma .

Definitia 1.3.2. Fie . O aplicatie se numeste norma pe X, daca

.

Observatie. Pe se introduce norma definita cu ajutorul produsului scalar prin .

Rezulta ca .

Definitia 1.3.3. Fie si . Multimea punctelor pentru care se numeste sfera deschisa cu centrul in a si de raza r.

Definitia 1.3.4. Fie si . Multimea punctelor pentru care se numeste sfera inchisa cu centrul in a si de raza r.

Observatie. In cazul in care sfera deschisa devine multimea punctelor pentru care .

Notatie. Vom nota cu sfera cu centrul in a si raza r.

Definitia 1.3.5. Multimea se numeste deschisa, daca pentru exista o sfera deschisa .

Exemplu

Intervalele sunt multimi deschise in .

Definitia 1.3.6. Fie . O multime se numeste vecinatate a punctului a, daca exista o multime deschisa inclusa in V si care-l contine pe a.

Notatie. Vom nota cu multimea tuturor vecinatatilor lui a.

Definitia 1.3.7. Fie . Un punct a se numeste punct de acumulare pentru A, daca verifica .

Definitia 1.3.8. Se numeste sir in , , o aplicatie , definita prin , unde .

Notatie .

Exemplu

Sirul este din .

Definitia 1.3.9. Sirul din este convergent, daca exista , astfel incat pentru care , .

Observatie. Pentru avem

.

Din aceste inegalitati rezulta ca un sir din este convergent daca si numai daca sirurile componente , sunt convergente in .

Definitia 1.3.10. Sirul din se numeste sir Cauchy daca pentru , astfel incat pentru si pentru sa avem .

Teorema 1.3.11. Conditia necesara si suficienta ca un sir din sa fie convergent este ca el sa fie sir Cauchy.

1.4 Aplicatii

Sa se determine punctele limita pentru urmatoarele siruri:

a) ; b) ; c) ;

d) e) .

Indicatie de rezolvare

a)    pentru n numar par, ; pentru n numar impar ; deci, punctele limita sunt a si ;

b)    e si ;

c)     ;

d)    ;

e)     pentru avem , deci . Pentru avem , deci . Se obtin punctele limita 2 si 0.

Sa se determine limitele inferioara si superioara pentru urmatoarele siruri

a)    ;

b)    ;

c)     .

Indicatie de rezolvare

a)    se determina punctele limita ale sirului; pentru n numar par , iar pentru n numar impar ; deci, multimea punctelor limita este , de unde rezulta ca si ;

b)    si ;

c)     si .

Folosind teorema lui Weierstrass sa se studieze convergenta urmatoarelor siruri:

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f)

g) .

Indicatie de rezolvare

a)    sirul este cu termeni pozitivi, iar raportul

,

de unde rezulta ca sirul este monoton descrescator. Cum toti termenii sunt pozitivi, sirul va fi marginit inferior de 0, deci este convergent.

Pentru calculul limitei, daca , introducand limita in relatia de recurenta , se va obtine , de unde ;

b)    sirul este un sir de numere pozitive si monoton crescator, demonstratie ce se poate realiza prin inductie matematica dupa n. Presupunand ca ar exista , aceasta va trebui sa verifice relatia de recurenta, adica , de unde si se obtin , . Cum nu convine, termenii sirului fiind pozitivi, rezulta ca limita posibila . Cum sirul este crescator, adica si , , , rezulta , de unde .

Din relatia de recurenta ridicata la patrat se va obtine , adica , adica sirul este marginit superior, deci este convergent, iar este limita sa;

c)     convergent;

d)    convergent;

e)     convergent;

f)      cum rezulta ca si , deci sirul este marginit.

Pentru studiul monotoniei, se considera

,

deci are acelasi semn cu .

Deoarece , rezulta ca subsirul este monoton crescator. Similar, deoarece , subsirul este descrescator.

Cum ambele subsiruri sunt si marginite rezulta ca exista limitele lor, de forma .

In acelasi timp . Trecand la limita in cele doua relatii de recurenta, obtinem , echivalent cu . Daca , rezulta ca , adica , ceea ce este fals. Rezulta , deci sirul este convergent;

g)    . In continuare se demonstreaza prin inductie matematica , deci putem scrie . Rezulta ca exista si si trecand la limita in relatiile de recurenta, obtinem .

