Conuri

Pentru con circular, sectiunea plana cu plane secante prin varf sunt triunghiulare, (fig.3.35 a), cu plane paralele cu baza sunt cercuri, (fig.3.35 b).

Sectiunea plana cu plane secante ce nu trec prin varf, se determina

b.

a.

Fig.3.35

dupa teorema lui Dandelin pentru conuri, exprimata prin doua forme. Conform primei forme, intr-un con, (fig.3.36. a,b,c), sectiunea plana este o elipsa, (fig.3.36a),o hiperbola, (fig.3.36.b), ), sau o parabola, (fig.3. 36.c),

dupa cum planul de sectiune sectioneaza o singura panza a conului, ambele panze ale conului, sau este paralel cu un plan tangent la con. conform celei de-a doua forme, intr-un con sectiunea plana este o elipsa,o hiperbola, o parabola, dupa cum planul de sectiune, dus prin varful conului, intersecteaza conul dupa doua generatoare imaginare, dupa doua generatoare reale si distincte, sau dupa doua

a.

b.

c.

Fig.3.36

a.

generatoare reale si confundate.

curba de intersectie cu plane secante ce nu trec prin varf, sunt curbe algebrice de gradul al II-lea, curbe plane, numite conice.

Pentru determinarea sectiunii plane prin suprafete conice, circulare: se determina natura acestora, dupa teoremele expuse; se determina intersectiile dintre generatoare si planul secant; intersectiile se determina la fel cu cele de la suprafetele piramidale; se utilizeaza pentru intersectie, generatoarele conturului aparent vertical, orizontal si lateral, pentru determinarea vizibilitatilor in aceste plane de proiectie; se utilizeaza plane auxiliare de intersectie, daca este nevoie; se utilizeaza metoda diametrilor conjugati; se poate determina adevarata marime a sectiunii prin rabatere pe plan de proiectie; se poate utiliza schimbarea de plan de proiectie pentru aducerea planului de sectiune sau a conului in pozitii dorite; se determina elementele sectiunii, centrul sectiunii, axa sau asimptotele, varful; se determina cel putin cinci puncte ale curbei de intersectie.

metoda diametrilor conjugati la con, se aplica la sectiunile eliptice ca si la sectiunile eliptice de la cilindru. Se determina directia si marimea axelor elipsei ca si la sectiunea plana prin cilindru. Forma cat mai exacta a elipsei de sectiune se obtine prin metode grafice cunoscute si prin numarul de puncte de intersectie determinate.

sectiuni cu plane secante ce trec prin varf si cu plane secante paralele cu baza

ghiulare, (fig.3.37a), cu plane paralele cu baza sunt cercuri, (fig.3.38 b). Intersectia dintre un con circular drept, cu baza un cerc din planul orizontal de proiectie, de raza oarecare, R si centru O(o, o`), cu un plan [P], care trece prin varf, este determinata de punctele de intersectie dintre urma orizontala P, a planului dat si baza conului. Punctele de intersectie 1 si 7,

Fig.3.37

Pentru con circular, sectiunea plana cu plane secante prin varf sunt triun-

Fig.3.38

determina proiectia orizontala, 1s, 7s, a generatoarelor de intersectie, 1S(1s, 1`s`) si 7S(7s, 7`s`). Cu linii de ordine se determina proiectia verticala 1`s` si 7`s`, a generatoarelor de intersectie. Sectiunea 1S7(1s7, 1's'7'), este triunghiulara. Intersectia dintre un con circular drept, cu baza un cerc din planul orizontal de proiectie, de raza oarecare, R si centru O(o, o`), cu un plan [N], de nivel, (fig.2.48), cu urma N`, este un cerc, cucentrul O1(o1, o1`)

pe axa conului determinat de intersectia dintre urma N` si proiectia verticala a axei conului. Cu linii de ordine duse din proiectia verticala o<sub>1</sub>`, se determina proiectia orizontala o₁ a centrului, raza fiind in adevarata marime in proiectia verticala.

sectiuni eliptice

Conform teoremei lui Dandelin, sectiunea plana intr-un con, este o elipsa, (fig.3.36 a), daca planul sectioneaza o singura panza a conului, respectiv daca planul de sectiune, dus prin varful conului, intersecteaza conul dupa doua generatoare imaginare, adica nu intersecteaza conul.

