Calculul tasarilor si a consolidarii pamanturilor. aplicatii - studii de caz

CALCULUL TASARILOR SI A CONSOLIDARII PAMANTURILOR. APLICATII - STUDII DE CAZ

Problemele care vor fi prezentate in cuprinsul acestui paragraf se refera la modul de stabilire a valorii tasarii fundatiilor care provine din consolidarea unui strat compresibil de argila. Datorita permeabilitatii relativ scazute a unui astfel de pamant, tasarea poate sa nu se manifeste dupa un interval considerabil de timp de la finalizarea lucrarii si punerea ei completa sub sarcina. Din acest motiv, atunci cand se calculeaza astfel de tasari, trebuie sa se tina seama de parametrul timp. Practic, calculul tasarilor care variaza in functie de timp trebuie sa se bazeze pe rezultatele incercarilor de consolidare realizate pe esantioane de pamant de dimensiuni mici. Rezultatele acestor incercari sunt exprimate in functie de coeficientul de compresibilitate, in raport cu care se calculeaza tasarea rezultata in urma consolidarii finale si de coeficientul de consolidare care depinde de viteza de avansare a tasarii.

1. In timpul unei investigatii de santier pentru realizarea proiectului unei cladiri, s-au prelevat esantioane dintr-o argila silicioasa saturata, care au fost supuse incercarilor de laborator, in scopul determinarii caracteristicilor de consolidare ale acestora. Intr-un edometru s-au aplicat variatii discrete (cresteri foarte mici) de presiune pe un esantion cu diametrul de 76,2 mm si inaltimea initiala a esantionului de 19 mm. Ca o regula generala, fiecare crestere a fost dublata fata de cea anterioara si a fost mentinuta timp de mai putin de 24 ore, pana la incetarea definitiva a procesului de tasare. Variatiile inaltimii esantionului au fost determinate in functie de timp si de presiunea aplicata. Valoarea maxima a presiunii aplicate a fost de 856 kN/m², dupa care presiunea a fost redusa si esantionul s-a putut umfla liber in prezenta apei, timp de 48 ore. In continuare s-a determinat umiditatea finala, care a inregistrat o valoare de 38,8 %. Rezultatele masuratorilor finale pentru fiecare presiune aplicata sunt date in tabelul 4.3., greutatea volumetrica a particulelor fiind de 2,70 g/cm³.

Sa se determine relatia care exista intre indicele golurilor si logaritmul presiunii efective; indicele de compresibilitate si coeficientul de compresibilitate pentru diferite intervale de presiune.

Tabelul 4.3.

Variatia scurtarii specifice functie de presiune

Rezolvare:

Pentru inceput este necesar sa se efectueze calculul indicelui golurilor la extremitatea fiecarui interval de presiune. Acest calcul se poate face plecand de la valoarea finala a umiditatii si de la variatiile cunoscute ale inaltimii epruvetelor in timpul fiecarei faze (etape de crestere a presiunii).

Indicele final al golurilor pentru materialul saturat este:

Inaltimea epruvetei in aceasta faza este de:

Intr-o etapa oarecare a incercarii, inaltimea h corespunde unui volum care este legat de marimea (1 + e). Coeficientul de variatie a indicelui golurilor in functie de inaltime este obtinut din relatia:

                                                                                (4.16)

de unde:

                                                             (4.17)

Inlocuindu-se valorile finale cunoscute ale lui e si h in relatia (8.17), se obtine:

                         (4.18)

Relatia (4.18) permite calculul variatiei indicelui golurilor, coloana (f) din tabelul 4.4., plecand de la variatiile cunoscute ale inaltimii, coloana (e).

Tabelul 4.4.

Variatia indicelui golurilor

In continuare, se poate completa coloana (g) incepand de la baza ei, cu indicele golurilor calculat anterior si scazand sau adunand, dupa caz, variatiile indicelui golurilor pentru fiecare faza. In final, se poate obtine corelatia dintre "e" si "lg p" si reprezenta grafic, asa cum se arata in fig. 4.4.

Prin definitie, indicele de compresibilitate este:

                          (4.19)

in care: de -este variatia indicelui golurilor rezultat dintr-o variatie dp a presiunii. Datorita faptului ca sarcinile au fost dublate pentru fiecare faza sau etapa de incercare, incepand cu valoarea de 26,75 kN/m², atunci d (lg p) va fi egal cu 0,3010. Variatiile de se pot obtine din tabelul 4.4. sau din fig. 4.4., iar in continuare, se pot determina valorile lui C_c care sunt date in tabelul 4.5., coloana (c).

Tabelul 4.5.

Valorile coeficientului de compresibilitate

Facand o comparatie intre coloanele (f) si (i) se pune in evidenta similitudinea rezultatelor obtinute utilizand cele doua metode diferite de rezolvare (vezi tabelul 4.5).

Raportul (de/dp) poate fi obtinut stabilind panta curbei e - p, fig. 4.5., sau printr-o metoda aproximativa de calcul, facand raportul dintre aceste cantitati care sunt date in tabelul 4.4. Rezultatele obtinute se regasesc in coloana (h), tabelul 4.5.

Coeficientul de compresibilitate m_v este definit prin ecuatia:

                             (4.20)

Prin urmare, acesta se poate determina impartind valorile lui a_v sau de/dp cu expresia , in care este indicele mediu al golurilor in intervalul dp. Rezultatele acestui calcul sunt trecute in coloana (f) din tabelul 4.5.