Folosind teorema Cesaro-Stolz, sa se calculeze urmatoarele limite:

a) ; b) ; c) ;

d) ; e) ;

f) ; g) .

Indicatie de rezolvare

a)    Cu notatiile din teorema Cesaro-Stolz se considera , de unde rezulta ;

b)   

c)     ;

d)    ;

e)     ;

f)     

g)    .

Sa se calculeze limitele urmatoare:

a) ; b) ; c) ;

Indicatie de rezolvare

a)    ;

b)    ;

c)     ;

Fie un sir de numere pozitive, crescator si divergent.

a)    Sa se arate ca daca , si , atunci .

b)    Sa se arate ca daca , unde , atunci .

c)     Sa se arate ca daca , unde , atunci .

d)    Sa se arate ca daca , unde , atunci .

Indicatie de rezolvare

a)    se considera si se aplica Teorema Cesaro-Stolz; rezulta

si deci ;

b)    ;

rezulta

;

c)     

.

Trecand la limita si tinand seama de punctul b), se va obtine:

.

Utilizand criteriul general de convergenta al lui Cauchy, sa se demonstreze convergenta sirurilor:

a)    ;

b)    ;

c)     ;

d)    ;

e)     ;

f)      ;

g)    ;

h)    .

Indicatie de rezolvare

a)    fiind dat arbitrar fixat, se va cauta un rang , astfel incat pentru si pentru sa se verifice

si cum se poate gasi un rang, de exemplu , pentru care , deci sirul este convergent;

c)     ; daca p este numar par, atunci

Daca p este impar, atunci

Cum , se poate gasi un rang , pentru care , deci sirul este convergent;

d)    , de unde ;

e)    

Rezulta , deci sirul este convergent.

Se considera sirul definit prin relatia de recurenta: fiind dati. Sa se gaseasca expresia lui in functie de a, b si . In acest caz exista ?

Indicatie de rezolvare

si inmultim prima ecuatie cu , pe a doua cu si asa mai departe, ultima cu a. Prin adunare, vom obtine:

.

Daca ; deci, nu are limita.

Daca .

Daca , , in functie de semnul lui b.

Daca , , , sirul reducandu-se la doua puncte distincte, deci nu are limita. Rezulta ca sirul are limita doar in cazul .

Sa se studieze convergenta sirurilor:

a)   

b)    ;

c)     .

Indicatie de rezolvare

a)    ecuatia caracteristica este si se aplica propozitia corespunzatoare cazului I; obtinem si punand conditiile si , rezulta ca , care este divergent;

b)    ecuatia caracteristica este ; aplicandu-se propozitia corespunzatoare cazului II, rezulta si punand conditia ca , rezulta

;

c)     divergent.

Fie si doua siruri si definite prin:

si .

Sa se studieze si si sa se deduca limitele celor doua siruri.

Indicatie de rezolvare

.

.

Cum , rezulta . In acelasi timp, , deci . Se va obtine astfel si .

1.4.11 Se considera sirurile si , care verifica urmatoarele conditii:

termenii sirului sunt pozitivi;

are limita infinita;

.

In aceste conditii se verifica .

Indicatie de rezolvare

Rezulta . Luand si insumand, se va obtine

unde .

Atunci

.

,

iar

Rezulta .

1.4.12 Sa se arate ca daca si cu are limita egala cu b, atunci

.

Indicatie de rezolvare

,

astfel incat pentru sa rezulte .

De asemenea, din rezulta ca .

Cum sirurile si sunt convergente, ele sunt marginite, adica , astfel incat , si , astfel incat .

Se noteaza si si se considera

.

Atunci

unde .

Rezulta

.

TEST DE AUTOEVALUARE

Folosind criteriul lui Cauchy, sa se demonstreze divergenta sirurilor

a)    ;

b)    ; c) .

Sa se studieze convergenta sirurilor:

a)    , cu ;

b)   

c)    

d)    .

Sa se arate ca sirul definit prin

este convergent si sa se calculeze limita sa.

Sa se arate ca sirul cu termenul general este convergent si sa se deduca inegalitatea .

Sa se calculeze limitele urmatoare:

a) ;

b) .