Pentru determinarea naturii sectiunii se construiesc prin varful conului plane paralele la planul de sectiune dat.

con circular, drept, plan de capat, [P], plan oarecare, [P₁], (fig.3.39)

planul de capat, [P], care este paralel cu planul [Q], care trece prin varful S(s, s'), al conului si nu intersecteaza conul. Sectiune plana, rezultata din intersectia dintre un con circular, drept cu

axa mare 1e2e(1e2e, 1e'2e'), este determinata in planul vertical de proiectie la intersectia dintre urma verticala a planului, P' si proiectiile verticale, 5's'

Fig.3.39

CO(o, o'), baza, un cerc, in planul orizontal de proiectie, respectiv varful, S(s, s'), si un plan de capat, [P], de urme P, P', este o elipsa, 1E2E3E4E5E6E(1e2e3e4e5e6e, 1e'2e' 3e'4e'5e'6e'). proiectia verticala a elipsei, 1e'2e'3e'4e'5e'6e', este pe urma verticala, P', a planului. 1e2e3e4e5e6e, este proiectia orizontala a elipsei. Elementele elipsei, sunt axa mare 1e2e(1e2e, 1e'2e'), pe frontala planului [P], axa mica 3e4e(3e4e, 3e'4e'), pe linia de cea mai mare panta, a planului[P] si centrul elipsei, Oe(oe, oe').

respectiv 1's', ale generatoarelor conturului aparent vertical al conului dat, se determina punctele 1e', respectiv 2e', proiectia verticala a axei mari, care se coboara in proiectia orizontala pe aceleasi generatoare si se determina punctele 1e respectiv 2e, proiectia orizontala a axei mari. proiectia verticala a centrului elipsei, o_e' este situat pe mijlocul segmentului 1e'2e', care se coboara in proiectia orizontala pe segmentul 1e2e si se determina proiectia orizontala o_e, a centrului elipsei, O_e(o_e, o_e'). Prin centrul elipsei, O_e(o_e, o_e'), se duce un plan de nivel, [n₃], de urma n₃'. intersectia acestuia cu planul dat, este dreapta de capat d(d, d') si intersectia acestuia cu conul este cercul, c₃(c₃, c₃ . la intersectia dintre proiectia orizontala a dreptei de capat, d si a proiectiei orizontale cercului, c₃, se determina punctele 3e si 4e, proiectia orizontala 3e4e, a axei mici a elipsei de sectiune. Se ridica in proiectie verticala si se determina punctele 3e' si 4e', proiectia verticala a axei mici a elipsei de sectiune, 3_e4_e (3e4e, 3e'4e').

con circular, drept, plan de capat, [P], plan oarecare, [P₁] ], (fig.3.40)

printr-o schimbare de plan de proiectie vertical, se transforma planul de capat, [P], intr-un plan oarecare, [P₁], de urme P₁, P₁' si se determina conul in acest sistem de proiectie. urma orizontala P₁ este aceeasi cu urma P. Pentru ca nu se ot confunda notatiile noilor proiectii nu se modifica. Elipsa de sectiune se determina prin linii de ordine din proiectia orizontala, si prin generatoarea pe care acestea se afla. Adevarata marime a elipsei se determina din primul sistem de proiectie, prin rabatere pe planul orizontal de proiectie si se noteaza cu 1_E2_E3_E4_E5_E6_E

Fig.3.40

Deci pentru determinarea elementelor elipsei de sectiune la intersectia eliptica este bine sa se transforme planul dat, in plan proiectant. Pentru figura data, centrul elipsei s-a determinat prin linia de ordine din proiectia verticala si prin cota, care prin schimbare de plan vertical a ramas aceeasi.