Pe de alta parte, se poate arata ca m_v este dat de (1/h) (dh/dp) si aceasta poate fi determinata plecand de la graficul inaltime - presiune efectiva (h - p), fig. 4.6 si variatia presiunii efective functie de grosimea stratului, h, fig. 4.7. Aceste valori ale lui m_v sunt date in tabelul 4.5., coloana (i).

2. In timpul uneia din fazele (etapele) de solicitare a unei argile supusa la consolidare monodimensionala, s-au obtinut valorile prezentate in tabelul 4.6. Se cere valoarea coeficientului de consolidare care tine seama de posibilitatea aparitiei efectelor datorita consolidarii secundare, in conformitate cu metoda propusa de Taylor si Merchant.

Tabelul 4.6.

Variatia lui d h functie de timp

Rezolvare:

Metoda propusa de Taylor si Merchant se bazeaza pe faptul ca pana la o valoare de aproximativ 50 % din consolidarea totala, curba teoretica U_v / T_v pentru o distributie uniforma a presiunii, asa cum se presupune ca se aplica la incercarea cu edometru, este foarte aproape de o parabola de ecuatie:

(4.21)

Daca se reprezinta grafic in functie de U_v se obtine o linie dreapta cu panta 1,13. Datorita faptului ca tasarea este legata de marimea U_v, iar timpul de marimea T_v, daca se reprezinta grafic in functie de tasare sau de inaltimea esantionului, se obtine o diagrama similara, prezentata in fig. 4.8.

Pentru a putea determina coeficientul de consolidare, se traseaza o dreapta de la primele puncte ale curbei, acoperind un interval de 50 % sau putin mai mult, din variatia totala a inaltimii, reprezentata in fig.8.8 prin dreapta OH. In exemplul dat, aceasta dreapta trece aproximativ prin originea sistemului de coordonate. Acest caz nu este intalnit intotdeauna, uneori fiind chiar indicata o abatere de la valoarea zero.

In continuare, se traseaza dreapta OJ, astfel incat abscisa acesteia, pentru orice valoare a inaltimii, sa fie de 1,155 ori abscisa dreptei OH. Punctul de intersectie al dreptei OJ cu curba experimentala determina punctul C care are ordonata 90 % din tasarea data de consolidarea primara. Din figura, avem ca:

OD = 0,75

de unde rezulta ca:

si datorita faptului ca nu exista nici o corectie de zero, aceasta cifra reprezinta valoarea consolidarii primare.

La fel avem ca:

si        

Coeficientul de consolidare c_v este dat de expresia:

                                                                      (4.22)

unde:

d = 1/2 x inaltimea medie a esantionului edometric:

d = 1/2 x 18,663 = 9,331 mm,

si prin urmare:

3. Utilizand datele din problema 8.2, sa se determine coeficientul de consolidare corectat, pentru a tine seama si de efectul consolidarii secundare, folosind procedeul lui Casagrande. Sa se arate ca poate fi calculat coeficientul de permeabilitate plecand de la rezultatele unei incercari de consolidare, fig. 4.9.

Rezolvare:

In cadrul acestei metode de rezolvare, se traseaza intr-un sistem de axe de coordonate semilogaritmic, curba timp - tasare, asa cum este reprezentata in fig.4.9. Metoda consta in urmatoarele:

Graficul se compune dintr-o curba formata din doua portiuni apropiate de drepte, racordate printr-un arc de cerc. Prima linie dreapta reprezinta consolidarea primara, iar a doua consolidarea secundara. Punctul de intersectie al celor doua drepte reprezinta valoarea de 100 % din consolidarea primara. Pentru a efectua corectia puntului de abscisa nula (tasarea instantanee) se aplica aceeasi ipoteza ca si in cazul problemei 4.2, adica prima parte a graficului are forma parabolica. Abscisa punctului A, timpul t, se alege conventional, corespunzand unei valori mai mici de 50 % din consolidare si se determina inaltimea pentru o valoare a timpului egala cu t/4. Diferenta dintre inaltimile corespunzatoare momentelor t si t/4 este apoi trecuta deasupra valorii t/4, obtinandu-se astfel dreapta de compresiune nula. In cazul acestui exemplu, punctul A are abscisa t = 1,0 min. si variatia inaltimii este de 0,381 mm. Pentru t/4 = 0,25 min. (punctul B), variatia inaltimii este de 0,127 mm. Diferenta este de 0,254 mm si aceasta valoare este reprezentata deasupra lui B pentru a da o valoare a compresiunii initiale de - 0,127 mm.

Totodata, avem ca:

- pentru U_v = 0, variatia inaltimii este de - 0,127 ,,M

- pentru U_v = 100 %, variatia inaltimii este de + 0,915 mm.

Prin urmare, pentru U_v = 50 %, variatia inaltimii este de + 0,394 mm.

In concluzie, pentru o valoare a consolidarii de U_v = 50 %, inaltimea esantionului este de 18,808 mm.

Lungimea de drenare va fi jumatate din aceasta valoare, adica 9,404 mm.

Pentru U_v = 50 %, avem ca:

T_v = 0,197 (valoare teoretica, vezi tabelul 4.9.)

Deoarece:

                                                                     (4.23)

rezulta ca:

                                                                     (4.24)

In cazul in care portiunea de mijloc a graficului este curba si nu este dreapta, punctul corespunzator valorii de 100 % din consolidare se determina prin intersectia liniei drepte finale cu tangenta la punctul de inflexiune inferior al portiunii mediane a graficului. Avand determinat coeficientul de consolidare si valoarea corespunzatoare m_v a coeficientului de compresibilitate, se poate obtine valoarea coeficientului de permeabilitate k, plecand de la relatia:

     (prin definitie) (4.25)

de unde rezulta:

                                                             (4.26)

4. Un radier al unei fundatii este situat pe un strat de nisip, care la randul lui se afla pe un pat omogen de argila situata deasupra unui mediu permeabil(fig. 4.10). Se cere sa se estimeze tasarea finala pentru punctul central al fundatiei, cat si tasarea dupa 10 ani. Se dau:

Caracteristicile medii ale consolidarii argilei sunt date in tabelul 4.7.

