Teoreme de caracterizare a functiilor

Teoreme de caracterizare a functiilor

1 Monotonia unei functii.

Teorema: Fie f : A R o functie numerica si I A.  Atunci:

a.     f este strict crescatoare (crescatoare) pe I > ( ) 0,

( ) x₁, x₂ I I x₁ x₂;

b.     f este strict descrescatoare (desccrescatoare) pe I < ( )0,

( ) x₁, x₂ I I x₁ x₂;                                                                                              

Demonstratie: Fara a restrange generalitatea teoremei vom demonstra doar punctul a demonstratia de la punctul b fiind asemanatoare.

"" presupunem ca f este strict crescatoare pe I ) x₁, x₂ I I cu  x₁ < x₂ T f(x₁) < f(x₂).

Atunci din x₁ < x₂ x₂- x₁> 0 (1)

Atunci din f(x₁) < f( x₂) f(x₂)- f(x₁) > 0 (2)

Atunci din (1) si (2) prin efectuarea raportului > 0

"" Presupunem ca pentru functia f : A R o functie numerica si I A sunt satisfacute conditiile: ( ) x₁, x₂ I I cu  x₁ < x₂ si > 0

Atunci din x₁ < x₂ x₂- x₁> 0 (1')

Atunci din > 0 (2')

Atunci din (1') si (2') > 0 f(x₁) < f( x₂) functia este strict crescatoare.

2 Injectivitatea unei functii

Teorema: Pentru functia f: A → B unde A, B R sunt echivalente urmatoarele afirmatii:

a. functia f este injectiva;

b. x₁ , x₂ I A cu x₁ ≠ x₂ f(x₁ ) ≠ f( x₂);

c.  f(x₁ ) = f( x₂) x₁ = x₂;

d. Pentru  y B, ecuatia f(x) = y are cel mult o solutie x A;

e. Orice paralela la axa Ox, dusa printr-un punct al codomeniului, taie graficul functiei in cel mult un punct.

3 Monotonia si injectivitatea unei functii

Teorema: Fie f : A R o functie numerica strict monotona pe A. atunci functia f este injectiva.

Demonstratie: Consideram o functie f : A R strict crescatoare (in mod asemanator se procedeaza si pentru o functie strict descrescatoare). Fie x_{1 ,} x₂A cu x₁ ≠ x₂ .

Din x₁ ≠ x₂ rezulta una din situatiile: x₁ < x₂ sau x₁ > x₂. Cum functia este strict crescatoare avem:

Daca  x₁ < x₂ atunci f(x₁ ) < f(x₂) deci f(x₁ ) ≠ f(x₂)

Daca  x₁ > x₂ atunci f(x₁ ) > f(x₂) deci f(x₁ ) ≠ f(x₂)

Adica pentru orice caz avem f(x₁ ) ≠ f(x₂) f este injectiva.

Observatie: Reciproca teoremei de mai sus nu este adevarata dupa cum se observa in exemplul urmator.

Graficul functiei f(x)=1/x

Exemplu: f: R* → R descrisa de formula f(x) = este o functie injectiva dar nu este strict monotona, dupa cum se observa din graficul functiei.

Observatie: f: R* → R descrisa de formula f(x) = este strict descrescatoare pe () si strict crescatoare pe ()

4 Surjectivitatea unei functii

Teorema: Functia f: A → B este surjectiva daca si numai daca Im f = B

Demonstratie: "" este imediata

"" Egalitatea a doua multimi se demonstreaza prin dubla incluziune. Avem intotdeauna f(A)B (1). Fie acum y B, cum f este surjectiva, exista atunci x A, astfel incat f(x)=y. Deci y f(A). De aici rezulta B f(A) (2). Din (1) si (2) rezulta f(A)= B.

Observatie: Functia f: A → B nu este surjectiva daca f(A)≠B

Teorema: Pentru functia f: A → B unde A, B R sunt echivalente urmatoarele afirmatii:

a. functia f este surjectiva;

b. y B, x A, astfel incat f(x) = y;

c.  Pentru  y B, ecuatia f(x) = y are cel putin o solutie x A;

d. Im f = f(A) = B;

e. Orice paralela dusa la axa Ox printr-un punct al codomeniului taie graficul functiei in cel putin un punct.

5 Bijectivitate unei functii.

Terorema: Pentru functia f: A → B unde A, B R sunt echivalente urmatoarele afirmatii:

a. f este bijectiva;

b. f este injectiva si surjectiva in acelasi timp;

c.  Pentru  y B, ecuatia f(x) = y are o unica solutie x A;

d. Orice paralela dusa la axa Ox printr-un punct al codomeniului taie graficul functiei in exact un punct.

6 Compunerea functiilor injective, surjective, bijective.

Teorema:   Fie functiile f: A → B, g: B → C. Daca:

a. f,g sunt surjective functia gof este surjectiva;

b. f,g sunt injective functia gof este injectiva;

c.  f,g sunt bijective functia gof este injectiva;

d. gof este injectiva f este injectiva;

e. gof este surjectiva g este surjectiva ;