Fig.3.41

con circular, oarecare, plan de capat, [P], (fig.3.41) planul de capat, [P], care este paralel cu planul [Q], care trece prin varful S(s, s'), al conului si nu intersecteaza conul. Urmele Q` si P` sunt paralele. Sectiune plana, rezultata din intersectia dintre un con circular, oarecare cu CO(o, o'), baza, un cerc, in planul orizontal de proiectie, respectiv varful, S(s, s'), si un plan de capat, [P], de urme P, P', (fig.10.21), este o elipsa, 1E2E3E4E5E6E(1e2e3e4e5e6e, 1e'2e'3e'4e'5e'6e')

proiectia verticala a elipsei, 1e'2e'3e'4e'5e'6e', este pe urma verticala, P', a planului. 1e2e3e4e5e6e, este proiectia orizontala a elipsei. Elementele elipsei, sunt axa mare 1e2e(1e2e, 1e'2e'), pe frontala planului [P], axa mica

3_e4_e(3e4e, 3e'4e'), pe linia de cea mai mare panta, a planului[P] si centrul elipsei, O_e(o_e, o_e'). axa mare 1_e2_e(1e2e, 1e'2e'), este determinata in planul vertical de proiectie. la intersectia dintre urma verticala a planului, P' si proiectiile verticale, 5's', respectiv 1's', ale generatoarelor conturului aparent vertical al conului dat, se determina punctele 1e', respectiv 2e', proiectia verticala a axei mari, care se coboara in proiectia orizontala pe aceleasi generatoare si se determina punctele 1e respectiv 2e, proiectia orizontala a axei mari. proiectia verticala a centrului elipsei, o_e' este situat pe mijlocul proiectiile verticale, 5's', respectiv 1's', ale generatoarelor conturului aparent vertical al conului dat, se determina punctele 1e', respectiv 2e', proiectia verticala a axei mari, care se coboara in proiectia orizontala pe aceleasi generatoare si se determina punctele 1e respectiv 2e, proiectia orizontala a axei mari. proiectia verticala a centrului elipsei, o_e' este situat pe mijlocul segmentului 1e'2e', care se coboara in proiectia orizontala pe segmentul 1e2e si se determina proiectia orizontala o_e, a centrului elipsei, O_e(o_e, o_e'). Prin centrul elipsei, O_e(o_e, o_e'), se duce un plan de nivel, [n₃], de urma n₃'. intersectia acestuia cu planul dat, este dreapta de capat d(d, d') si intersectia acestuia cu conul este cercul, c_O3(c_o3, c_o3 . la intersectia dintre proiectia orizontala a dreptei de capat, d si a proiectiei orizontale cercului, c₃, se determina punctele 3e si 4e, proiectia orizontala 3e4e, a axei mici a elipsei de sectiune. Se ridica in proiectie verticala si se determina punctele 3e' si 4e', proiectia verticala a axei mici a elipsei de sectiune, 3_e4_e (3e4e, 3e'4e').

con circular, oarecare, un plan oarecare, [P], (fig.3.42)

Sectiune plana, rezultata din intersectia dintre un con oarecare circular, (fig.10.22), cu C_O(o, o'), baza, un cerc, in planul orizontal de proiectie si varful, S(s, s'), cu un plan oarecare, [P], de urme P, P', se determina prin intersectarea generatoarelor cu planul dat. se conidera inscrisa in con, piramida oarecare 12345 (12345, 1'2'3'4'5'). planul [P], este paralel cu planul [Q], care trece prin varf. Se determina intersectia fiecarei muchii cu planul dat. Se utilizeaza plane auxiliare proiectante duse prin muchii.

le respective. Sectiune plana, este elipsa 1e2e3e4e5E6E (1e2e3e4e5e6e 1e'2e'3e'4e'5e'6e'). vizibilitatea stabilindu-se dupa regula de stabilire a vizibilitatii, punctele situate pe geneatoare vizibile sunt vizibile si punctele situate pe generatoare invizibile sunt invizibile pentru ambele proiectii. Sectiune hiperbolica in conuri Conform teoremei lui Dandelin, sectiunea plana intr-un con, este o hiperbola, (fig.3.36. b), daca planul sectioneaza ambele panze ale conului, respectiv daca planul de sectiune, dus prin varful conului, intersecteaza conul dupa doua generatoare reale. Planele de sectiune utilizate in continuare sunt astfel alese incat sa

Un plan vertical, [Q₁], ce contine muchia S1 (s1, s'1') intersecteaza planul, [P], dupa dreapta H₁V₁(h₁v₁,h₁'v₁'), dreapta ce intersecteaza muchia S1 (s1, s'1') in punctul 1e(1e,1e'). Analog se determina punctele de intersectie 2e(2e,2e'), 3e(3e,3e'), 4e(4e,4e'), 5e(5e,5e'), 6e(6e,6e'), dintre muchiile S2 (s2, s'2'), S3 (s3, s'3'), S4(s4, s'4'), si planul, [P]. Cu planele [Q₂], [Q₃], [Q₄], duse prin muchii-

Fig.3.42

respecte conditiile teoremei. Pentru determinarea naturii sectiunii se construiesc prin varful conului plane paralele la planul de sectiune dat.

con circular, drept, plan de capat, [P], (fig.3.43).