Tabelul 4.7.

Coeficientul de compresibilitate

In intervalul de presiuni considerate, se aplica un coeficient de consolidare mediu de 0,027 mm²/s.

Rezolvare:

Dupa cum s-a aratat la problema 8.1, coeficientul m_v este:

                                                                 (4.27)

de unde:

                                                           (4.28)

Reducerea grosimii unui strat cu grosimea initiala h, supus unei cresteri efective de presiune dp, poate fi determinata daca se cunoaste m_v. Aceasta marime m_v este in functie de p (vezi fig.4.11) si prin urmare, este necesar sa se cunoasca valoarea lui p si respectiv, variatia presiunii efective.

Pentru a rezolva aceasta problema va trebui sa cunoastem:

- distributia initiala a presiunii efective pe toata adancimea stratului compresibil;

- distributia finala a presiunii efective;

- relatia intre p si m_v.

Aceasta relatie este deja cunoscuta si in consecinta, va trebui sa determinam primele doua conditii care sunt punctul de plecare esential al calculului.

Deoarece argila are o grosime apreciabila, va exista variatie de presiune pe toata adancimea sa. Pentru un calcul precis, va trebui sa se determine tasarea, rezolvand integrala:

                                                    (4.29)

in care ds inlocuieste dh si dh inlocuieste h din relatia (4.27). In ecuatia (4.29), dp este in functie de h, m_v este functie de p si deci si de h. Cel mai usor mod de a rezolva ecuatia in raport cu s este de a utiliza metoda insumarii, considerand ca stratul cu grosimea totala h este impartit in strate mici de grosimi dh, pentru fiecare strat fiind calculata o valoare medie m_v. Astfel, se obtine ca:

                                             (4.30)

Prin urmare, stratul de argila este impartit intr-un numar convenabil de strate (in acest exemplu un numar de 5 strate), iar tasarea fiecarui strat va fi calculata asa cum se arata in tabelul 4.8.

Tabelul 4.8.

Valorile tasarii specifice

In acest mod s-a calculat presiunea efectiva initiala la mijlocul adancimii fiecarui strat.

Densitatea aparenta a nisipului de deasupra nivelului hidrostatic este:

Sub nivelul hidrostatic, nisipul va fi complet saturat si va avea o densitate aparenta:

Densitatea in stare uscata a nisipului este 1830 kg/m³ si prin urmare, vom avea:

de unde se obtine e ca fiind:

valoare care se inlocuieste in relatia densitatii si rezulta ca:

Pentru argila densitatea aparenta este 1920 kg/m³.

La adancimea z, in metri, sub nivelul superior al stratului de argila, presiunea initiala va fi:

Presiunea interstitiala corespunzatoare nivelului hidrostatic, este:

Din ultimele doua relatii, rezulta ca presiunea efectiva initiala este:

z fiind masurat in metri.

Aceste valori sunt trecute in coloana (e) din tabelul 4.8. Presiunea corespunzatoare solicitarii poate fi determinata in mai multe moduri, asa cum de fapt s-a aratat in capitolul anterior. Aici este important sa reamintim ca aceasta presiune este de fapt presiunea neta la nivelul fundatiei care trebuie sa fie utilizata pentru a stabili presiunea suplimentara. Spre exemplu, daca greutatea structurii si sarcinilor suprapuse au fost suficiente pentru a crea o presiune de contact egala cu presiunea data de stratele acoperitoare preexistente deasupra fundatiei, presiunea va fi nula, iar cresterile de presiune nu se vor exercita asupra stratului acoperitor. Teoretic, tasarile ar putea fi nule.

In finalul calculelor se va presupune ca solicitarea neta a fundatiei va produce o presiune de contact uniform repartizata. Intensitatea presiunii nete la nivelul fundatiei este de:

Tensiunile verticale corespunzatoare acestei presiuni a fundatiei, asemenea celor calculate prin metodele prezentate in capitolul 4, sunt trecute in coloana (f).

Aceste tensiuni au fost stabilite numai pentru punctele situate sub centrul fundatiei, deoarece, datorita simetriei existente in aceasta problema, tasarea maxima se va produce in aceasta zona.

Valorile lui m_v care corespund presiunilor efective medii din coloana (h) sunt obtinute de pe curba din fig.8.11. si sunt trecute in coloana (i). Cele doua coloane extreme sunt completate asa cum este indicat in tabel si facand suma valorilor d s se obtine tasarea totala. In acest exemplu, se observa ca valorile lui m_v sunt apropiate si ca nu ar fi introdusa nici o eroare importanta utilizandu-se valoarea medie aritmetica sau o valoare bazata pe presiunea efectiva medie. Acest lucru nu are loc insa intotdeauna in practica.

Se vede ca presiunea efectiva suplimentara sau neta care produce consolidarea variaza liniar, de la valoarea de aproximativ 150 kN/m² la suprafata superioara a argilei, pana in jurul valorii de 90 kN/m², la baza.

Calculul tasarii dupa 10 ani

Factorul timp este:

S-a luat in considerare o lungime de drenare egala cu 3,75 m, deoarece argila este situata pe un mediu permeabil.

