Starea de tensiune in terenul de fundare

STAREA DE TENSIUNE IN TERENUL DE FUNDARE

Cunoasterea modului in care solicitarile date de o fundatie sunt transmise pamantului pe care aceasta este realizata, cat si intensitatea si distributia tensiunilor create in pamantul respectiv, sunt de o mare importanta pentru inginerul proiectant. Astfel de cunostinte permit pe de o parte estimarea tasarilor posibile si a capacitatii portante limita, iar pe de alta parte utilizarea corecta a acestora, in paralel cu precizarea ca ele furnizeaza datele necesare calculului de dimensionare a structurii fundatiilor.

Cea mai mare parte a procedeelor utilizate in mod curent pentru studiul repartizarii tensiunilor in interiorul masei de pamant, sau de roca, se bazeaza pe teoria elasticitatii sau pe modificarile empirice aduse solutiilor matematice exacte ale teoriei elasticitatii. De fapt, aceste ipoteze presupun ca materialul fundatiei este:

1 - cu o extindere semiinfinita;

2 - izotrop;

3 - omogen;

4 - elastic si respecta legea lui Hooke.

Rareori insa, pamanturile naturale se supun uneia din aceste ipoteze, dar absenta altor procedee corecte de aproximare impun utilizarea lor, care practic este indispensabila. Repartizarile calculate ale tensiunilor nu trebuie sa fie considerate decat ca un ghid de cunoastere a ordinului de marime a efectelor acestor tensiuni.

Utilizand teoria elasticitatii se pot stabili solutiile multor probleme referitoare la lucrarile miniere, cat si rezolvarea lor pe cale analitica. In acest capitol vor fi prezentate o serie de solutii, de metodologii de rezolvare a problemelor legate de fundatii.

1 Sa se stabileasca modul de repartizare a tensiunii verticale in planele orizontale, pana la o adancime de 12 m, in dreapta liniei de actiune a unei forte verticale concentrate de 800 kN, perpendiculara pe suprafata superioara plana a unui mediu semiinfinit elastic, izotrop si omogen.

Rezolvare:

Aceasta problema constitue modul de plecare in rezolvarea numeroaselor probleme referitoare relativ la tensiunile provocate de incarcarile date de fundatii. Solutia acestei probleme (publicata de Boussinesq in 1885) arata ca tensiunea verticala care actioneaza direct pe un plan orizontal la adancimea z (fig.3.21, punctul O), este:

In general, aceasta ecuatie este utilizata sub forma:

din care se obtine:

Acest factor de influenta K, adimensional, a fost stabilit pentru diferite valori ale raportului r / z, rezultatele obtinute fiind prezentate in tabelul 3.12.

Pentru a obtine presiunea verticala la o adancime data (punctul O din fig.3.21) se inmulteste factorul de influenta corespunzator cu valoarea fortei punctiforme P si se imparte prin z².

Factorii de influenta pentru tensiunea verticala de forfecare sunt obtinuti inmultindu-se valorile lui K relativ la presiunea verticala cu valoarea corespunzatoare a raportului r / z.

In aceasta problema, avem ca P = 800 kN, r = 0 pentru tensiunile axiale, iar din tabelul 3.12. rezulta pentru factorul de influenta valoarea k = 0,4775. Rezultatele obtinute din calcule sunt prezentate in tabelul 3.13.

Tabelul 3.12.

Factorii de influenta ai presiunii verticale corespunzatori unei forte punctiforme:

Tabelul 3.13.

Valorile tensiunilor

In final, aceste rezultate se vor reprezenta grafic.

3.18. In situatia prezentata la problema 7.16., sa se determine distributia tensiunii verticale intr-un plan orizontal situat la adancimea de 2 m in raport cu suprafata, pana la o distanta radiala de 4 m, plecand de la linia de actiune a sarcinii.

Rezolvare:

Sub forma cea mai simpla, calculele vor fi prezentate sub forma tabelara, tabelul 3.14.

Tabelul 3.14.

Valorile tensiunilor

Distributia tensiunilor este simetrica in raport cu axa si in consecinta, rezultatele indicate in coloana (e) din tabelul 3.14 se aplica pentru toate directiile radiale. Conform datelor prezentate, tabelul 3.14, se va putea obtine si reprezentarea grafica a distributiei tensiunii verticale.