Sectiune plana, rezultata din intersectia unui plan de capat, [P], de urme P, P', cu un con drept, circular, cu doua panze, (fig.10.23), cu C_O(o,o'), respectiv C_O1(o₁,o₁'), bazele, cercuri, in planul orizontal de proiectie, respectiv intr-un plan de nivel, de cota oarecare si cu s(s, s') varful se determina prin:

Determinarea naturii sectiuni.

Se duce prin varful conului un plan [Q], de urme Q, Q', paralel, cu planul dat. Intersectia acestuia cu conul sunt generatoarele S1(s1, s'1') si S2(s2, s'2'). Sectiune plana este o hiperbola.

Determinarea asimtotelor.

Planul Q, dus prin varful conului, sectioneaza conul dupa dreptele S1(s1, s'1'), S2(s2, s'2'), care reprezinta directiile asimtotelor, sectiunii hiperbolice. Paralela la aceste directii duse prin punctele de intersectie, dintre urmele orizontale, t₁, t₂, ale planelor tangente la con in lungul generatoarelor S1(s1, s'1'), S2(s2b, s'2'), cu planul dat sunt asimtotele sectiunii. Prin punctul a₁, se duce paralela la proiectia orizontala sa, respectiv prin punctul b₁, la proiectia orizontala sb. Proiectiile verticale ale asimtotelor sunt situate pe urma verticala a planului dat.

Determinarea sectiunii.

Hiperbola de sectiune este 1h2h3h4h5h(1h2h3h4h5h, 1h 2h`3h`4h`5h`).

Centrul sectiunii este o_e(o_e, o_e`), determinat de intersectia dintre asimtotele hiperbolei. Varful 1H(1h, 1h`), este situat pe generatoarea Sa(sa, s'a'), care este si proiectia orizontala a axei hiperbolei de sectiune. Doua puncte ale sectiunii sunt 2H(2h, 2h'), 3H(3h, 3h'). din proiectia orizontala, 2h, 3h, situate pe baza unei panze a conului la intersectia cu urma orizontala a planului dat, se aduc in proiectie verticala si se determina proiectia verticala, 2h', 3h' a acestora, situata pe urma verticala a planului de capat. Alte doua puncte ale sectiunii sunt 4(4, 4') si 5(5, 5'), care se determina utilizand planul auxiliar de nivel, [n₁]. Planul de nivel intersecteaza conul dupa cercul, C₁(c₁,c₁') si planul dat dupa dupa dreptele de capat, D₁(d₁,d₁'). ). intersectia dintre proiectiile orizontale ale cercurilor si dreptelor astfel obtinute, se determina proiectiile orizontale 4, 5, ale punctelor de intersectie, 4(4,4'), 5(5,5'). Puntele de intersectie cu cea de a doua panza a conului, se noteaza cu 7H(7h, 7h'), 8H(8h, 8h'), fiind cea de-a doua ramura a hiperbolei. proiectia verticala a acestora este la intersectia celei de a doua baze a conului, cu urma verticala a planului dat. se aduc in proiectia orizontala si se obtine proiectia orizontala a acestora, care este 7, 8, la intersectia cu cercul celei de a doua baze. Varful celei de-a doua ramuri se noteaza cu 6H(6h, 6h`). este situat pe generatoarea Sb(sb, s'b'), care este si proiectia orizontala a axei hiperbolei de sectiune, fiind in prelungirea generatoarei SA, din proprietatile conului drept la intersectia cu urma verticala a planului dat.