Pentru aceasta valoare a lui T_v, U_v este de 0,81 (vezi tabelul 4.9.). Tasarea dupa 10 ani va fi:

5. Un strat de argila situat sub o cladire s-a consolidat si a inregistrat o tasare de 30 mm intr-o perioada de 300 de zile din momentul in care solicitarea cladirii a devenit efectiva. Dupa rezultatele incercarilor de consolidare realizate in laborator, aceasta corespunde valorii de 25 % din consolidarea stratului. Se cere sa se gaseasca si sa se traseze curba probabila timp - tasare pe o durata de 10 ani. Drenarea in strat se poate produce in cele doua directii.

Rezolvare:

U_v = 0,25 pentru t = 300 zile

s_t = 30 mm

de unde se obtine ca tasarea totala este:

Pentru U_v < 0,50 avem:

            pentru drenaj dublu

Inlocuindu-se in aceste relatii valorile cunoscute, vom avea:

de unde:

Prin urmare, pentru U_v avand valori de pana la 0,50 putem scrie ca:

relatie din care se obtine timpul:

Relatia intre gradul de consolidare si factorul timp:

Modul de repartizare a presiunii (curgere monodimensionala):

Observatie: Pentru o curgere bidimensionala se utilizeaza conditia (1) in cazul repartizarilor liniare ale presiunii, iar "d" se ia ca fiind egal cu jumatate din grosimea stratului.

Inlocuind diferitele valori ale lui U_v situate in intervalul 0 - 0,50 se pot obtine timpii corespunzatori, in zile. Pentru conditia de drenaj dublu si valorile lui U_v superioare lui 0,50 se pot obtine valorile corespunzatoare aproximative ale lui T_v cu ajutorul expresiei:

- dupa Fox (4.31)

sau plecand de la relatia:

       - dupa Terzaghi (4.32)

sau plecand de la tabelele prezentate. Astfel, se poate completa tabelul 8.10. si se poate trasa curba timp - tasare, fig.4.12.

Tabelul 4.9.

Variatia gradului de consolidare

Tabelul 4.10.

Variatia grdului de consolidare

6. Durata de solicitare a unei cladiri noi a avut loc in perioada mai 1955 si mai 1957. In mai 1960 tasarea medie masurata a fost de 114 mm. Se stie ca tasarea finala va fi in jur de 356 mm. Sa se estimeze tasarea in mai 1965. Se presupune ca se produce un drenaj dublu (curgere bidimensionala).

Rezolvare:

In majoritatea cazurilor practice in care sarcina este aplicata intr-o anumita perioada de timp, se obtine o precizie acceptabila utilizand relatiile de calcul timp - tasare si presupunand ca momentul de referinta considerat este la mijlocul intervalului de solicitare sau de constructie.

In aceasta problema avem:

s_t = 114 mm pe o perioada de timp t = 4 ani;

s = 356 mm.

Se cere tasarea pe durata t = 9 ani, adica in 1965. Presupunem, ca punct de plecare, ca tasarea dupa t = 9 ani va fi U_v 0,50. In aceste conditii:

Daca notam: s_{t 1} tasarea la momentul t₁ si s_{t 2} tasarea la momentul t₂, atunci:

                                                                     (4.33)

Dar:

                                                                 (4.34)

Din relatiile (4.33) si (4.34) se obtine ca:

                                           (4.35)

Deoarece: = constant, rezulta ca:

si tasarea la momentul t₂ va fi:

Prin urmare, la t = 9 ani gradul de consolidare va fi:

Cum aceasta cantitate este mai mica de 0,50, inseamna ca relatiile utilizate sunt corecte. In concluzie, valoarea tasarii ceruta in enuntul problemei este de 171 mm.

In situatia in care gradul de consolidare ar fi depasit valoarea de 0,50, atunci ecuatiile utilizate nu ar fi fost cele corespunzatoare si prin urmare, ar fi trebuit sa se faca apel la valorile U_v si T_v prezentate in tabelele anterioare. Spre exemplu, daca pentru conditiile date s-ar fi produs in mai 1960 o tasare de 152 mm in loc de valoarea precedenta de 114 mm, ar fi fost necesar sa realizam urmatorul calcul:

s_t = 152 mm la t = 4 ani;

s = 356 mm.

Astfel, pentru gradul de consolidare s-ar fi obtinut:

      la t = 4 ani

Pentru o drenare dubla, aceasta valoare a lui U_v conduce la:

care a fost obtinuta prin interpolare din tabelul 4.5.a.

Se poate scrie ca:

si intrucat t = 4 ani, vom avea:

Pentru t = 9 ani:

Din tabelul 4.5.a se observa ca la T_v = 0,3375 ii corespunde un grad de consolidare U_v = 0,65.

Astfel, tasarea in mai 1965 ar fi fost:

7. Trebuie sa se construiasca un rambleu deasupra unei zone situata pe un strat compresibil de argila, aflat la randul lui pe un strat de roci mai tari. Rambleul trebuie sa aiba inaltimea de 7,35 m si dupa consolidare va rezulta o crestere a tensiunii verticale efective medii in argila de la o valoare de 86 kN/m² pana la 204 kN/m². Coeficientul de consolidare pentru argila, in cele doua directii - orizontala si verticala - este de 0,0699 mm²/s, iar coeficientul sau de compresibilitate este m_v = 0,00023 m²/kN. Stratul are grosimea de 7,6 m. Rambleul, destinat sa suporte o sosea, trebuie sa fie construit in 4 luni si este prevazut ca dupa un an de la inceperea construirii sa se realizeze protejarea soselei. Dupa protejarea acesteia, se va accepta o tasare de 25 mm. Sa se arate in ce mod poate fi obtinut acest rezultat.

