Intinderea si compresiunea monoaxiala a barelor drepte

Intinderea si compresiunea monoaxiala a barelor drepte

Eforturi

1. Daca torsorul de reducere al fortelor interioare are o singura componenta diferita de zero in toate sectiunile transversale ale unui corp cu fibra medie, zicem ca acesta este supus la o solicitare de intindere (tractiune) sau de compresiune, dupa cum forta axiala este pozitiva sau negative. O asemenea situatie particulara de solicitare se intalneste, de exemplu, in cazul barelor drepte cu sectiune constanta actionate la capete de forte dirijate in lungul axei centrelor de greutate - forte normale pe sectiunea transversala. Dupa cum efectul actiunii acestor forte este de a lungi sau a scurta bara, zicem ca avem de a face cu o compresiune (forta axiala este considerata negativa)
2. Pentru a evidentia starea de eforturi dintr-o anumita sectiune transversala a barei se aplica "metoda sectiunilor". Pe sectiunea transversala apare atunci ca efort global, numai forta axiala N sau Nx, care este constanta in lungul barei. Sunt insa cazuri de incarcare cand si in alte sectiuni apar forte exterioare orientate dupa axa barei, astfel incat forta axiala rezultanta poate fi variabila in lungul acesteia. De aceea rezolvarea oricarei probleme se incepe cu constructia diagramei fortelor axiale, pentru a stabili tronsonul sau sectiunile in care acestea au valori maxime si care pot constitui sectiuni periculoase.
3. Calculul si constructia diagramelor de eforturi nu prezinta dificultati, facand sectiuni pe fiecare tronson al barei si scriind suma algebrica a fortelor de pe portiunea de bara inlaturata, gasim valoarea fortei axiale in sectiunea considerate. Pentru cazul analizat de noi, al barei intepenite la un capat, calculul reactiunii nu este obligatoriu, trasarea diagramelor de eforturi se face pornind dinspre capatul liber al barei.

Algoritmul de rezolvare al unei probleme de rezistenta

1. In capitolele care urmeaza din acest prim volum ne vom ocupa de studiul solicitarilor simple: tractiunea, compresiunea, forfecarea, incovoierea si torsiunea, pentru care ne propunem sa stabilim formule de calcul pentru tensiuni si deplasari, considerand ca eforturilor sectionale se pot determina printr-un calcul din exterior. In rezolvarea acestor probleme se foloseste o metodologie generala, pe care o prezentam schematic in continuare. Ea se bazeaza pe sinteza celor trei aspecte: geometric, fizic si static necesare pentru cuprinderea intr-o forma analitica unica a procesului complex de deformare a corpului sub actiunea unei anumite steri de tensiune.
2. Aspectul geometric - porneste de la o analiza experimentala a deformarii corpului, cautand sa traga concluzii cu aspect cat mai general din aceasta analiza. De obicei se realizeaza un model al corpului dintr-un material puternic deformabil - de exemplu din cauciuc - pe suprafata caruia se traseaza un caroiaj format din generatoare longitudinale, paralele si echidistante si din "cercuri" directoare, ortogonale pe primele, de asemenea paralele si echidistante (ne referim doar la corpuri cu fibra medie). Dupa solicitarea modelului, aceasta retea de "patratele curbilinii" se deformeaza si isi modifica aspectul. In cazul unei analize globale a acestei stari deformate se va urmari daca aceste "ochiuri de retea" si-au modificat lungimile laturilor si unghiurile dintre laturi, daca generatoarele s-au lungit, s-au scurtat sau s-au curbat, daca "cercurile" directoare au ramas perpendiculare pe generatoare etc. Se obtin de aici o serie de concluzii mai mult calitative, in majoritatea situatiilor se valideaza insa, cel putin pe suprafata corpului, ipoteza sectiunilor plane a lui Bernoulli (o executie: rasucirea barelor de sectiune necirculara). De obicei admitem ca ipoteza se extinde la intreaga sectiune transversala a corpului, deoarece nu avem motive intemeiat5e san e indoim de aceasta, bazati pe idea de continuitate a starii deformate.
3. Pornind de la aceste observatii, pentru a obtine rezultate cantitative privind distributia deformatiilor pe sectiune, se analizeaza starea deformata a unui element infinitesimal (ceea ce permite o serie de liniarizari) sip e baza ipotezei sectiunilor plane se obtin relatii geometrice concrete reprezentand in fapt legea de distributie a deformatiilor specifice pe sectiunea transversala. Cu aceasta prima parte a analizei numita " aspectul geometric" este incheiata. Se trece la:
4. Aspectul fizic. In general vom considera ca materialul din care este confectionat elemental de rezistenta asculta de legea lui Hook. Inseamna ca tensiunile sunt distribuite dupa aceeasi lege ca sideformatiile specifice, deoarece legatura este liniara.
5. Aspectul static - este reprezentat de relatiile de echivalenta dintre eforturi si tensiuni. Suntem acuma in masura, avand legea de distributie a tensiunilor pe sectiune, sa integram relatiile de echivalenta sis a stabilim astfel o formula de calcul a tensiunilor in functie de eforturi (cunoscute) si de anumite caracteristici geometrice ale sectiunii.