Fig.3.43

proiectia verticala, oh`, a centrului hiperbolei, oe(oe, oe`), este pe mijlocul segmentului, 1h`6h`. centrul hiperbolei fiind pe axa acesteia. Axa se proiecteaza orizontal pe proiectia orizontala, sa, sb, a generatoarelor SA(sa, s`a`), SB(sb, s`b`) si vertical pe urma verticala P` a planului dat. con circular, drept, plan vertical, [P], (fig.2.44), (fig.2.45) Sectiunea plana, rezultata din intersectia acestui plan vertical, [P], de urme P, P', cu un con drept, circular, (fig.2.54), cu CO(o,o'), baza, un cerc, in planul orizontal de proiectie si cu s(s, s') varful se determina prin:

determinarea naturii sectiuni, determinarea elementelor(asimtotelor, centrului, axei) sectiunii, determinarea sectiunii.

Determinarea naturii sectiuni.

Se duce prin varful conului un plan [Q], de urme Q, Q', paralel, cu planul dat. Intersectia acestuia cu conul sunt generatoarele S3(s3, s'3') si S4(s4, s'4'). Sectiune plana este o hiperbola.

determinarea elementelor sectiunii

asimptotele

directiile asimptotelor hiperbolei, sunt generatoarele de intersectie, S3(s3, s'3') si S4(s4, s'4'). Proiectia orizontala a acestora este pe urma orizontala a planului, P. Proiectia verticala este proiectia verticala s'3', s'4' a generatoarelor de intersectie. Asimptotele hiperbolei, notate cu AS₁(as₁, as₁`) si AS<sub>2</sub>(as<sub>2</sub>, as<sub>2</sub>`), sunt intersectia dintre planul dat si planul tangent la con, pe generatoarele de intersectie. Proiectia orizontala a acestora, as₁, as₂, este pe urma orizontala a planului, P. in punctul unde proiectiile orizontale a tangentelor la cerc, t₁, t₂ in punctele 3, 4, intersecteaza urma orizontala a planului, sunt proiectiile orizontale a asimptotelor. Punctele de intersectie se ridica in planul vertical de proiectie pe linia de pamant. Din aceste proiectii de pe linia de pamant, se duc paralele la proiectiile verticale ale generatoarelor de intersectie. Dreptele astfel obtinute sunt proiectiile verticale, as₁`, as<sub>2</sub>`, ale asimptotelor hiberbolei.

centrul sectiunii

Centrul sectiunii este punctul de intersectie al asimptotelor, notat cu O_H(o_h, o_h'). in proiectia verticala se determina o_h', care se duce in proiectia orizontala pe urma P si se determina proiectia orizontala o_h.

axa sectiunii

Conul fiind circular drept, iar planul fiind vertical, axa hiperbolei este o verticala care trece prin centrul curbei.

Fig.3.44

c1`). Intersectia dintre planul [N] si planul dat este o orizontala, care are proiectia orizontala, suprapusa peste urma P si proiectia verticala, suprapusa peste urma N`.

determinarea sectiunii Varfurile sectiunii sunt 1H(1h, 1h`) si 6H(6h, 6h`). Proiectia verticala a acestora, 1h`, 6h`, sunt punctele de intersectie ale proiectiei verticcale ale axei, cu proiectiile verticale ale generatoarelor sa`, sb`. Proiectiile orizontale ale accestora, 1h, 6h, sunt pe urma orizontala P. Punctele de intersectie din proiectia orizontala, dintre urma P si cercul de baza, sunt proiectiile verticale 2h` si 3h`, ale punctelor hiperbolei 2h(2h, 2h`) si 3H(3h, 3h`). In proiectia verticala se ia un plan de nivel, [N1], de urma N1` cu cota mai mica decat a proiectiei 1h`. Intersectia dintre planul de nivel si con este cercul C1(c1,

Intersectia dintre urma P si proiectia c1, sunt punctele 4_h si 5_h, proiectiile orizontale ale punctelor 4_h(4_h, 4_h`) si 5<sub>h</sub>(5<sub>h</sub>, 5<sub>h</sub>`) ale hiperbolei. Liniile de ordine duse in planul vertical pe urma N`, determina proiectiile verticale 4<sub>h</sub>` si 5_h`. Punctele 7<sub>h</sub>(7<sub>h</sub>, 7<sub>h</sub>`) si 8_h(8_h, 8_h`), de pe a doua panza se determina cu planul de nivel [N<sub>2</sub>], de urma N<sub>2</sub>`, care intersectat cu conul este cercul care are proiectia orizontala, acelasi cerc c1.