Rezolvare:

In problemele de care ne-am ocupat pana acum, am prezentat o serie de aplicatii ale teoriei lui Terzaghi in consolidarea monoaxiala, in care tasarile se produc datorita expulzarii apei numai in sens vertical sub efectul gradientilor de presiune creati de sarcinile aplicate. Cu cat pamantul este mai putin permeabil, cu atat grosimea care intereseaza este mai mare si timpul in care se produce cea mai mare parte a tasarii este mai lung. In anumite cazuri, nu se pot accepta tasarile pe o perioada indelungata si este necesar sa se gaseasca metodele corespunzatoare pentru a evita acest inconvenient.

O astfel de metoda consta in forarea unor puturi cu diametrul de pana la 0,5 m sau chiar mai mare, la distante egale si care traverseaza total sau partial stratul compresibil. In continuare, aceste foraje (puturi) sunt umplute cu un material de o anumita granulometrie si cu permeabilitate ridicata. Prin suprapresiune, apa interstitiala va putea fi atunci evacuata orizontal, pana la un dren orizontal (nu vertical) si intrucat traiectoriile orizontale de drenaj pot fi reduse substantial si fiind mai scurte decat cele verticale, viteza de consolidare va fi accelerata. Un astfel de dispozitiv este cunoscut sub denumirea de dren de nisip.

Pe langa faptul ca accelereaza viteza de tasare, drenurile de nisip produc o crestere mai rapida a rezistentei la forfecare asociata si in consecinta, ofera posibilitatea aplicarii unor sarcini mai mari asupra pamantului inca din fazele initiale de realizare a constructiei. Un dispozitiv tipic de dren de nisip este reprezentat in fig.4.13.

Calculul tasarii finale

Tasarea finala corespunzatoare consolidarii unui strat compresibil de pamant se calculeaza utilizandu-se procedeele uzuale care au fost descrise anterior. Intrucat tasarea este , se presupune ca prezenta drenurilor de nisip nu are nici o influenta.

Calculul vitezei de tasare

Acest calcul se bazeaza pe o extindere a teoriei lui Terzaghi si se aplica la drenarea radiala orizontala. Pentru un dispozitiv particular de drenuri de nisip, metoda consta in a calcula, in mod separat, gradele de consolidare corespunzatoare drenajului vertical si radial si de a le combina apoi, asa cum se prezinta in cele ce urmeaza.

Gradul de consolidare corespunzator unui singur drenaj vertical, la momentul t dupa aplicarea solicitarii, este dat de:

                                                                  (4.36)

unde: U_v este gradul de consolidare corespunzator unui singur drenaj vertical; T_v - coeficient de durata (factorul timp) pentru consolidarea corespunzatoare drenajului vertical, T_v = c_v t / d²; c_v - coeficient de consolidare in sens vertical; d - lungimea traiectoriei verticale a drenajului (a carui valoare depinde de modul de drenare, fie de un drenaj bidimensional, fie de un drenaj monodirectional).

Aceasta ecuatie (4.36) este cea care va fi utilizata, functia f₁ (T_v) fiind redata valoric in tabelul 4.10, iar grafic este reprezentata in fig.4.14.

Solutia ecuatiei din care se obtine U_R tine seama de o alta cantitate, n, care este raportul dintre raza echivalenta R si raza drenului r, adica:

                                                                           (4.37)

In fig.4.14. sunt trasate curbele reprezentative a relatiei intre U_R si T_r pentru un ansamblu de valori n.

Gradul de consolidare rezultant, U, datorat efectului combinat al drenajului vertical si radial, este dat de:

                         (4.38)

valorile lui U, U_v si U_R fiind exprimate in procente.

Tasarea la momentul t se obtine din ecuatia:

                                                                     (4.39)

In aceasta problema, tasarea finala este:

deoarece m_v si dp sunt presupuse independente de h si:

Considerand pentru momentul initial, pe scara timpului, mijlocul perioadei de realizare a constructiei, se obtine ca acest dispozitiv produce o tasare de: 206 - 25 = 181 mm in 10 luni.

Totodata, daca t = 305 zile, U 88 %, atunci:

Din graficul prezentat in fig.4.14. se obtine ca: U_v = 18 %.

Daca se realizeaza drenuri dispuse dupa o retea patrata, avand diametrul de 380 mm si distanta dintre centrele acestora este de 2,14 m, atunci:

Prin urmare

Din graficul prezentat in fig.8.14, se obtine:

U_R = 90 %

U = 91,8 %

Aceasta este superioara valorii minime dorite si se poate spune ca dispozitivul va avea performante satisfacatoare. Crescand distanta dintre centrele drenurilor pana la 2,29 m se va reduce U la 86,9 %, care este mult sub valoarea dorita. In practica, dispozitivele posibile de aplicat trebuie sa fie incercate pentru diferite valori ale diametrelor, distantelor dintre centre si de ce nu, a configuratiei, iar solutia adoptata va trebui sa raspunda atat criteriilor economice, cat si tehnice.

8. Ca alternativa in utilizarea exclusiv a drenurilor de nisip pentru a accelera consolidarea, uneori se utilizeaza o suprasolicitare temporara suplimentara. Aceasta permite reducerea numarului de drenuri de nisip necesare. In dispozitivul descris in problema 4.7, se realizeaza o grosime suplimentara temporara de rambleu care creste tensiunea verticala efectiva la 236 kN/m². Se cere sa se gaseasca ce modificare va fi adusa dispozitivului de drenaj ?