3.19. O fundatie circulara este situata pe suprafata orizontala superioara a unei mase semiinfinite de pamant, a carui proprietati se preteaza ipotezelor obisnuite ale teoriei elasticitatii si suporta o forta de 800 kN. Presiunea de contact este uniforma, iar fundatia este elastica. La baza fundatiei nu exista frecare. Diametrul fundatiei este de 3 m. Sa se stabileasca modul de repartizare a tensiunii verticale in planele orizontale pe toata lungimea axei centrale a fundatiei, pana la adancimea de 12 m in raport cu suprafata.(fig. 3.21)

Rezolvare:

Preluand derivata solutiei lui Boussinesq pentru o forta punctiforma, conditiile la limita superioara arata ca nu exista tensiuni de forfecare in planul suprafetei, nici tensiuni normale la suprafata (altele decat in punctul de aplicare al fortei). Prin urmare, tensiunile de pe conturul suprafetei fac ca aceasta sa se deformeze in directie verticala si radiala.

In acest exemplu se pot aplica aceleasi conditii la limita pe contur, datorita faptului ca baza este fara frecare si perfect elastica. Prin urmare, solutia lui Boussinesq poate fi utilizata si in mod convenabil integrata pentru o forta repartizata.

Vom considera un element al fundatiei reprezentat in plan, asa cum se arata in fig.3.21, delimitat de razele OA, OB si de arcele de cerc situate la distantele radiale r si (r + dr) fata de centrul O.

Forta aplicata pe elementul de suprafata este egala cu:

P = q r dj dr   (3.96)

in care q este intensitatea presiunii de contact.

Aceasta forta va produce tensiuni pe axa O, conform relatiilor lui Boussinesq. Pentru tensiunea verticala dzz, vom obtine:

                                                       (3.97)

in care, tinand seama ca:

R² = r² + z²                                                                     (3.98)

Rezulta ca:     

                           (3.99)

Integrand ecuatia (3.99) se obtine tensiunea totala ca fiind de forma:

                                  (3.100)

Datorita faptului ca in aceasta problema q este independent de r si de q si ca q este independent de toate celelalte marimi, ecuatia (7.100) se simplifica, in sensul ca va fi nevoie sa rezolvam doar o integrala simpla (integrala de suprafata se transforma intr-o integrala de lungime), obtinandu-se astfel:

      (3.101)

in care s-a notat:

                                                (3.102)

Valorile factorului de influenta K sunt date in tabelul 3.15.

Tabelul 3.15.

Valorile factorului de influenta a presiunii verticale sub centrul unei suprafete circulare de diametru D, incarcata uniform:

Pentru a obtine presiunea verticala la o adancime data sub centrul suprafetei circulare solicitate, se inmulteste factorul de influenta corespunzator cu presiunea de contact q.

In aceasta problema se cunoaste:

D = 2 R₁           ; R₁ = 1,5 m

Rezultatele obtinute in urma realizarii calculelor sunt prezentate in tabelul 3.16. ar fi interesant sa se faca si o comparatie a acestor rezultate cu cele din tabelul 3.13.

Tabelul 3.16.

Valorile tensiunilor

3.20. Un radier de fundatie dreptunghiular, exercita pe suprafata unui pamant o presiune de contact de 115 kN / m². Sa se determine distributia tensiunii verticale in planele orizontale situate sub centrul fundatiei, pana la o adancime de 18 m. Dimensiunile radierului sunt 36 m x 24 m.

Rezolvare:

Ar putea exista tendinta de a rezolva aceasta problema intr-o maniera asemanatoare cu cea adoptata la problema 3.18. Sunt insa necesare de efectuat o serie de integrari, care in mare parte au fost efectiv folosite de diferiti autori.