con circular, drept, plan oarecare, [P], (fig.3.46), (fig.3.47)

Sectiunea plana, rezultata din intersectia unui plan oarecare, [P], de

Fig.3.45

determinarea elementelor sectiunii asimptotele directiile asimptotelor hiperbolei, sunt generatoarele de intersectie,

urme P, P', cu un con drept, circular, (fig.2.55), cu CO(o,o'), baza, un cerc, in planul orizontal de proiectie si cu s(s, s') varful se determina prin: determinarea naturii sectiuni, determinarea elementelor(asimtote lor, centrului, axei) sectiunii, determinarea sectiunii. Determinarea naturii sectiuni. Se duce prin varful conului un plan [Q], de urme Q, Q', paralel, cu planul dat. Intersectia acestuia cu conul sunt generatoarele S1(s1, s'1') si S2(s2, s'2'). Sectiune plana este o hiperbola.

Fig.3.46

puncte sunt urmele asimptotelor hiperbolei de intersectie. Din aceste puncte se construiesc paralele la directiile determinate, care sunt proiectiile orizontale ale asimptotelor, notate cu as1, as2. Proiectia verticala s'1', s'2' a directiilor asioptotelor sunt generatoarele respective determinate prin linii de ordine

S1(s1, s'1') si S2(s2, s'2'). Asimptotele sunt intersectia dintre planul dat si planul tangent in lungul generatoarelor care determina directia lor. In proiectiile 1 si 2 se construiesc tangentele la baza conului, care sunt urmele orizontale ale planelor tangente. Punctele de intersectie ale urmelor planelor tangente cu urma planului dat, se noteaza cu 1a, 2a. Aceste

din proiectia orizontala. Se aduc in proiectie verticala urmele asimptotelor si se determina proiectiile (1a), (2a). Prin aceste proiectii se construiesc paralele la proiectiile s'1', s'2' si se noteaza cu (as1), (as2). Acestea sunt proiectiile verticale ale asimptotelor hiperbolei, AS₁(as₁, as₁`) si AS<sub>2</sub>(as<sub>2</sub>, as<sub>2</sub>`).

centrul sectiunii, centrul sectiunii este punctul de intersectie al asimptotelor, notat cu O_H(o_h, o_h

axa sectiunii, conul fiind circular drept, iar planul fiind oarecare, axa hiperbolei este linia de cea mai mare panta a planului dat, care trece prin centrul sectiunii. Se noteaza cu AXA(axa, axa`).

Fig.3.47

determinarea sectiunii Varfurile sectiunii sunt 1H(1h, 1h`) si 6H(6h, 6h`), fiind punctele de intersectie ale axei sectiunii cu cele doua panze ale conului. Se determina intersectia axei cu conul, dupa metoda cunoscuta. Generatoarele de intersectie pentru determinarea varfurilor hiperbolei, sunt, S3(s3, s'3') si S4(s4, s'4'). In proiectie verticala acestea intersecteaza axa in proiectiile 1h`, 6h`, proiectia verticala a varfurilor. Proiectiile orizontale ale acestora, 1h, 6h, sunt determinate prin linii de ordine din proiectia verticala, pe proiectiile orizontale ale generatoarelor de intersectie si ale axei sectiunii. Punctele de intersectie

din proiectia orizontala, dintre urma P si cercul de baza, sunt proiectiile verticale 2h` si 3h`, ale punctelor hiperbolei 2_h(2_h, 2_h`) si 3<sub>H</sub>(3<sub>h</sub>, 3<sub>h</sub>`). In proiectia verticala se ia un plan de nivel, [N₁], de urma N₁` cu cota mai mica decat a proiectiei 1<sub>h</sub>`. Intersectia dintre planul de nivel si con este cercul C1(c1, c1`). Intersectia dintre planul [N<sub>1</sub>] si planul dat este o orizontala, D<sub>1</sub>(d<sub>1</sub>, d<sub>1</sub>`). In proiectie orizontala intersectia dintre d₁ si c₁, sunt punctele proiectiei orizontale ale hiperbolei de intersectiei, 4_h, 5_h. Se determina cu linii de ordine