Rezolvare:

Presupunem ca cresterea presiunii corespunzatoare suprasarcinii temporare nu este suficienta pentru a modifica valorile calculate ale coeficientului de consolidare si a celui de compresibilitate. Tasarea finala va fi:

Urmand toata metodologia prezentata anterior, se stabileste ca o distanta de 2,90 m intre drenurile aranjate in retea patrata (drenuri cu diametrul de 380 mm) va produce un grad de consolidare U = 71,3 % si astfel, va constitui o solutie satisfacatoare. Reamintim ca in problema 4.7 erau necesare drenuri situate la o distanta de 2,14 m (retea patrata). In consecinta, economia de drenuri va fi de:

9. Utilizand datele problemei 4.7, sa se calculeze din nou conditiile cerute drenajului, in cazul in care pamantul compresibil ar avea un coeficient de consolidare orizontal egal cu de patru ori coeficientul in sens vertical, adica 0,280 mm²/s.

Rezolvare:

Aceasta neomogenitate este un caz care se produce in mod frecvent in natura si care poate avea consecinte importante, asa cum arata aceasta problema.

Tasarea finala va fi de 206 mm.

      (vezi problema 4.7.)

Vom incerca drenuri de nisip cu diametrul de 380 mm a caror centre sunt repartizate dupa o retea patrata cu latura de 3,66 m.

Din fig.8.14. se obtine ca:

U_R = 87,7 %

ceea ce este corect, avand in vedere conditia U 88 %.

Efectul anizotropiei este de a reduce numarul de drenuri necesare, cu un factor egal cu:

In practica, perturbatiile aduse terenului in timpul realizarii drenurilor pot conduce la o modificare a proprietatilor de drenare a asa-numitei <<zone impurificate>>. Scopul insa, nu este de a discuta aici acest tip de problema, dar este posibil sa se tina seama, daca se efectueaza calculele, de o reducere a diametrului drenului.

10. Un rezervor circular cu diametrul de 36 m este asezat pe un strat de argila consolidat in mod natural, cu grosimea de 30 m. Care este ordinul de marime al erorii susceptibile sa se produca la determinarea tasarii prin consolidare, utilizand teoria consolidarii monodimensionale ?

Rezolvare:

In problema 8.4 calculul tasarii raspundea rezultatelor incercarii la consolidare in laborator. Mai mult, s-a presupus ca cresterea presiunii apei interstitiale la fiecare treapta de aplicare a sarcinii este egala cu cresterea presiunii verticale la aceasta treapta si ca aceasta din urma era, eventual, complet disipata, astfel incat sa se produca o crestere a presiunii efective finale egala cu presiunea aplicata in treapta respectiva. Astfel, a fost obtinuta o consolidare de 100 %. Este de fapt ceea ce se produce la incercarea edometrica, daca se neglijeaza efectele consolidarii secundare si daca se presupune ca nu este indus nici un efort de frecare intre esantioane si inelul de prindere.

In problemele practice de santier este valabila o analogie intre rezultatele incercarii edometrice si rezultatele in situ, daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:

a) un strat relativ subtire de argila situat intre strate necompresibile;

b) zona solicitata este extinsa si dimensiunea sa orizontala este mare in raport cu grosimea stratului de argila situat dedesubt.

In aceste conditii, tensiunile laterale vor avea o importanta foarte mica, exceptand marginile zonei solicitate. Din pacate insa, datorita acestor limitari, majoritatea calculelor de tasare sunt inca efectuate pornind de la o aplicare directa a teoriei de consolidare monodirectionala a lui Terzaghi. Recent, au fost sugerate si alte metode de investigare, dintre care usor de aplicat este metoda preconizata de Skempton si Bjerrum. Vom prezenta in continuare si o aplicatie a acestei metode, dar, inainte de a rezolva aceasta problema, este bine sa se mentioneze principiile acestei metode de rezolvare.

Aplicarea unor variatii Ds₁ si Ds₃ tensiunilor principale conduce la o suprapresiune a apei interstitiale, u, data de expresia:

                        (4.40)

in care A si B sunt coeficientii presiunii interstitiale. Pentru argile saturate, coeficientul B = 1. Valoarea lui A poate fi determinata din masuratorile obtinute pentru presiunea interstitiala in urma realizarii incercarilor triaxiale nedrenate. In general, ea depinde de valorile tensiunile aplicate si din acest motiv nu este strict constanta pentru orice tip de argila. In tabelul 8.11. sunt date valorile lui A pentru diferite tipuri de argile.

Tabelul 4.11.

Valorile coeficientului presiunii interstitiale

Daca in ecuatia (4.40) vom nota ca A = 1 si B = 1, atunci:

                                                                     (4.41)

care este de fapt ipoteza clasica. Daca A 1, atunci presiunea interstitiala care trebuie sa fie disipata este functie atat de Ds₃, cat si de Ds₁

S-a vazut in capitolul 4, ca pentru diferite forme si dimensiuni ale zonei solicitate, este posibil sa se calculeze Ds₁; valorile lui Ds₃ pot fi obtinute in mod similar. Prin urmare, va trebui sa se scrie corect, ecuatia tasarii:

                  (4.42)

      (4.43)

Pentru usurarea calculelor, putem utiliza expresia:

                                                                    (4.44)

in care:

                                                          (4.45)

a fiind functie de caracteristicile geometrice ale problemei. Valorile lui a sunt date in tabelul 4.12., in functie de raportul z / b, in care z este grosimea stratului de argila situata sub un pilot de latime b. Aceste valori sunt reprezentate grafic in fig.4.15.

Tabelul 4.12.

