Teoria probabilitatilor si statistica matematica

Teoria probabilitatilor si statistica matematica

Camp de evenimente. Probabilitate.

Teoria probabilitatilor studiaza legile dupa care evolueaza fenomenele aleatoare.

Exemple: aruncarea zarului; extragerea unei bile dintr-o urna

Probabilitatea unui eveniment reprezinta sansele de reusita a acelui eveniment.

In teoria probabilitatilor experimentele studiate sunt experimente aleatoare si fiecare realizare a unui astfel de experiment se va numi proba. Rezultatul unei probe este un eveniment.

Exemplu:

In aruncarea zarului, multimea realizarilor posibile va fi Ω (omega) = .

Cateva evenimente:

A = , rezultat impar

B = , rezultat inferior lui 5

C = , rezultat par

Notam Σ (sigma) - multimea tuturor submultimilor lui Ω. Atunci A, B є Σ.

Peste Σ se pot introduce 3 operatii corespunzatoare operatiilor logice: "U", "∩" si "non" (non^A = A^C = A)

a)      A U B (A sau B) est evenimentul care se realizeaza < = > se realizeaza celu putin unul (reuniunea)

b)      A ∩ B (A si B) . ambele (intersectia)

c)      A (non A) . < = > nu se realizeaza A (evenimentul contrar: A^C)

Definitie

Daca A ∩ B = ø, spunem ca A si B sunt evenimente incompatibile.

Exemplu:

A ∩ A^C = Ø

A U A^C = Ω

Ω = eveniment sigur

Ø = eveniment imposibil

Definitie

Fie A, B є Σ. A implica B daca atunci cand se realizeaza A se realizeaza in mod necesar B.

Definitie

Daca A inlus in B si B inclus in A, atunci A si B sunt echivalente si notam A=B.

Definitie

Un eveniment A є Σ este compus daca exista 2 evenimente B, C є Σ, B ≠ A si C ≠ A astfel incat A = B U C.

In caz contrar, evenimentul este elementar.

Exemplu:

O urna contine 20 de bile numerotate de la 1 la 20. Se extrage o bila si retinem numarul. Se cere:

a) Sa se scrie evenimentul sigur

b) Fie A - "rezultatul este par"

B - "rezultatul este multiplu de 5"

C - "rezultatul este putere a lui 2"

Sa se scrie evenimentul: A U B, A ∩ B, A^C.

Sa se arate implicatiile dintre evenimente.

Care evenimente sunt incompatibile?

a)     

b)      A U B = rezultatul este par sau multiplu de 5

A ∩ B = rezultatul este multiplu de 10 =

A^C =

C inclus in A, C ∩ B = Ø

Probabilitatea unui camp finit de evenimente

O urna contine n bile, dintre care m albe si n-m negre.

Fie A eveniment, bila extrasa sa fie alba (m ≤ 4)

Definitie

Se numeste probabilitatea evenimentului A, raportul dintre numarul cazurilor favorabile realizarilor lui A si numarul realizarilor egal posibile. Deci:

P(A) = m/n

Proprietati:

1. Probabilitatea fiecarui element este o functie de aceast eveniment, avand valori pozitive.
2. Probabilitatea evenimentului sigur Ω este 1.
3. Daca A = A₁ U A₂ cu A₁ ∩ A₂ = Ø, atunci P(A)= P(A₁) + P(A₂)
4. Evenimentele elementare sunt egal probabile (au probabilitatea 1/n)

Exemplu: aruncarea zarului

Deci, in cazul unui camp finit de evenimente , o probabilitate pe acest camp o vom defini astfel:

Se numeste probabilitate pe Σ o aplicatie P:Σ → R care satisface urmatoarele axiome:

1. P(A) ≥ 0 pentru orice A є Σ
2. P(Ω) = 1
3. P(A₁ U A₂) = P(A₁) + P(A₂) oricare ar fi A₁, A₂ є Σ cu A₁ ∩ A₂ = Ø

Observatie: proprietatea 3 se poate generaliza:

n

n

i=1

i=1

P (UA_i) = Σ P(A_i); oricare ar fi A_i є Σ, A_i ∩ A_j = Ø, i ≠ j

Exemplu:

Intr-o punga sunt 200 bilete loto dintre care 1 bilet castigator de 500.000 lei, 5 bilete a 100.000 lei fiecare, 10 bilete a 50.000 lei si 20 de bilete a 5.000 lei. Cineva cumpara un bilet. Care este probabilitatea ca acea persoana sa castige cel putin 50.000 lei?

Raspuns:

A=?

A₁=?

A₂=?

A₃=?

Fie A evenimentul urmator:

- persoana castiga cel putin 50.000 lei

A₁ = persoana castiga 500.000 lei

A₂ = persoana castiga 100.000 lei

A₃ = persoana castiga 50.000 lei

A = A₁ U A₂ U A₃

P(A) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃)

P(A₁) = 1/200

P(A₂) = 5/200

P(A₃) = 10/200

P(A) = 16/200 = 0,08