Problema poate fi rezolvata utilizandu-se curbele date de Fadum si reprezentate in fig.3.22. Aceste curbe sunt raportate la presiunea predominanta ce actioneaza asupra unei fundatii dreptunghiulare sub un anumit unghi, dar ele pot fi utilizate intotdeauna. In cazul acestui exemplu se considera ca radierul fundatiei este constituit din patru fundatii separate, de dimensiuni 18 m x 12 m, in contact mutual cu unghiul lor comun din centrul fundatiei de 36 m x 24 m. Contributia fiecareia din cele patru fundatii mai mici este estimata in mod separat, in final facandu-se suma acestora, intrucat se poate aplica principiul superpozitiei. In problema, cele patru fundatii sunt identice, astfel ca nu este necesar sa se considere decat una dintre ele, iar tensiunile rezultante vor fi inmultite cu 4. Rezultatele obtinute din calcule sunt prezentate in tabelul 3.17.

O fundatie dreptunghiulara supune stratele pe care este situata la o presiune de contact neta de 215 kN / m², uniform distribuita pe toata suprafata. Dimensiunile fundatiei sunt 24 m x 12 m. Sa se determine tensiunea verticala in punctul situat in spatele suprafetei fundatiei, pe verticala din punctul O, fig.7.23, la o adancime de 8 m.

Tabelul 3.17.

Valorile tensiunilor verticale

Rezolvare:

Si in cazul acestui tip de problema pot fi utilizate graficele lui Fadum. Prin urmare, tensiunea in O se obtine considerandu-se suprafata AEOH ca fiind solicitata si in continuare se stabileste efectul suprafetei DCBEOH. Acesta din urma se obtine considerand suprafetele (DFOH + BEOG - CFOG) care au fiecare din ele punctul O comun. Rezultatele obtinute sunt date in tabelul 3.18.

Tabelul 3.18.

Elementele geometrice al fundatiei si valoarea tensiunilor verticale

Se obtine ca tensiunea verticala are valoarea de 2,3 kN / m² si se poate preciza ca este o tensiune de compresiune.

3.22. O fundatie dreptunghiulara este perfect elastica si suporta pe suprafata sa superioara o sarcina de 360 kN / m². Dimensiunile fundatiei sunt 4,5 m x 3 m. Sa se determine presiunea verticala la o adancime de 6 m sub punctul A situat asa cum arata reprezentarea din fig.3.24. Se presupune ca fundatia nu are greutate proprie.

Rezolvare:

Datorita faptului ca fundatia este elastica, distributia presiunii de contact va fi identica cu distributia sarcinii la partea superioara a fundatiei. Acest tip de problema va fi rezolvata prin integrarea numerica a ecuatiei lui Boussinesq pentru o forta punctiforma. In acest scop, fundatia este impartita intr-un numar convenabil de suprafete (in acest caz vor fi 9 suprafete). Se presupune ca sarcina repartizata se comporta ca un sistem de forte punctiforme distincte, a caror puncte de aplicare sunt situate respectiv in centrul de greutate al fiecarei suprafete individuale.

Forta care actioneaza pe fiecare suprafata este:

d P = 1,5 1 360 = 540 kN

Ecuatia lui Boussinesq se va aplica fiecarei suprafete in parte, iar rezultatele se vor aduna, tabelul 3.19.

Tabelul 3.19.

Factorii de influenta ai presiunii verticale

Tensiunea corespunzatoare unui element solicitat, este:

  , i = 1, . , 9 (3.103)

Prin urmare, tensiunea totala va fi:

         (3.104)

si datorita faptului ca in acest caz d P si z sunt identice pentru fiecare element, vom avea:

Talpa alungita a unei fundatii de lungime mare si latimea de 2 m, suporta o sarcina de 500 kN / m.l. Aceasta fundatie poate fi presupusa elastica si suprafata sa inferioara neteda. Sa se calculeze tensiunea verticala maxima la adancimea de 5 m sub fundatie, utilizandu-se o metoda aproximativa de distributie a tensiunilor.

Rezolvare:

Exista un numar destul de mare de astfel de metode la care, in general, precizia de calcul creste progresiv si proportional cu indepartarea de zona solicitata. Vom mentiona aici doar doua dintre aceste metode.

Prima metoda, metoda lui Kogler, presupune ca tensiunea verticala este nula incepand de la limitele definite de dreptele ce prelungesc laturile bazei si sunt inclinate cu 55⁰ in raport cu verticala si ca variatia acestei tensiuni este cea reprezentata in diagrama din fig.3.25.