Valorile lui a pentru diferite forme de piloti

Raportul: z / b = 30 / 36 = 0,83.

Din tabelul 8.11. sau fig.8.15, prin interpolare, se obtine ca:

a = 0,41

Pentru A = 0,50:

m = 0,50 + 0,41 (1 - 0,5) = 0,70

Pentru A = 1,00:

m = 1,0 + 0,41 (1 - 1,0) = 1,0

Tasarea prin consolidare este astfel susceptibil de a fi supraestimata de o valoare care poate ajunge la 0,30 / 0,70 = 43 %. Daca pamantul in discutie ar fi o argila nisipoasa puternic preconsolidata, supraestimarea ar fi atunci si mai mare.

In acest caz, A ar varia intre 0 - 0,25.

Pentru A = 0,25:

m = 0,25 + 0,41 (1 - 0,25) = 0,56

Pentru A = 0:

m = 0,41

Supraestimarea s-ar situa in intervalul 79 - 144 %.

11. Un strat orizontal de argila cu grosimea h in metri, este supus la o solicitare care determina o repartizare liniara a presiunii, incepand de la un maxim p, kN/m² la suprafata superioara, pana la 0,5 p, kN/m² la limita sa inferioara. Acest strat este acoperit de strate permeabile si este situat pe un strat permeabil. Sa se determine relatia care exista intre coeficientul de durata (factorul timp) T_v si gradul de consolidare U_v al acestui strat. Sa se traseze grafic distributia suprapresiunilor interstitiale pentru coeficientii de durata care ajung pana la o valoare de 0,20, fig. 4.16.

Rezolvare:

Ecuatia care sta la baza obtinerii consolidarii monodimensionala, este:

                          (4.46)

ecuatie ce descrie modul in care suprapresiunea interstitiala u variaza in functie de adancimea z si timpul t. Pentru anumite tipuri de solicitare, aceasta ecuatie poate fi rezolvata daca se tine seama riguros de conditiile date la limita. In tabelul 8.17. sunt date asemenea rezultate considerate in cazul problemei tip ce se pune aici.

In loc de a adopta o metoda de rezolvare strict matematica, aceasta problema se poate rezolva utilizandu-se un procedeu numeric de aproximare, care este o aplicatie mai generala decat metoda clasica de rezolvare, datorita faptului ca aceasta se poate aplica la numeroase configuratii de distributie a presiunii interstitiale.

Ecuatia diferentiala care sta la baza rezolvarii acestei probleme este inlocuita printr-o aproximare de diferente finite, obtinand:

b                      (4.47)

In aceasta ecuatie: u₀, u₂ si u₄ reprezinta suprapresiunile interstitiale la momentul t, in punctele 0, 2 si 4 in argila, situate pe verticala, la o distanta Dz; Dt - crestere foarte mica de timp; Du₀ - cresterea suprapresiunii interstitiale in punctul 0, fig.4.17.

Considerand:

                                                                    (4.48)

ecuatia (4.47) devine:

                    (4.49)

Se poate da lui b o valoare convenabila (dar care sa fie mai mica de 0,50) si dupa ce stratul compresibil a fost impartit intr-un numar convenabil de strate h = m Dz, atunci Dt este o valoare constanta pentru orice valoare a lui c_v. Utilizarea repetata a acestei ecuatii permite stabilirea lui u pentru diferite adancimi si la diferite momente.

In aceasta problema grosimea totala h va fi impartita in 10 strate, astfel ca vom avea: m = 10 si Dz = 0,1 h; pentru b se va considera valoarea b = 0,25.

Prin definitie:

Inlocuind:

                                                                       (4.50)

in care: n este numar intreg, n = 1, 2, 3, ., si:

                                                                    (4.51)

atunci:

                                                            (4.52)

deoarece d = h / 2, drenajul realizandu-se in ambele sensuri.

Prin urmare, vom avea ca:

        (4.53)

In acest exemplu: b = 0,25 si m = 10 si astfel obtinem:

T_v = 0,01 n

In fig.4.17., valorile initiale ale suprapresiunii interstitiale sunt inscrise pe axa verticala dreapta, pentru diferite nivele ale stratului de argila. Pentru calcul, valoarea superioara este luata egala cu 100 unitati (si egala cu p), iar valoarea pe suprafata inferioara este egala cu 50 unitati (egala cu 0,5 p). Celelalte valori sunt interpolate liniar. Ele reprezinta suprapresiunile interstitiale generate de dispozitivul de solicitare (de realizare a sarcinii) la momentul t = 0, care eventual vor fi complet disipate pentru t = , solicitarea devenind atunci complet operativa asupra pamantului.

Intrucat drenarea se produce o data pe limitele superioara si inferioara, suprapresiunile interstitiale la aceste nivele vor scadea imediat la valoarea zero. Aceste valori sunt inscrise in varful si la baza liniei verticale urmatoare a retelei care reprezinta distributia pentru un coeficient de durata de 0,01 (sau altfel spus, pentru momentul t = D t).

Aplicand ecuatia:

se gaseste noua valoare in punctul X, care este egala cu:

Se inscrie si aceasta valoare pe grafic, iar restul valorilor pentru T_v = 0,01 se stabilesc in mod similar.

In continuare, se trece la urmatorul interval de timp pentru care T_v = 0,02 si se repeta procedeul, utilizandu-se valorile care au fost calculate pentru T_v = 0,01. Ansamblul valorilor ramase se obtin la fel, pana la T_v = 0,20. In fig.4.18. este reprezentata distributia presiunilor pentru n valori diferite (T_v = 0,01 n).