si proiectiile verticale, 4_h`, 5<sub>h</sub>`, ale punctelor 4_h(4_h, 4_h`) si 5<sub>H</sub>(5<sub>h</sub>, 5<sub>h</sub>`). La fel se determina si punctele 6_h(6_h, 6_h`), 7<sub>h</sub>(7<sub>h</sub>, 7<sub>h</sub>`), 8_h(8_h, 8_h`), 9<sub>h</sub>(9<sub>h</sub>, 9<sub>h</sub>`) si 10_H(10_h,

10_h`), ale hiperbolei de intersectie.

a.

planul orizontal de proiectie si cu S(s,s') varful se determina prin: se determina un plan [Q]. Urma orizontala a planului intersecteaza baza conului in punctele 1,2, puncte reale de

con circular, oarecare, plan oarecare, [P], (fig.3.48a) (fig.3.48b) (fig.3.49) Sectiune plana, rezultata din intersectia unui plan oarecare, [P], de urme P, P', cu un con oarecare, circular, cu CΩ(ω,ω'), baza, un cerc, in

b.

intersectie, dintre planul [Q] si con. prin orizontala d(d,d), dusa prin varful S(s,s') se determina urma verticala, q', a planului [Q]. Se construieste un plan oarecare, [P], de urme P, P', paralel cu planul [Q].

Fig.3.48

Varfurile curbei de sectiune se obtin la intersectia axei cu conul. Axa fiind bisectoarea unghiului format de asiomptote. Bisectoarea se determina prin rabatere pe planul orizontal de proiectie a asimptotelor, prin rabaterea centrului sectiunii. Se intoarce din rabatere in cele doua proiectii. Asimptotele sunt dreptele AS1(as1, as1`), AS2(as2, as2`). Centrul sectiunii este punctul O(o, o`), rabaterea acestuia este

Determinarea asimtotelor. Planul Q, dus prin varful conului, sectioneaza conul dupa dreptele 1Q(sa,s'a'), 2Q(sb,s'b'), care reprezinta directiile asimtotelor, sectiunii hiperbolice. Paralele la aceste directii duse prin urma orizontala a intersectiei dintre planul tangent la con in lungul acestor generatoare cu planul dat sunt asimtotele sectiunii. Doua puncte ale sectiunii sunt 1(1,1'), 2(2,2'). Celelalte trei puncte, 3(3,3'), 4(4,4'), 5(5,5'), necesare definirii hiperbolei se determina utilizand plane auxiliare de nivel, [n₁],[n₂]. Planele de nivel intersecteaza conul dupa cercurile, C₁(c₁,c₁'), C₂(c₂, c₂') si planul dat dupa orizontalele D₁(d₁,d₁'), D₂(d₂,d₂'). Intersectia dintre cercuri si orizontale sunt punctele 3(3,3'), 4(4,4') si 5(5,5').Intersectia asimptotelor determina centrul sectiunii.

Fig.3.49

O_o. Varfurile sectiunii sunt punctele O_s(o_s, o_s`), pe ambele panze. Curba de sectiune fiind hiperbola 1<sub>s</sub>2<sub>s</sub>3<sub>s</sub> 4<sub>s</sub>O<sub>s</sub>(1<sub>s</sub>2<sub>s</sub>3<sub>s</sub>4<sub>s</sub>o<sub>s</sub>, 1<sub>s</sub>`2_s`3<sub>s</sub>`4_s`o<sub>s</sub>`) pe ambele panze.

Axele de simetrie sunt bisectoarele unghiurilor formate de cele doua asimptote. Centrul este punctul de intersectie al axelor de simetrie si al asimptotelor. Hiperbola are doua ramuri cu doua varfuri, V1, V2, simetrice fata de origine, respectiv fata de centrul conicei.

Hiperbola, (fig.3.50), este o conica cu ecuatia: x²/a²-y²/b²-1=0, daca este cu centrul in originea sistemului cartezian, Oxy si axe sale de simetrie, sunt axele sistemului Oxy. Este o conica cu centru, cu doua axe de simetrie, cu doua asimptote.