Tensiuni

Aspectul geometric

1. Asa cum am spus, relatiile geometrice intre deformatiile unei bare solicitate la tractiune se stabilesc pornind de la anumite observatii experimentale. Pentru fixarea ideilor sa consideram o bara dreapta de sectiune constanta (dreptunghiulara, patrata, circulara etc.) pe suprafata careia trasam caroiajul amintit format din generatoare paralele cu axa longitudinala si echidistanta si dintr-o serie de "cercuri" directoare, paralele si echidistante, perpendiculare pe generatoate. Se formeaza o retea de mici dreptunghiuri (rectilinii sau curbilinii) Se solicita piesa la tractiune, reteaua se deformeaza odata cu bara si vom constata urmatoarele:

- liniile de pe suprafata barei raman tot ortogonale: cele longitudinale se apropie unele de altele ramanand paralele si echidistante, liniile transversale se indeparteaza unele de altele cu aceeasi cantitate a, ramanand tot niste curbe normale pe cele longitudinale

- ne fixam atentia asupra unui patratel curbiliniu, masuratori foarte exacet au aratat ca el isi modifica lungimea laturilor fara sa-si modifice unghiurile. Aceasta inseamna ca in sectiunile transversale nu actioneaza decat tensiuni normale: absenta deformatiilor unghiulare este legata de absenta tensiunilor tangentiale.

- este mai dificil a stabili daca rezultatele precedente se extend si in interiorul barei. Cercetari moderne de fotoelasticitate pe materiale transparente optic active au demonstrate ca si in interior deformatiile au loc in acelasi mod ca si pe contur, adica toate fibrele barei se lungesc cu aceeasi cantitate ∆l. Altfel spus, deformatie specifica liniara este constanta pentru toate fibrele corpului si in orice zona a barei. Zicem ca deformatia specifica liniara este uniform repartizata pe sectiunea transversala, in care deformatia specifica unghiulara y este nula: y=0

Aceste concluzii nu fac decat sa confirme ipoteza sectiunilor plane enuntata de Jacob Bernoulli cu mult inaintea verificarilor experimentale concludente. De altfel in aceasta etapa de studio, aspectul geometric nu era necesar sa fie prezentat in detaliu si justificat experimental, acceptand aprioric ipoteza sectiunilor plane, rezulta imediat constanta deformatiilor specifice liniare.

Aspectul fizic

1. Legatura dintre cele doua marimi fundamentale eterogene introduce pana acuma, care caracterizeaza intensitatea solicitarii sau intensitatea deformatiei, nu poate fi facuta decat experimental, ea fiind diferita de la material la material. Ca, intre cele doua marimi exista relatii de interdependenta, este un lucru cert, deoarece fortele interioare apar ca un raspuns la tendinta de deformatie a corpului sub actiunea fortelor exterioare, cautand sa se opuna acestei deformatii. De altfel cele doua marimi (echivalentele lor globale) apar simultan si tot atat de bine s-ar putea spune ca deformatiile specifice sunt o consecinta directa a dezvoltarii de tensiune in cuprinsul materialului (desi prima formulare este relative mai corecta, avand un support fizic microstructural).
2. In fond aceasta revine in a stabili o relatie mai complicate numita in genral " ecuatie constitutive" adica o regula care sa permita determinarea tensiunilor (deformatiilor) cand se cunosc deformatiile (respective tensiunile) , ea trebuie sa fie suficient de generala pentru a nu exclude calitativ nici unul din fenomenele observate experimental la scapa macroscopica intr-un anumit interval de variatie a temperaturii si sa nu fie in contradictie cu legile generale ale mecanicii si termodinamicii. O asemenea lege a fost stabilita pentru prima oara de Robert Hooke sub forma unei corespondente biunivoce si bicontinue intre tensiuni si deformatii, valabila in domeniul de comportare elastica a materialului. Relatie cunoscuta sub numele de legea lui Hooke, marimea E reprezinta o caracteristica constanta a rigiditatii materialului in punctual considerat care nu depinde de tensiuni sau de deformatii, numita modul de elasticitate de speta intaia sau modul de elasticitate longitudinal sau modul lui Young.

Am obtinut astfel din combinarea aspectelor geometric cu cel fizic, legea de distributie a tensiunilor pe sectiunea transversala a unei bare omogene si izotrope solicitata la intindere sau compresiune monoaxiala, pe sectiunea transversala apare numai o tensiune normala uniform distribuita.

Probleme static nedeterminate de tractiune si compresiune

Pentru rezolvarea unei probleme de rezistenta trebuie sa incepem prin trasarea diagramelor de eforturi care apar in structura de rezistenta sub actiunea unor forte exterioare data. Dar, aceasta problema nu poate fi intotdeauna rezolvata utilizand numai metoda sectiunilor, deoarece fie datorita modului de rezemare, fie datorita formei constructive a structurii apar necunoscute suplimentare "in exces" care nu mai pot fi calculate numai cu ajutorul ecuatiilor de echilibru din "statica". Asemenea structuri numite static nedeterminate, apar deosebit de frecvent in constructia de masini, iar rezolvarea lor-pe o cale directa, elementara - constituie subiectul acestui paragraf, in situatia in care apar numai solicitari de tractiune si compresiune.

Pentru a intelege aceasta notiune noua, vom porni de la un exemplu. Sa consideram un sistem de doua bare articulate care sustin o sarcina F, sub actiunea acestei forte in cele doua bare apar eforturile axiale N1 si N2 care se pot calcula usor cu metoda separarii nodurilor. Izoland nodul A punem in evidenta cele doua eforturi ecuatii de echilibru de care dispunem. Acesta este deci un caz tipic de problema static determinata in care numarul necunoscutelor (cele doua eforturi N1 si N2) este egal cu numarul ecuatiilor de echilibru pe care ni le pune la dispozitie "Statica solidului rigid" (doua ecuatii de proiectii). Dar daca sarcina F este fixate cu ajutorul a patru bare coplanare concurente (numarul barelor este arbitrar, mai mare decat doi) atunci problema se schimba fundamental, deoarece avem patru eforturi necunoscute (N1, N2, N3, N4) si se pot scrie de asemenea numai doua ecuatii de echilibru. Avem astfel mai multe necunoscute decat ecuatii de echilibru. Zicem atunci ca problema este static nedeterminata, si anume dublu static nedeterminata interior, deoarece necunoscutele in exces sunt eforturi. Vom defini deci gradul de nedeterminare al structurii, ca diferenta dintre numarul de necunoscute si numarul de ecuatii. In general, daca necunoscutele in exces sunt forte de legatura sau reactiuni, zicem ca structura este static nedeterminata exterior (sau static nedeterminat rezemata), daca necunoscutele in exces sunt forte de legatura interioare sau eforturi zicem ca avem o structura static nedeterminata interior.

O asemenea problema nu mai poate fi rezolvata in cadrul Mecanicii teoretice a solului rigid, utilizand numai ecuatiile de echilibru ale Staticii. Ea isi gaseste solutia numai in R.M. deoarece ecuatiile suplimentare necesare pentru rezolvarea problemei iau in considerare deformabilitatea structurii si reprezinta conditii de compatibilitate geometrica. Acestea sunt deci probleme tipice care pot fi rezolvate numai in cadrul "Mecanicii solidului deformabil" si reprezinta cea mai larga clasa de structuri intalnite in constructia de masini.

Principiul general de rezolvare porneste de la o cerinta fireasca, dar fundamentala: deformatiile pe care le sufera orice constructie mecanica sub actiunea fortelor exterioare trebuie sa fie astfel incat sa nu produca ruperea elementelor componente, separarea lor sau aparitia unor deplasari nepermise de schema constructiei sau de o parte a constructiei in raport cu alta. Aceste cerinte de functionabilitate dependente de rezistenta si rigiditatea sistemului reprezinta asa-numitele: "conditii de deformatie" sau "conditii de compatibilitate geometrica" ale constructiei. Deci, ecuatiile suplimentare necesare pentru rezolvarea unei probleme static nedeterminate (egale ca numar cu gradul de nedeterminare a sistemului) se pot scrie studiind deformatiile pe care le sufera sistemul si cautand relatii de legatura intre ele - de obicei pe baza unor consideratii geometrice - care sa exprime continuitatea structurii in forma deformata. Se constata ca intotdeauna se vor gasi atatea ecuatii suplimentare cat ne sunt necesare pentru ca numarul total al ecuatiilor (ecuatiile de echilibru din Statica+ecuatiile de conditie sau de deformabilitate) sa fie egal cu numarul necunoscutelor. Subliniem ca la scrierea ecuatiilor de deformatii trebuiesc stabilite correct, cu multa atentie, pentru fiecare problema in parte, conditiile de deformatii sau legaturile geometrice intre deformatii.

Rezulta din cele de mai sus utilitatea formulei stabilite petru calculul deformatiilor barelor solicitate la intindere sau compresiune, desi aceste deformatii sunt foarte mici, incat par lipsite de importanta practica, ele sunt indispensabile in rezolvarea numeroaselor tipuri de constructii static nedeterminate. Vom exemplifica metodica generala de rezolvare pe cateva probleme tipice.

Inexactitati de executie - Tensiuni de montaj

1. La confectionarea pieselor componente ale unei constructii este posibila aparitia unor abateri - in general mici fata de dimensiunile prescrise in desenul de executie al acestora. Asemenea " inexactitati de executie" in cazul unei constructii static determinate sunt in general lipsite de efect, adica nu conduc la aparitia unor solicitari suplimentare. Daca insa avem de-a face cu un system static nedeterminat, montarea acestor piese trebuie facuta in mod fortat, cu deformarea corespunzatoare a sistemului, deci inexactitatile din executia pieselor se traduc prin aparitia unor tensiuni de montaj numite si tensiuni initiale, care vor ramane in elementele sistemului sic and acesta nu este incarcat.
2. Sa exemplificam aceste doua situatii. In forma metalica articulate, static determinate, daca bara AD este executata ceva mai scurt decat lungimea necesara, la montare dreptunghiul articular ABCD isi va modifica putin forma transformandu-se liber intr-un parallelogram astfel incat in structura nu va aparea nici un fel de efort suplimentar. Cu totul alta este situatie in cazul in care aceeasi forma are o bara in plus devenind static nedeterminata, in aceasta situatie montarea diagonalei AD se poate face numai in mod fortat, intervenind din exterior cu o forta F pentru a deforma si a apropia nodul D de capatul barei mai scurte, ceea ce conduce la aparitia de eforturi in structura. Chiar dupa montarea si anularea actiunii fortei F, in system vor ramane eforturi, deoarece barele deformate vor cauta sa revina la pozitia initiala si vor fi impiedicate de bara AD, in felul acesta in bara AD va aparea un efort de tractiune. De fapt dupa descarcarea sistemului de forta F, intreaga structura se va gasi intr-o anumita stare de tensiune.
3. Aceste tensiuni, datorate montajului fortat, constituie un system de solicitari initiale care au uneori valori foarte mari, daca peste ele se suprapun tensiunile de serviciu ale sistemului, se poate intampla ca in anumite zone, unde efectele se insumeaza, sa se depaseasca valorile critice. Aceasta circumstanta, specifica sistemelor static nedeterminate, este uneori cauza importanta a aparitiei avariilor, alteori ea este folosita pentru a creste capacitatea de incarcare a sistemului producand in elementele aestuia tensiuni initiale de semn contrar tensiunilor utile - de exemplu, la grinzi pretensionate din beton armat. In legatura cu aceste tensiuni initiale care pot sa apara in sistemele static nedeterminate si care pot sa aiba si alte cause decat inexactitatile de executie, trebuie subliniat faptul ca ele nu se pot pune in evidenta - deci nu se pot determina experimental - decat prin metode distructive foarte greoaie si dificile in general, taind pe rand barele sistemului si masurandu-le deformatiile. Necunoasterea cantitativa exacta a acestor tensiuni face ca ele sa devina extreme de periculoase in asemenea tipuri de constructii.