Pentru determinarea gradului de consolidare se procedeaza astfel: compresiunea sau tasarea variaza direct proportional in functie de tensiunea efectiva si este:

Dar: dp la toate nivelele si la momentul t este u_{t = 0} - u_t , de unde se obtine ca tasarea va fi:

Tasarea =                            (4.54)

Valorile u_{t = 0} apar ca valori de plecare in stabilirea lui u, fig.4.18. iar valorile lui u_t sunt obtinute din aceeasi figura pentru diferite valori ale lui t. Calculul se efectueaza printr-o insumare numerica, inlocuindu-se ecuatia diferentiala cu forma sa echivalenta:

Tasarea =                         (4.55)

Tasarea finala va fi , deoarece valoarea finala a lui u este nula pe toata adancimea.

Prin urmare, gradul de consolidare va fi:

                                (4.56.)

sau:

   (4.57.)

Numaratorul expresiei (4.56.) sau (4.57.) este aria suprafetei graficului suprapresiunii interstitiale la momentul t si numitorul este aria suprafetei graficului suprapresiunii interstitiale initiale. Aceste doua suprafete pot fi determinate foarte usor fie prin planimetrie, fie aplicand regula lui Simpson sau alte metode de aproximare. Spre exemplu, vom considera ca T_v = 0,20. Valorile presiunii interstitiale sunt reprezentate in fig.4.18. si trecute in coloana (b) din tabelul 4.13.

Aria suprafetei diagramei u_t = 378,1 Dz.

Aria suprafetei diagramei .

De aici rezulta ca:

             pentru T_v = 0,20

Celelalte valori ale lui U_v au fost obtinute plecand tot de la fig.4.17. si sunt trecute in tabelul 4.14. Valorile rezultate sunt reprezentate grafic in fig.4.19., la fel ca si curba reprezentativa data de valorile din tabelul 4.9. Referitor la aceasta figura, vom preciza ca exista o concordanta excelenta intre aceste valori.

Tabelul 4.13.

Valorile presiuni intrestitiale

Tabelul 4.14.

Valorile suprapresiunii interstitiale

12. Sa se preia calculul precedent (problema 4.11) in cazul unui strat supus la o suprapresiune interstitiala initiala repartizata dupa o diagrama triunghiulara, valoarea maxima a acesteia fiind inregistrata la suprafata superioara a argilei; drenajul nu se efectueaza decat prin aceasta suprafata superioara.

Rezolvare:

Stratul de argila va fi impartit in 5 benzi, adica m = 5 si b = 0,25.

deoarece: h = d, drenarea realizandu-se intr-un singur sens.

La fel ca si in problema precedenta:

Limita inferioara impermeabila impune o conditie suplimentara:

                     (4.58)

Scriind aceasta ecuatie sub forma diferentelor finite, vom avea:

                                            (4.59)

de unde rezulta ca:

u₄ = u₂

Eliminand u₄ din ecuatia care descrie fenomenul, se obtine:

Aceasta ultima ecuatie o inlocuieste pe prima, dar numai pentru punctele situate pe limita inferioara.

Fara a lua in considerare aceasta exceptie, calculul se continua in acelasi mod ca si in cazul problemei 4.11. Rezultatele obtinute din calculul presiunilor sunt reprezentate in figurile 4.20. si 4.21., iar in fig.4.17. este reprezentata grafic relatia

U_v - T_v care decurge din compararea cu ecuatia teoretica.

13. O fundatie patrata cu latura de 3 m este situata pe un depozit uniform de argila de mare adancime. In cazul in care ea este solicitata cu 1 / 3 din sarcina sa de rupere si cand deformatia longitudinala este de 0,7 % pentru o tensiune egala cu 1 / 3 din tensiunea de rupere, dintr-o incercare triaxiala efectuata pe argila, sa se estimeze tasarea instantanee a fundatiei.

Rezolvare:

Tasarea instantanee se produce in urma unei solicitari, inainte de a se produce tasarile de consolidare si este datorata deformatiei elastice a structurii pamantului. Solutia acestei probleme se bazeaza pe o metoda propusa de Skempton. Tasarea totala este suma tasarii instantanee si a tasarii de consolidare.

Tasarea instantanee medie a unui mediu elastic situat sub o zona solicitata de latime B, este data de expresia:

                                                           (4.60)

in care: I_s este factorul de influenta care depinde de forma zonei solicitate si repartizarea presiunii de contact. Valorile lui I_s sunt date in tabelul 4.15. Pentru argile saturate, m poate fi luat egal cu 0,5.

Tabelul 4.15.

Valorile factorilor de influenta

Prin urmare, pentru orice forma de fundatie:

                                                      (4.61)

Dar:

q = c N_c                                                                       (4.62)

iar la rupere:

q = q_D                                                                            (4.63)

Din (4.62) si (4.63) rezulta ca:

q_D = c N_c                                                                      (4.64)

Putem scrie ca:

                                                  (4.65)

Inlocuind in relatia (4.65) expresia (4.64), se obtine:

                                                  (4.66)

In timpul incercarii triaxiale, diferenta intre tensiunile principale s₁ s₃ produce o deformatie longitudinala:

                     (4.67)

in care: este diferenta intre tensiunile principale la rupere. Pentru o argila, valoarea 2c nu prezinta nici o variatie a umiditatii.

Din ecuatia (4.67) avem ca:

                                           (4.68)

Daca se utilizeaza acelasi factor de siguranta, atunci:

                                                           (4.69)

si raportul s / B va deveni:

                       (4.70)

Valorile sunt prezentate in tabelul 8.14.

In problema noastra avem ca:

de unde se obtine: