Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Meseria se fura, ingineria se invata.Telecomunicatii, comunicatiile la distanta, Retele de, telefonie, VOIP, TV, satelit



Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
Teoreme de caracterizare a functiilor
Trimite pe WhatsApp


Teoreme de caracterizare a functiilor




Teoreme de caracterizare a functiilor

1 Monotonia unei functii.

Teorema: Fie f : A R o functie numerica si I A. Atunci:

a.     f este strict crescatoare (crescatoare) pe I > ( ) 0,




( ) x1, x2 I I x1 x2;

b.     f este strict descrescatoare (desccrescatoare) pe I < ( )0,

( ) x1, x2 I I x1 x2;

Demonstratie: Fara a restrange generalitatea teoremei vom demonstra doar punctul a demonstratia de la punctul b fiind asemanatoare.

presupunem ca f este strict crescatoare pe I ) x1, x2 I I cu x1 < x2 T f(x1) < f(x2).

Atunci din x1 < x2 x2- x1> 0 (1)

Atunci din f(x1) < f( x2) f(x2)- f(x1) > 0 (2)

Atunci din (1) si (2) prin efectuarea raportului > 0

Presupunem ca pentru functia f : A R o functie numerica si I A sunt satisfacute conditiile: ( ) x1, x2 I I cu x1 < x2 si > 0

Atunci din x1 < x2 x2- x1> 0 (1)

Atunci din > 0 (2)

Atunci din (1) si (2) > 0 f(x1) < f( x2) functia este strict crescatoare.

2 Injectivitatea unei functii

Teorema: Pentru functia f: A → B unde A, B R sunt echivalente urmatoarele afirmatii:

a. functia f este injectiva;

b. x1 , x2 I A cu x1 ≠ x2 f(x1 ) ≠ f( x2);

c.  f(x1 ) = f( x2) x1 = x2;

d. Pentru y B, ecuatia f(x) = y are cel mult o solutie x A;





e. Orice paralela la axa Ox, dusa printr-un punct al codomeniului, taie graficul functiei in cel mult un punct.

3 Monotonia si injectivitatea unei functii

Teorema: Fie f : A R o functie numerica strict monotona pe A. atunci functia f este injectiva.

Demonstratie: Consideram o functie f : A R strict crescatoare (in mod asemanator se procedeaza si pentru o functie strict descrescatoare). Fie x1 , x2A cu x1 ≠ x2 .

Din x1 x2 rezulta una din situatiile: x1 < x2 sau x1 > x2. Cum functia este strict crescatoare avem:

Daca x1 < x2 atunci f(x1 ) < f(x2) deci f(x1 ) f(x2)

Daca x1 > x2 atunci f(x1 ) > f(x2) deci f(x1 ) f(x2)

Adica pentru orice caz avem f(x1 ) ≠ f(x2) f este injectiva.

Observatie: Reciproca teoremei de mai sus nu este adevarata dupa cum se observa in exemplul urmator.



Graficul functiei f(x)=1/x

Exemplu: f: R* → R descrisa de formula f(x) = este o functie injectiva dar nu este strict monotona, dupa cum se observa din graficul functiei.

Observatie: f: R* → R descrisa de formula f(x) = este strict descrescatoare pe () si strict crescatoare pe ()

4 Surjectivitatea unei functii

Teorema: Functia f: A → B este surjectiva daca si numai daca Im f = B

Demonstratie: este imediata

Egalitatea a doua multimi se demonstreaza prin dubla incluziune. Avem intotdeauna f(A)B (1). Fie acum y B, cum f este surjectiva, exista atunci x A, astfel incat f(x)=y. Deci y f(A). De aici rezulta B f(A) (2). Din (1) si (2) rezulta f(A)= B.



Observatie: Functia f: A → B nu este surjectiva daca f(A)≠B

Teorema: Pentru functia f: A → B unde A, B R sunt echivalente urmatoarele afirmatii:

a. functia f este surjectiva;

b. y B, x A, astfel incat f(x) = y;

c.  Pentru y B, ecuatia f(x) = y are cel putin o solutie x A;

d. Im f = f(A) = B;

e. Orice paralela dusa la axa Ox printr-un punct al codomeniului taie graficul functiei in cel putin un punct.

5 Bijectivitate unei functii.

Terorema: Pentru functia f: A → B unde A, B R sunt echivalente urmatoarele afirmatii:

a. f este bijectiva;

b. f este injectiva si surjectiva in acelasi timp;

c.  Pentru y B, ecuatia f(x) = y are o unica solutie x A;

d. Orice paralela dusa la axa Ox printr-un punct al codomeniului taie graficul functiei in exact un punct.

6 Compunerea functiilor injective, surjective, bijective.

Teorema: Fie functiile f: A → B, g: B → C. Daca:

a. f,g sunt surjective functia gof este surjectiva;

b. f,g sunt injective functia gof este injectiva;

c.  f,g sunt bijective functia gof este injectiva;

d. gof este injectiva f este injectiva;

e. gof este surjectiva g este surjectiva ;






loading...




Politica de confidentialitate


Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate