Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Meseria se fura, ingineria se invata.Telecomunicatii, comunicatiile la distanta, Retele de, telefonie, VOIP, TV, satelit




Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
Operatori liniari pe spatii vectoriale


Operatori liniari pe spatii vectoriale


OPERATORI LINIARI PE SPATII VECTORIALE

Nucleul si imaginea unui operator liniar

Fie spatii vectoriale peste acelasi corp K.


Definitie O functie se numeste operator liniar daca satisface:



Observatie Proprietatile 1 si 2 din definitie se pot inlocui cu:

Exemple: 1. operator identitate pe X
2. operatorul de derivare

3.

Propozitie Operatorul liniar are proprietatile:
a)
b)
c)

Notam L multimea operatorilor liniari din spatiul X in spatiul Y.

Pe aceasta multime introducem operatiile:

- adunarea operatorilor (operatie bine definita, i.e. este operator liniar)

L L

- inmultirea operatorilor cu scalari (op bine def, i.e. este operator liniar)

L L

Observatie (L) estespatiu vectorial peste corpul K.

- compunerea operatorilor (op bine def: U ○ T operator liniar)

L

U ○ T I L

L

- inversarea operatorilor (op bine definita: T-1 operator liniar)
L, T functie bijectiva L a.i.

Definitie Se numeste nucleul operatorului liniar T, multimea notata:

Definitie Se numeste imaginea operatorului liniar T multimea notata:

Propozitie ker T este subspatiu vectorial al lui X, iar ImT este subspatiu liniar al lui U

Definitie Se numeste defectul lui T , dimensiunea subspatiului kerT, iar rangul lui T, dimensiunea subspatiului ImT

Propozitie , X spatiu de dimensiune finita

Observatie


X finit dimensional


T bijectie

Matricea atasata unui operator, modificarea matricei unui operator la schimbarea bazelor.


Fie o baza in X, o baza in Y.

Fie cu coordonate in G :

Definitie Matricea

se numeste matricea operatorului T in bazele E si G. Notam A sau AT

Se obtine astfel o corespondenta intre mai precis un izomorfism

F:, si

Scrierea operatorului T cu ajutorul matricii atasate AT

T

Adunarea operatorilor:

; E, G baze in X si Y ; matricile atasate.

,

i.e.

Inmultirea operatorilor cu scalari:

, aIK

Modificarea matricii unui operator la schimbarea bazelor.

cu A matricea atasata in bazele E si G. In spatiul X trecem de la baza E la baza F

(1) unde

In spatiul Y trecem de la baza G la baza H: (2) unde

A = matricea atasata lui T in baza E si facem o schimbare de baza de la E la F.

Rezulta ca noua matrice atasata lui T in baza F este:


Vectori si valori proprii, diagonalizarea unui operator


Fie

Definitie Se numeste vector propriu al lui T, un vector x≠0 pentru care

( lIK a.i. T(x)=lx

l se numeste valoare proprie corespunzatoare vectorului propriu x.

Definitie Multimea se numeste subspatiu propriu corespunzator lui lIK

Propozitie Xl este subspatiu liniar al lui X , Xl X.

Algoritmul de determinare a valorilor si vectorilor proprii unui operator liniar sau matricii asociate lui.

Fie dimX=n si E= baza in X.

AT=matricea operatorului T in baza E.

este un sistem liniar omogen de ,,n" ecuatii cu,,n"necunoscute xi , si admite solutii nenule det(A-lI)=0 care se numeste ecuatia caracteristica a operatorului T

Solutiile acestei ecuatii sunt valorile proprii ale operatorului T.

P(l)=det(A-lI) se numeste polinomul caracteristic lui T. Acesta e un polinom de grad ,,n" cu coeficienti in K , iar daca KsCTP(l) are ,,n" radacini(C este corp algebric inchis).

Propozitie Vectorii proprii corespunzatori la valori proprii distincte doua cate doua sunt liniar indepedenti.

Consecinta Daca operatorul T are n valori proprii distincte, atunci exista o baza in care matricea sa are forma diagonala si pe diagonala se gasesc valorile proprii.

Definitie O matrice patratica are forma diagonala daca aij=0 ( ) i j

Definitie Un operator liniar este diagonalizabil daca exista o baza in care matricea sa are forma diagonala. Atunci o matrice patratica A este diagonalizabila daca exista o matrice C nesingulara, astfel incat C-1AC sa fie o matrice diagonala.








Politica de confidentialitate





Copyright © 2023 - Toate drepturile rezervate