Semnale cu modulatie unghiulara

Semnale cu modulatie unghiulara

1 Notiuni generale privind modulatia unghiulara

Modulatia unghiulara cuprinde modulatia in frecventa (MF) si modulatia in faza (MP). Asa cum se va arata in cele ce urmeaza, instrumentul matematic utilizat la modelare este acelasi, iar spectrele semnalelor modulate sunt similare. Principalul avantaj al acestor modulatii este marea robustete la paraziti.

Fie un semnal purtator:

x_p(t)=A_p cos[Φ(t)] ,

in care relatia dintre faza Φ(t) si pulsatia semnalului ω (t) este de forma:

Modulatia in faza este caracterizata de relatia:

in care Φ_p (t)=ω _pt, iar deviatia de faza ΔΦ(t) este proportionala cu semnalul modulator:ΔΦ(t)=Kp x(t) ;

rezulta:Φ(t)=ω_pt+Kp x(t)

Semnalul MP este:

Modulatia in frecventa se realizeaza prin variatia frecventei oscilatorului pilot in ritmul variatiei amplitudinii semnalului modulator,deci deviatia maxima de frecventa este proportionala cu amplitudinea semnalului modulator:deviatie mare la amplitudine ridicata. Variatia frecventei oscilatorului pilot se obtine prin varierea inductantei sau capacitatii circuitului oscilant respectiv, adica modificarea impedantei acestuia.

Modulatia in frecventa este caracterizata de relatia:

ω (t)=ωp +Δω(t) ,

in care deviatia de frecventa Δω(t) este proportionala cu semnalul modulator x(t) :

ω (t)=ω p +Kω x(t)

Utilizand relatia in care se admite Φ₀ = 0 , expresia fazei devine:iar semnalul MF este:

Se constata ca semnalele MP si MF, sunt asemanatoare: in primul caz deviatia de faza este proportionala cu semnalul modulator, iar in cel de-al doilea caz - cu integrala semnalului modulator. In ambele situatii, frecventa unghiulara a semnalului modulat depinde de x(t), fapt care justifica denumirea generica de modulatie unghiulara data ansamblului MP si MF. In figura 18 s-au ilustrat cele doua tipuri de modulatie pe cazul celui mai simplu semnal modulator: semnalul binar (telegrafic).

S-au utilizat notatiile: x(t) - semnal de baza; x_MF(t) - semnal modulat FSK (Frequency Shift Keying); x_MP(t) - semnal modulat PSK (Phase Shift Keying). Utilizand termenul de "cheiere" (in sensul comutarii valorii unui parametru), FSK si PSK inseamna "cheierea deviatiei de frecventa", respective "cheierea deviatiei de faza".

Fig. 18 Semnale MF si MP, de tip FSK si PSK

Analiza spectrala a semnalului modulat in frecventa

Sa consideram cazul cand semnalul de baza e cosinusoidal, de frecventa ω₀ . In acest caz, frecventa purtatoare este:

ω (t)=ω_p +Δω cos(ω₀t) ,iar faza are expresia:

Considerand pentru simplificare Φ₀ = 0 , rezulta:

Φ(t)=ω _pt+β sin(ω0t) ,unde se numeste indice de modulatie.

Expresia semnalului modulat in frecventa devine:

Functiile trigonometrice care au ca argument alte functii trigonometrice se pot exprima prin functii Bessel de speta I:

Fig. 19 Primele 7 functii Bessel de speta I

Membrul drept al relatiei va contine produse de forma:

Drept urmare, relatia se rescrie sub forma:

Functiile Bessel pot fi si de ordin negativ, in care caz este valabila relatia:

Daca indicele k din suma se extinde de la −∞ la +∞ , atunci se permite scrierea expresiei semnalului MF intr-o forma foarte compacta:

Admitand, pentru simplificare, Ap =1, rezulta ca armonicile aferente pulsatiilor ω p ± kω 0 sunt date de functiile Bessel J±k(β). In figura 20 sunt date graficele primelor 7 functii Bessel de speta I: Jk (β ), k= 0,1,,6 .

Fig. 20 Spectrul semnalului MF pentru β = 2.4

Din cele prezentate se desprind urmatoarele concluzii:

. Chiar pentru cazul cel mai simplu, al unui semnal modulator cosinusoidal, spectrul semnalului MF e larg si complex.

. Spectrul depinde foarte mult de indicele de modulatie β. Este posibil sa se adopte un indice de modulatie pentru care J₀(β)=0, avand in acest caz un semnal modulat cu purtatoare suprimata.

. Este necesar sa se determine valoarea indicelui de modulatie pentru care proprietatile semnalului MF sunt avantajoase din punct de vedere al comunicatiilor.

Fig. 21 Spectrul semnalului MF pentru β mare ( β = 5.5)

3 Puterea medie a semnalului MF

Vom calcula puterea medie a semnalului MF :

Dezvoltand patratul de sub integrala, rezulta 2 categorii de termeni:

. termeni care contin patratul componentelor cosinusoidale. Integrand acesti termeni, rezultata T/ 2 , adica patratul normei functiei trigonometrice;

. termeni care contin produse a doua componente cosinusoidale distincte. Integrala acestor termeni este nula, intrucat functiile cosinusoidale sunt ortogonale.

In consecinta, expresia devine:

deoarece,

Rezulta ca puterea semnalului MF este independenta de indicele de modulatie, indiferent daca se aplica sau nu semnal modulator.

Vom analiza in continuare urmatoarea relatie:

Se pune problema determinarii benzii din spectrul semnalului MF.

Teoretic, spectrul este infinit, componentele spectrale avand pulsatia ω_p ± kω₀ . In practica se considera ca banda este finita, ea limitandu-se la ansamblul armonicilor care dau 99% din puterea semnalului MF. Deci, limitele de sumare se considera finite, de la −N la +N . Se impune ca, in cazul limitelor finite, suma sa scada de la 1 la 0.99:

In conditiile in care se cunoaste β, aceasta relatie se poate considera ca o ecuatie cu necunoscuta N.Valoarea aproximativa a solutiei este: N =[β +1],unde [ ] reprezinta partea intreaga. Banda semnalului MF va fi egala cu domeniul de frecvente:

Largimea benzii este:B=2(β +1) ω ₀

4 Semnale MF cu indice de modulatie redus si ridicat

Vom analiza in continuare doua cazuri: cazul semnalelor MF cu indice de modulatie redus, respectiv cu indice modulatie mare.

4.1 Semnale MF cu indice de modulatie redus

Pentru indice de modulatie redus, se tine cont ca functia:

se poate exprima astfel:

Rezulta:

Daca se considera β <0.4, J₂(β) devine neglijabil. Drept consecinta, relatia devine:

Spectrul semnalului MF cu indice redus de modulatie este prezentat in figura de mai jos. Se constata ca, daca β este mic, banda semnalului MF e aceeasi ca la semnalul MA. Indicele de modulatie redus se utilizeaza in transmisiuni de date.

Fig. 21 Spectrul semnalului MF cu β redus ( β = 0.3)

4.2 Reprezentarea fazoriala a semnalului MF cu indice redus de modulatie

Fata de reprezentarea similara a semnalului MA,prezentata mai sus, exista 2 diferente: gradul de modulatie m este inlocuit prin indicele de modulatie β si componenta laterala de pulsatie ω_p −ω₀ are semnul minus. In consecinta, fazorul corespunzator acestei componente este orientat invers, fata de cazul anterior. In aceasta situatie se constata din figura 22, ca insumarea la vectorul semnalului purtator a rezultantei componentelor laterale conduce la un fazor rotitor care penduleaza cu pulsatia ω₀ in jurul fazorului purtatoarei, aceasta rotindu-se, la randul ei, cu pulsatia ω_p .

Fig. 22 Reprezentarea fazoriala a semnalului MF cu indice redus de modulatie

4.3 Semnale MF cu indice de modulatie ridicat

In radio-comunicatii se utilizeaza indice de modulatie mare, adica β >>1. Neglijand pe 1 in raport cu β, rezulta:

sau, tinand cont de faptul ca β = Δω /ω₀ :

Deviatia de frecventa este un parametru al modulatiei. Constatam ca banda semnalului MF nu depinde de frecventa semnalului modulator, ω₀ . In radiocomunicatii se adopta Δf =75 kHz , de unde rezulta banda B =150 kHz .

Din punct de vedere practic, semnalul MF se intalneste cel mai frecvent in doua situatii specifice:

. cu indice redus de modulatie (β<0.4) pentru comunicatii de date;

. cu indice mare de modulatie, cand banda semnalului MF este B = 2Δω , caz utilizat in radiodifuziune.

5 Analiza spectrala a semnalului modulat in faza

Vom presupune ca semnalul modulator este sinusoidal de pulsatie ω 0 . Rezulta:

Φ(t)= _p(t)+Δ sin(ω0t) ,

unde Δ este deviatia maxima de faza, _p(t) = pt este faza purtatoarei nemodulate. Semnalul MP este:

La modulatia de faza indicele de modulatie se noteaza cu α si este deviatia maxima de faza:α = Δ

Pentru un α oarecare, spectrul semnalului MP este similar spectrului semnalului MF:

Daca indicele de modulatie este mic, adica α <0.4, se obtine un semnal cu banda B = 2ω₀ , de tip purtatoare cu doua componente laterale, exact ca la modulatia in frecventa. Acest caz se utilizeaza efectiv in comunicatii de date.

Daca indicele α este mare, banda semnalului MP are expresia , care depinde de pulsatia ω₀ a semnalului modulator. Deviatia maxima de faza este cuprinsa in domeniul [−π ,π ] ,deci α=Δ nu poate lua valori mai mici de π . Rezulta ca, spre deosebire de MF, modulatia MP nu se poate aplica la valori mari ale indicelui de modulatie. In schimb, modulatia de faza cu indice redus de modulatie se utilizeaza frecvent in comunicatiile de date.

6 Semnale modulate MP si MF cu indice redus de modulatie

In cele ce urmeaza vom considera un semnal modulator oarecare, x(t).

Fie un semnal MP:

x_MP(t) =A_p cosΦ(t) ,

cu , in care k_x ≡α este foarte mic, iar x(t) ≤1.

Expresia semnalului MP devine:

x_MP(t)=A_p cos(ω_pt) cos[k_x x(t)]−A_p sin(ω_pt) sin[k_x x(t)],

sau, tinand cont ca k_x x(t) are valori foarte mici si cos[k_x x(t)] =1, sin[kx x(t)]=k_x x(t) ,

x_MP(t) =A_p cos(ω_pt)−A_pk_x x(t) sin(ω_pt)

Fig. 23 Modulator MP cu indice redus de modulatie

Pe baza acestei relatii se obtine schema modulatorului MP cu indice redus de modulatie, reprezentata in figura 23.

Pentru determinarea caracteristicii spectrale a semnalului MP se aplica transformata Fourier , pe baza utilizarii distributiei δ. Folosind relatiile (3.43) si (3.66), rezulta:

sau:

Se constata ca semnalul MP are purtatoare si doua benzi laterale. Fata de modulatia de amplitudine apar diferente numai la fazele componentelor laterale, densitatile de amplitudini fiind practic identice.

Fig.24 Modificarea schemei , pentru a se obtine MF cu indice redus de modulatie

Modulatia de frecventa se obtine substituind semnalul x(t) aplicat modulatorului prin

Caracteristica spectrala a semnalului MF cu indice mic de modulatie este:

sau: