Vectori si operatii cu vectori

Vectori si operatii

1. Adunarea vectorilor

Fie u si v doi vectori in plan de directii diferite . Fie O un punct in plan . Construim OA=u si OB=v . Fie S un al patrulea varf opus lui O al paralelogramului cu trei varfuri in O,A si B .

OS = u + v ( regula paralelogramului )

Daca u si v sunt doi vectori de aceeasi directie si acelasi sens atunci u+v este vectorul de aceeasi directie si sens si de lungime | u |+| v | .

Daca u si v au aceeasi directie si sensuri opuse atunci daca | u |>| v | vectorul u+v are aceeasi directie cu vectorii u si v , are sensul vectorului u si lungimea | u |-| v | .

Daca u si v au aceeasi directie , sensuri opuse si | u |<| v | atunci u+v este vectorul de aceeasi directie cu sensul vectorului v si cu lungimea | v | - | u | .

Se stie ca intr-un Δ , AC < AB + BC si atunci | u+v | < | u | + | v | .

Cand A,B,C sunt colineare si vectorii AB si BC au acelasi sens atunci | u+v | = | u | + | v | . Deci in general | u+v | ≤ | u | + | v | pentru orice 2 vectori u si v egalitatea avand loc numai daca u si v sunt coliniari si au acelasi sens .

Proprietetile adunarii :

1. (u+v) +w = u+ (v+w) - asociativitate ;
2. u+v = v+u - comutativitate ;
3. exista 0 , a.i. oricare ar fi v , v+0 = 0+v = v - element neutru ;
4. oricare ar fi vectorul v exista (-v) a.i v+(-v)=(-v)+v=0 - element sincretic ;

(- v) = opusul lui v , are aceeasi directie , lungime dar sensul e opus .

| u | + | v | = √(u²+v²+2uv*cos α) ;

2. Inmultirea unui vector cu un scalar

Fie α care apartine lui R , v- vector => αv se obtine din v astfel :

a)     pentru α>0 vectorul αv are aceeasi directie cu v , acelasi sens si lungimea = α|v| ;

b)    pentru <0 vectorul αv are aceeasi directie cu v , sens opus acestuia si lungimea |α|*|v| ;

c)     pentru α=0 => 0*v = 0 ;

Proprietatile inmultirii unui vector cu un scalar :

Fie α , β apartin lui R , u,v = 2 vectori ;

1. βv )v
2. v+u αv + αu
3. 1* (v) = v ;
4. 0* (v) = 0 ;

- Daca α=-1 vectorul (-v) se numeste opusul vectorului v si se obtine din acesta pastrandu-i directia si modulul , dar schimbandu-i sensul .

Teorema : 2 vectori nenuli sunt paraleli ( sau coliniari ) daca unul se obtine din celalalt prin inmultire cu un scalar nenul .

u,v ≠ 0

u || v <=> exista α apartinand lui R a.i. u = αv ;

Daca A',B',C', sunt mijloacele laturilor Δ ABC atunci AA'+BB'+CC'=0

Intr-un patrulater segmentul ce uneste mijloacele a doua laturi este egal cu semisuma bazelor ( EF=1/2(AB+DC));

-Daca in rel. demonstrata trecem la norme ||EF||=1/2 (||AB|+|DC||)≤1/2(||AB||+||DC||);

-Egalitatea are loc<=> vectorii AB si CD sunt coliniari si de acelasi sens <=> AB || DC <=> ABCD - trapez ;

-In general FE ≤1/2(AB+DC) - intr-un patrulater ;

-Egalitatea are loc in trapez .

Intr-un patrulater segmentul ce uneste mijloacele celor doua diagonale este egal cu semidiferenta bazelor ( MN=1/2(BC-AD));

Intr-un ABC , M apartine BC a.i. MB/MC=k => AM=1/(k+1)AB-k/(k+1)AC ;

- Caz particular MB=MC => mediana AM=1/2(AB+AC) ;

Fie G = c.g. Δ ABC , M - un punct in plan , atunci MA+MB+MC=3MG ;

Fie H= ortocentrul Δ inscris in C(O,r) , atunci HA+HB+HC= HO

H,G,O-coliniare si OH=3OG ;

- Dreapta care contine aceste trei puncte ( c.c.circumscris - O , centrul de greutate - G si ortocentrul - H ) se numeste dreapta lui Euler .

Intr-un Δ , G=c.g. , M apartine lui AB , N apartine lui AC , si MN trece prin G => MB/MA + NC/NA =1 .