Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Meseria se fura, ingineria se invata.Telecomunicatii, comunicatiile la distanta, Retele de, telefonie, VOIP, TV, satelit




Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
Spatii vectoriale


Spatii vectoriale


SPATII VECTORIALE

Definitie, exemple

Definitie. Fie C o multime nevida si K un corp si fie:

- o lege de compozitie interna (notata aditiv)

- o lege de compozitie externa (notata multiplicativ)



Spunem ca tripletul (C ) este spatiu liniar (sau spatiu vectorial peste corpul K) notat daca:

1. formeaza structura de grup abelian:

2.satisface axiomele:




(elementul unitate din corpul
K) astfel incat

Observatie: a)daca K este identic cu R (multimea numerelor reale) sau C (multimea numerelor complexe), atunci spatiul vectorial peste K este real, respectiv complex;

b)elementele lui C se numesc vectori iar elementele lui K se numesc scalari.

Exemplu

Multimea cu operatiile: defineste spatiul vectorial al matricilor de dimensiune mxn peste corpul K, notat (M(m,n;K), +, .)

Caz particular m=1 sau n=1 este al matricilor cu o linie sau o coloana.

Pentru m=1 cu operatiile

Vectorii se numesc vectori linie, iar spatiul vectorial peste corpul K, notat (Kn,+,.) se numeste spatiu aritmetic (pentru K=R spatiul aritmetic real si pentru K=C spatiul aritmetic complex).

Pentru n=1 se obtine analog, spatiul vectorilor coloana.


Dependenta si liniar independenta sistemelor de vectori. Baza si dimensiunea spatiului

Definite a) Fiind dati vectorii si scalarii k1, ,kn, vectorul x=k1 x1+ k2 x2+ +kn xn se numeste o combinatie liniara a vectorilor xi, i=

Se pune problema obtinerii tuturor vectorilor spatiului ca si combinatii liniare, dar folosind un numar cat mai mic de vectori generatori. Aceasta problema conduce la necesitatea introducerii notiunii de baza.

Definitie Vectorii x1, x2, ,xn se numesc liniar independenti daca pentru orice kiIK,

Exemplu In vectorii sunt liniar independenti, unde

Definitie. Vectorii x1, x2, ,xn se numesc liniar dependenti daca nu sunt liniar independenti, adica exista kiIK, nu toti nuli, astfel incat

Definitie Sistemul de vectori se numeste sistem de generatori pentru C daca orice vector din C este o combinatie liniara finita de vectori din G, i.e.

Definitie Un sistem de vectori formeaza o baza pentru C daca:
-B este sistem de vectori liniar independenti
-B este sistem de generatori pentru
C



Exemplu . In , multimea , unde formeaza baza, numita baza canonica.

Definitie Spatiul vectorial C se numeste finit dimensional daca are o baza finita.

In cele ce urmeaza consideram doar spatii liniare de dimensiune finita.

Propozitie Intr-un spatiu vectorial, orice vector se scrie in mod unic ca o combinatie liniara de vectori ai bazei.

Demonstratie: fie C spatiu vectorial cu baza, x I C. Cum E este baza, rezulta ca E este sistem de generatori si putem scrie:

Definitie a1, ,an se numesc coordonatele vectorului x in baza E si vom nota

Exemplu In , vectorul este scris cu coordonatele in baza canonica E

Propozitie spatiu vectorial cu baza si vectorii de coordonate . Consideram matricea atasata sistemului de vectori dat.

In aceste conditii, sistemul de vectori este liniar independent daca si numai daca rang A=m.

Propozitie C spatiu liniar finit dimensional T ) 2 baze au acelasi numar de vectori.

Definitie Se numeste dimensiune a unui spatiu vectorial finit dimensional C, numarul de vectori al unei baze.

Propozitie Intr-un spatiu vectorial de dimensiune n, orice sistem de n vectori liniar independent formeaza o baza.

Propozitie Intr-un spatiu vectorial orice sistem de vectori liniar independent poate fi completat pana la o baza a spatiului.

Exemplu Fie vectorul scris in baza canonica a lui R3. Sa se scrie acest vector in baza

Solutie:

i.e. sistemul liniar , unde cu M(E,F) s-a notat matricea de trecere de la baza canonica E la o alta baza F , formata prin completarea ei pe coloane cu vectorii bazei F.

Modificarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei; Metode iterative de calcul.

In spatiul C consideram bazele si coordonatelecunoscute.

Se cauta a se determina

Definitie Se numeste matricea de trecere de la baza E la baza F, matricea


(are drept coloane coordonatele vectorilor f exprimate in baza E.

Notam coordonatele vectorului x in baza F.



. Cum scrierea intr-o baza este unica, rezulta . In consecinta

sau scris matricial:

In presupunem , E baza canonica si alte doua baze din Rn.

si unde

obtinem:

Consideram util in astfel de calcule matriciale, cunoasterea unor procedee iterative de calcul, pe care le inseram mai jos.

Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare

Metoda eliminarii complete ( Gauss Jordan) permite rezolvarea unui sistem de,,n" ecuatii cu,,n"necunoscute compatibil,determinarea rangului si a matricei inverse.

Sistemul este adus prin transformari elementare la forma echivalenta:

Se aplica sistemului o transformare elementara T , astfel incat in etapa i, matricea atasata sistemului sa aiba coloana i egala cu cea corespunzatoare din matricea unitate I.

a se numeste pivotul transformarii. Ecuatia i se imparte la pivot, iar celelalte(n-1) se inlocuiesc cu ecuatia echivalenta, rolul transformarii fiind de a anula coeficientii lui xi in aceste ecuatii, ceea ce implica urmatoarele etape la o iteratie :

-linia pivotului se imparte la pivot;

-coloana pivotului se completeaza cu 0;

-primele (i-1)coloane raman neschimbate;

-elementele celorlalte coloane se calculeaza cu regula pivotului.

Schematic, regula pivotului sau a dreptunghiului este:

p...a

b. x ;x devine x'=(px-ab)/p =x

Pentru linia pivotului se fac urmatoarele operatii:

k= ,k;

; sugerate de schemele:

linia(i)

linia (l)

Procedeul descris are urmatoarele etape:

Fie:AM (n, R), det.A0 si sistemul Ax=b , x,bRn.

Pas 1 B0 = (A(0)/ I(0) /b(0)) cu A(o)=A , I(0)=I ,b(0)=b, i=0

Pas 2 Se calculeaza: Bi+1=( A(i+1)/ I(i+1)/b(i+1) ) din Bi , astfel:

Elementul din pozitia (i,i) diferit de 0 se numeste pivotul transformarii.

Matricea Ai+1=T(Ai) , T-transformarea elementara de pivot p=

Pas 3 i devine i+1 si se trece la pas 2.



Procedeul se incheie pentru i=n. Se obtine Bn =(A(n) = I / I(n) / b(n) )

Bn=( T1T2...Tn)B0=(MA/MI/Mb) ; dar MA=I deci si deci Bn=(I/A-1/A-1b=x ) ceea ce inseamna ca in acest tablou se regasesc atat inversa matricii A, cat si solutia sistemului.

Izomorfism de spatii liniare

Definitie Fie spatii liniare (vectoriale) peste un corp K.

Se numeste izomorfism de spatii liniare, o functie f: cu proprietatile :

a)     f este bijectiva;

b)     f este liniara:

i.e. f aditiva

i.e. f omogena

Definitie Doua spatii liniare peste corpul K , se numesc izomorfe daca exista un izomorfism de spatii liniare (Notatie XY)


Teorema de izomorfism a spatiilor liniare finit dimensionale

Orice doua spatii liniare peste acelasi corp K,care au aceeasi dimensiune ,sunt izomorfe.

Observatie Relatia de izomorfism ( ) pe multimea spatiilor liniare este o relatie de echivalenta.


Consecinte . In particular , daca dim si orice enunt adevarat pentru Rn este adevarat si pentru X

Subspatii liniare

Definitie Fie spatiu liniar. O submultime Y X se numeste subspatiu liniar al lui X daca este spatiu liniar fata de operatiile din X.

Observatie Y X subspatiu liniar Y este parte stabila fata de cele doua operatii din X.

Propozitie Y X ,subspatiu al lui X , finit dimensional. Au loc proprietatile :

i) dim Ydim X

ii) dim Y=dimX TX=Y

Operatii cu subspatii

Propozitie Daca Yi ,iII sunt subspatii ale lui X atunci este un subspatiu al lui X.

O reuniune de subspatii liniare nu este, in general, subspatiu liniar.

Definitie Fie. Se numeste subspatiu generat de multimea de vectori A (acoperirea liniara a lui A), multimea tuturor combinatiilor liniare cu vectori din A. Notam L(A) sau Sp(A)

L(A)=Sp(A)=

Definitie Fie x1,.,Xn subspatii linire ale lui X. Se numeste suma acestor subspatii multimea

Propozitie Multimea X1+.+Xn este subspatiu liniar al lui X.

Teorema dimensiunii Daca X1,X2 subspatii liniare ale lui X (sp.fin.dim.), atunci

dim(X1+X2) = dimX1+dimX2-dim(X1 X2)

Definitie Daca Xi,atunci suma acestor subspatii se numeste suma directa.

Exemplu: R4[x] sp.polinoamelor de grad cel mult 4 cu coeficienti in R








Politica de confidentialitate





Copyright © 2023 - Toate drepturile rezervate