Din aceasta diagrama rezulta ca:

Corespunzator faptului ca forta verticala totala orientata in jos trebuie sa fie egala cu forta aplicata fundatiei, se poate obtine solutia pentru szz. In acest exemplu, avem:

B = 2 m; ; z = 5 m

Vom considera unitatea de lungime a talpii fundatiei. In conditii de echilibru:

de unde rezulta ca:

A doua metoda, cea care este chiar mai simplu de aplicat, presupune ca distributia tensiunii verticale este de forma celei prezentate in fig.3.26. In acest caz, avem:

L = B + z

Tinand seama de aceasta relatie in cazul problemei noastre, vom obtine:

Teoretic, valoarea corecta este de 62 kN / m².

Concordanta dintre aceste valori nu este intotdeauna buna si in consecinta, trebuie luate anumite masuri in utilizarea acestor reguli empirice in rezolvarea problemelor practice.

O fundatie patrata suporta o forta verticala totala de 5,4 MN. Sa se calculeze variatia presiunii verticale in functie de adancime, pe axa centrala a fundatiei, presupunand ca presiunea de contact admisibila este de 150 kN / m²; 337,5 kN / m² si 1,35 MN / m². Sa se determine aceasta variatie pentru o forta punctiforma si in cazul unei presiuni de contact de 150 kN / m², calculata utilizand metoda aproximativa de la problema 3.22, stiind ca panta (inclinarea suprafetei) este de 1:2.

Rezolvare:

Calculele au fost efectuate utilizand coeficientii lui Boussinesq pentru o forta punctiforma si tabelele lui Fadum pentru forte distribuite. Raspunsurile la intrebarile formulate in enuntul problemei se regasesc in tabelul 3.20, pentru adancimi de pana la 18 m.

Tabelul 3.20.

Variatia presiunii verticale

Trebuie sa reamintim faptul ca daca se utilizeaza metodele aproximative, atunci repartizarea tensiunilor are loc dupa doua directii.

In cazul metodei cu panta 1:2, suprafata care suporta forta la adancimea z, este data de (B + z)², unde B reprezinta latimea fundatiei.

Rezultatele arata ca exista o concordanta foarte buna intre diferitele valori calculate pentru adancimi de peste aproximativ 8 m, daca se exclude metoda cu panta 1:2. Daca insa se tine seama si de aceasta metoda, rezultate comparabile sunt obtinute pentru adancimi mai mari de 12 m. De aici se poate constata un fapt de mare importanta practica, in sensul ca se observa ca o crestere a suprafetei fundatiei de la 4 m² la 36 m² nu afecteaza intr-un mod semnificativ tensiunile, peste o adancime de peste 8 m, daca sarcina totala suportata este mentinuta constanta. Aceasta exprima in mod evident principiul binecunoscut a lui Saint - Venant, frecvent intalnit in teoria elasticitatii. Daca se produce o tasare prin consolidare a unui strat situat la adancime mare, nu este posibil sa se reduca deplasarile prin diminuarea presiunii de reactiune admisibila si prin marirea dimensiunilor fundatiei. Factorul care influenteaza in mod deosebit este de fapt sarcina totala suportata.

Trebuie realizat un sant de 3 m latime, 6 m lungime si pe o adancime de 2,4 m sub nivelul unui strat de pamant avand densitatea aparenta 2000 kg/m³. Care va fi efectul sau asupra repartitiei presiunilor verticale pana la o adancime de 6 m sub punctul central al fundatiei ?

Rezolvare:

Inaintea executarii lucrarilor de sapare a santului, presiunea verticala este constanta pe toata suprafata planului orizontal si este egala cu:

Dupa realizarea santului, starea de tensiune este modificata in apropierea excavatiei. Daca se accepta ca sunt valabile ecuatiile lui Boussinesq pentru sarcini aplicate la adancimi mici in raport cu suprafata, atunci se poate determina repartitia tensiunilor ceruta in enuntul problemei.

Inaintea executarii santului, la adancimea de 2,4 m, presiunea verticala este:

Dupa saparea santului, presiunea la acest nivel este zero. In consecinta, se poate compara cu o excavatie la aplicarea unei presiuni de contact negativa (adica orientata in jos) la nivelul talpii santului, avand o valoare de 47 kN/m². Rezultatele obtinute din calcul sunt date in tabelul 3.21.

Tabelul 3.21.

Variatia presiunilor verticale

Datele obtinute din calcul sunt reprezentate grafic in fig.3.27.

Un radier dreptunghiular de fundatie are ca dimensiuni 12 m x 15 m si suporta o sarcina totala de 24 MN. Radierul este situat in interiorul unui depozit uniform de nisip, care la randul lui se afla pe un strat compresibil de argila cu grosimea de 3,2 m. Proprietatile stratului de nisip sunt urmatoarele:

a) Utilizand graficele din fig.7.22, sa se determine adancimea la care trebuie amplasat radierul, dupa ce cresterea tensiunii verticale in argila s-a stabilizat la o valoare de 75 kN / m². Trebuie admis prin ipoteza ca ecuatia lui Boussinesq este valabila pentru fundatii ingropate, putin adanci.

b) Fundatia fiind amplasata la o adancime determinata la punctul a), care este presiunea verticala totala maxima la baza stratului de argila, daca densitatea aparenta a argilei este de 2020 kg / m³ ?

Rezolvare:

a) Presiunea medie de contact pe suprafata comuna dintre pamant si fundatie este de:

24 10² : 12 15 = 133 kN / m²

Densitatea aparenta a nisipului situat deasupra nivelului hidrostatic este:

r_{a n} = 1950 1,09 = 2126 kg / m³

Inaintea realizarii fundatiei, presiunea verticala la adancimea D (m) in stratul de nisip nu poate fi atribuita decat prezentei tensiunilor din stratele acoperitoare si va fi egala cu:

2126 9,81 D kN / m² = 20,86 D kN / m²

pentru valori ale lui D mai mici de 4,3 m, adica pana la nivelul hidrostatic.

Cresterea tensiunii verticale in argila este datorata presiunii nete ce actioneaza la nivelul fundatiei. Presiunea neta este definita ca fiind diferenta dintre presiunea data de fundatie (a se intelege greutatea sa proprie si toata greutatea situata deasupra bazei sale) si presiunea existenta anterior, la nivelul fundatiei. In aceasta problema, prima din aceste presiuni este presiunea de contact cu valoarea de 133 kN / m² si a doua este presiunea data de stratele acoperitoare existenta initial, egala cu 20,86 D kN / m², in care D reprezinta acum adancimea fundatiei.

Presiunea neta = (133 - 20,86 D) kN / m², D 4,3 m.

Daca radierul ar fi fost situat aproximativ la o adancime de:

133 : 20,86 = 6,38 m

presiunea neta si prin urmare, cresterea tensiunii verticale in argila ar fi fost amandoua nule. Astfel, adancimea reala necesara fundatiei va fi in mod clar inferioara valorii de 6,38 m.

Dupa stabilirea adancimii de fundare necesara, se vor efectua calculele utilizandu-se trei valori de incercare, iar solutia reala se va gasi prin interpolare.

In consecinta:

- cu un radier la o adancime de 0 m, presiunea neta este de 133 kN / m²;

- cu un radier la o adancime de 1,5 m, presiunea neta este de 102 kN/m²;

- cu un radier la o adancime de 3 m, presiunea neta este de 70 kN / m².

Cresterea maxima a tensiunii verticale in argila se va produce pe suprafata sa superioara, adica cel mai aproape de fundatie si sub centrul radierului. Aceasta suprafata este la 6,4 m adancime in raport cu suprafata. Rezultatele obtinute in urma efectuarii calculelor sunt prezentate sub forma tabelara, tabelul 3.22.

Tabelul 3.22.

Variatia factorilor de influenta functie de adancimea fundatiei

Prin interpolare grafica se stabileste ca adancimea la care trebuie sa fie amplasat radierul, pentru a limita cresterea tensiunilor verticale in argila la 75 kN / m², este de 2,3 m. Ultima linie din tabelul 3.22 reprezinta un calcul de verificare. Aceasta adancime situeaza radierul deasupra valorii adancimii de 4,3 m al nivelului hidrostatic si in consecinta, calculele efectuate pentru presiunea neta sunt corecte. Daca nu s-ar fi obtinut acest rezultat ar fi fost necesar sa se accepte o toleranta convenabila pentru densitatea aparenta diferita a nisipului situat sub nivelul hidrostatic.

b) Fundatia fiind la adancimea de 2,3 m, distanta z pana la baza stratului de argila devine:

6,4 + 3,2 - 2,3 = 7,3 m

Atunci: n = 1,03 ; m = 0,82 ; I_f = 0,162 ; 4 I_f = 0,648.

Prin urmare, cresterea maxima a tensiunii verticale la baza stratului de argila este de:

0,648 85 = 55 kN /m²

Dupa obtinerea presiunii verticale totale maxime, la aceasta valoare trebuie adaugata presiunea data de stratele acoperitoare.

Densitatea aparenta a nisipului de deasupra nivelului hidrostatic a fost deja calculata, iar cea a argilei este data in problema.

Densitatea aparenta a nisipului de sub nivelul hidrostatic poate fi obtinuta astfel:

densitatea in stare uscata = 1950 kg / m³

Aceasta nu se va modifica prin saturare si prin urmare, volumul particulelor solide in 1 m³ de nisip saturat, este:

V = 1950 : (2,65 1000) = 0,736 m³

si deci indicele golurilor va fi:

Densitatea aparenta in stare saturata va fi:

Presiunea data de stratele acoperitoare este:

Presiunea verticala totala maxima la baza stratului de argila va fi:

55 + 199 = 254 kN / m²

In cazul in care fundatia descrisa la problema 3.3 transmite o sarcina de 800 kN pe suprafata unui strat , cu o presiune de contact care variaza liniar de la o valoare maxima in centrul fundatiei, pana la o valoare nula la periferia acesteia, sa se determine influenta pe care o exercita asupra tensiunilor calculate anterior.

Rezolvare:

In problema precedenta, tensiunea (vezi relatia (3.100)) a fost obtinuta integrand expresia σzz, relatia (3.99). In acest caz insa, q este functie de r si in acelasi timp independent de q. Prin urmare, pentru a putea rezolva aceasta problema, va fi necesar sa se stabileasca de la inceput relatia care exista intre q si r. Daca presiunea de contact maxima (adica in centrul fundatiei) se noteaza cu q_max, atunci:

                                            (3.105)

Presiunea de contact variabila, trebuie sa echilibreze sarcina totala aplicata P, adica:

  (3.106)

relatie din care rezulta ca presiunea de contact maxima q_max este de 3 ori presiunea medie , adica:

                                                                 (3.107)

Din relatiile (4.12) si (4.10) se obtine ca:

                                            (3.108)

Substituindu-se q in ecuatia (3.100) se obtine:

                          (3.109)

in care factorul de influenta [K] este:

                                        (3.110)

Evolutia componentelor tensiunii verticale este data in tabelul 3.23, q_med avand valoarea de 113 kN/m², la fel ca si in problema 3.3.

Tabelul 3.23.

Variatia tensiuni szz

Doua fundatii patrate cu latura de 3 m, sunt amplasate astfel incat distanta dintre centrele lor sa fie de 5 m si laturile lor paralele, pe suprafata orizontala a unui strat de pamant. Fiecare din ele suporta o sarcina verticala (a se intelege greutatea lor proprie) de 3,6 MN. Sa se determine distributia tensiunii verticale in planul orizontal situat la o adancime de 6 m, pe dreapta care uneste centrele lor. Presiunile de contact pot fi presupuse ca fiind uniforme.

Rezolvare:

Acest tip de problema reprezinta un exercitiu de determinare a efectelor combinate a doua fundatii. Intrucat, in mod curent, metoda de baza de rezolvare adoptata presupune o elasticitate liniara, solutia este obtinuta prin aplicarea principiului superpozitiei, ceea ce atrage dupa sine faptul ca rezultatul este o simpla suma algebrica a efectelor produse de fiecare din fundatii analizate separat. Presiunea medie de contact este:

Datorita faptului ca ambele fundatii au dimensiuni si sarcini identice, va fi suficient sa se efectueze calculele detaliate a tensiunilor numai pentru una din acestea. Metoda de rezolvare va fi cea reprezentata in fig.3.22. Intrucat exista simetrie in raport cu dreapta care uneste centrele fundatiilor, va fi considerata numai o jumatate din latime, iar rezultatele vor fi inmultite cu 2. Mai mult, aplicandu-se modul de calcul prezentat in fig.3.23, rezultatul va fi obtinut ca suma algebrica a rezultatelor celor doua zone dreptunghiulare solicitate.

In ansamblul calculelor rezultante prezentate in tabelul 3.24, adancimea z este de 6 m, obtinandu-se tensiunile (col. (j)) corespunzatoare sarcinii pe una din fundatii, la diferite distante fata de centrul acesteia (col. (a)). Tensiunile verticale rezultante, corespunzatoare sarcinilor pe cele doua fundatii, sunt obtinute in continuare asa cum este indicat in tabelul 3.25.

De mentionat ca, in tabelul 3.25., la adancimea particulara de 6 m pentru care sunt facute calculele, pamantul situat intre fundatii este solicitat mai puternic decat cel situat imediat sub acestea. Efectul de interactiune al celor doua fundatii se poate observa foarte clar comparandu-se valorile din coloana (b) cu cele din coloana (c).

Tabelul 3.24.

Variatia tensiunii verticale functie de distanta de la centrul fundatiei

Tabelul 3.25.

Tensiunea corespunzatoare sarcinii pe cele doua fundatii

O forta verticala de 500 kN este aplicata la o adancime de 5 m sub suprafata unui pamant care are coeficientul lui Poisson egal cu 0,50. Sa se traseze distributia tensiunii verticale de-a lungul liniei (directiei) de actiune a fortei, pana la o adancime de 15 m. Sa se compare cu ecuatia lui Boussinesq.

Rezolvare:

Pentru aflarea solutiei acestei probleme vom utiliza tabelul 3.26.

Tabelul 3.26.

Factorul de influenta al presiunii verticale corespunzator unei sarcini verticale punctiforme care actioneaza la o adancime "d" sub nivelul suprafetei. Coeficientul lui Poisson m = 0,50:

Pentru a obtine presiunea verticala la o adancime z data, se inmulteste factorul de influenta corespunzator raportului dat (z / d) si raportului distantei radiale (r / d) cu forta (sarcina punctiforma) P si se imparte la d².

Calculele referitoare la problema enuntata sunt date in tabelul 3.27.

Tabelul 7.27.

Variatia tensiunii verticale σzz

Din datele problemei avem ca:

r = 0 (considerandu-se axa)

d = 5 m

De unde rezulta:

Coloana (d) se obtine inmultind coloana (c) cu 20. Coloana (f) este calculata utilizandu-se factorul lui Boussinesq 0,4775 care se inmulteste cu , unde z_m este adancimea sub punctul de aplicare al fortei, adica:

z_m = z - 5

Facand o comparatie intre coloanele (d) si (f), se observa ca valorile lui Boussinesq sunt mai mari cu aproximativ 50 % pe o portiune destul de mare a adancimii studiate.

Un pilot vertical de 10 m lungime, suporta o forta de 1 MN, deci 400 kN sunt suportati prin rezistenta varfului pilotului, iar restul de 600 kN prin frecarea laterala. Se presupune ca materialul in care este fixat pilotul are coeficientul lui Poisson egal cu 0,50. Sa se calculeze tensiunea verticala in punctul situat la 6,7 m sub varful pilotului, la o distanta radiala masurata pe orizontala de 2 m. Forta de frecare este repartizata uniform pe toata lungimea pilotului.

Rezolvare:

Pentru rezolvare, vom utiliza tabelele 7.26. si 7.28. Avem ca:

r = 2 m ; z = 10 + 6,7 = 16,7 m

d = 10 m ; z / d = 1,67

Din tabelul 7.26. rezulta ca factorul de influenta este 0,497.

Tabelul 3.28.

Variatia tensiunii verticale σzz

Pentru a obtine presiunea verticala la o adancime z data, se inmulteste factorul de influenta corespunzator valorilor date ale raporturilor (z / d) si distantei radiale (r / d) cu valoarea totala a fortei P_t repartizata liniar si se imparte la d².

Tensiunea corespunzatoare fortei in varful pilotului, este:

Din tabelul 3.28 rezulta ca factorul de influenta este de 0,273. Tensiunea corespunzatoare fortei de frecare repartizata uniform, va fi:

Tensiunea verticala totala va fi:

2,0 + 1,6 = 3,6 kN/m²