Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune.stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme




Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
» Simetria cubului


Simetria cubului


Simetria cubului

Cubul face parte din grupul octaedric de simetrie: si are 13 axe de simetrie determinate astfel:

1) Axa trece prin mijlocul a doua laturi opuse:




2) Axa trece prin mijlocul a doua varfuri opuse:

3) Axa trece prin centrul a doua fete opuse:

) Pozitii ale cubului in miscarea de rotatie fata de axele de simetrie

J1

C1

A1

K1

B1

D1

O1

Figura nr. 4

O2

M1

A1

L1

B1

J1

K1

C1

O4

O3

Figura nr. 5

In figurile 4 5 si 6 sunt reprezentate pozitii de rotatie in cazul fiecarei axe C4

Daca unghiul rotatiei are masura de 900 punctul ocupa locul punctului ocupa locul punctului s.a.m.d. cubul cade in el insusi sau se spune ca este invariant la o rotatie al carui unghi are masura - multiplu de 900

q

A1

L1

D1

B1

M1

O6

O5

Figura nr.6

C1

Figura nr. 7 reprezinta o pozitie de rotatie in cazul unei axe C3

Sunt patru astfel de axe si cubul este invariant daca masura unghiului de rotatie este de 1200

a

Figura nr. 7

J1

C1

K1

M1

D1

B1

Figura nr. 8 reprezinta o pozitie de rotatie in cazul unei axe C3



Sunt sase astfel de axe si cubul este invariant daca masura unghiului de rotatie este de 1800

deci dupa doua rotatii cubul cade in pozitia initiala

ret

Figura nr. 8


) Pozitiile planelor de simetrie in cub

D

A

B

C

C1

A1

B1

D1

O

Figura nr 10

D

A

B

C

C1

A1

B1

D1

O

Figura nr 9

D

A

B

C

C1

A1

B1

D1

O

Figura nr 11

D

A

B

C

C1

A1

B1

D1

Figura nr 12

O

D

A

B

C

C1

A1

B1

D1

O

Figura nr 13

D

A

B

C

C1

A1

B1

D1

Figura nr 14



O


In figurile 8,9,10,11,12 si 13 sunt prezente planele de simetrie notate .

Aceste plane determina sectiuni diagonale in cub si sunt in numar de sase, corespunzator celor sase axe de simetrie notate .

Un plan este determinat de doua muchii opuse ale cubului, iar o axa este perpendiculara pe acest plan si trece prin mijlocul altor doua muchii opuse din cub, paralele cu muchiile ce determina .

) Pozitiile planelor de simetrie in cub

D

A

B

C

C1

A1

B1

D1

Figura nr 15

D

A

B

C

C1

A1

B1

D1

Figura nr 16

O

D

A

B

C

C1

A1

B1

D1

Figura nr 17

O

In figurile 14 15 si 16 sunt prezente si planele notate numite plane mediane ( fiecare imparte cubul in doua parti trecand prin mijlocul a patru muchii paralele ale cubului) Fiecare cub este perpendicular pe cate o axa

Daca sunt puse in evidenta in acelasi cub - cele trei plane sunt perpendiculare doua cate doua

u


) Problema nr.1

Cubul este supus unei miscari de rotatie in jurul axei de simetrie ce uneste fetele si,evident, .

Daca este unghiul de rotatie si , notam noua pozitie a cubului , calculati aria totala si volumul corpului obtinut prin intrepatrunderea celor doua pozitii ale cubului, pozitia initiala si pozitia de la sfarsitul rotatiei. Consideram lungimea pentru muchia cubului: .

Rezolvare

10 Deplasandu-se prin rotatia de unghi de 450 segmentul A0O,de exemplu, ajunge in pozitia A1O; segmentele A0D0 si A1D1 formeaza intre ele unghiul DIML si T D1M = D1L.

Din: T T .

In : T A1P = PF = FR = A0R T A0F = FA1.

20 Notam: T , in triunghiul FA1G.

Din: T T T

T x = 1 = .

30 pentru a calcula aria octogonului stelat care s-a format adaugam la aria patratului de patru ori aria triunghiului FA1G.

J1

C1

A1

K1

B1

D1

O1

O2



H

HI

A0

A1

B0

C0

D0

B1

C1

D1

M

F

G

H

I

J

K

L

O

R

P


Din: T cm2 T = .

40 In : T T

T = .

50 Din: T = .

60 Din: T .

) Problema nr.2

In conditiile problemei nr. 1 dar si lungimea muchiei cubului de , calculati (pentru noile conditii) aria totala si volumul corpului obtinut prin intrepatrunderea celor doua pozitii ale cubului.

10 Daca atunci si ML = 2 D1L

Notam: D1L = x T ML = 2x si

D1M =

20 Din: T

T T A0M =

= MD1 =

t

A0

A1

B0

C0

D0

B1

C1

D1

M

F

G

H

I

J

K

L

O

Rezolvare:

30 Din: T T .

40 Din: T T T

T x = 1 = D1L , D1M = si ML = 2 cm.

) Problema nr.3

In conditiile problemei nr. 1 dar si lungimea muchiei cubului de , calculati (pentru noile conditii) aria totala si volumul corpului obtinut prin intrepatrunderea celor doua pozitii ale cubului.

) Problema nr.4

In conditiile problemei nr. 1 dar si lungimea muchiei cubului de , calculati (pentru noile conditii) aria totala si volumul corpului obtinut prin intrepatrunderea celor doua pozitii ale cubului.

) Problema nr.5

Consideram cubul ABCDA1B1C1D1 cu centrul in O,un plan ce include muchia CD , M mijlocul muchiei AB si P mijlocul muchiei C1D1.

1) Demonstrati ca punctele M,B1,P si D sunt coplanare.

2) Demonstrati ca patrulaterul este romb.

3) Daca , calculati aria sectiunii diagonale determinata de planul in cub.

) Problema nr.6

Consideram cubul ABCDA1B1C1D1 unde un plan determina o sectiune mai mare cu decat sectiunea determinata de un plan in acelasi cub. Calculati volumul si aria totala pentru cub.

Prof. Rotaru Grigore scoala Varbilau

Nota: Pentru corectarea greselilor de scriere am primit ajutorul elevei Elena Luiza Teleanu ( eleva a scolii Varbilau in anii ce au trecut, eleva a Liceului Slanic - Prahova , clasa a XII - a pentru anul scolar 2009 - 2010).

Bibliografie

a Carti si manuale

1) Platon - OPERE vol VI - 1989

2) Platon - OPERE vol VII - 1993

3) Diogenes Laertios - despre vietile si doctrinele filozofilor, traducere - acad. Prof. C.I.Balmus - 1963

4) Nicolae Angelescu, Gheorghe Craciun s,a. - Matematica 2000 - Editura Prahova

5) Dana Radu, Eugen Radu - Matematica clasa a VIII_a - Teora Educational - 2000

6) A. Hollinger - Geometrie , manual pentru clasa a _VIII-a Editura didactica si pedagogica , Bucuresti, 1977.

7) M.Mihaileanu, C.Ionescu - Bujor, C. Ionescu - Tiu - Geometria in spatiu, manual pentru anul II licee, Editura didactica si pedagogica, Bucuresti - elaborat in anul 1967

8) Florica Campan - Variate aplicatii ale matematicii, Editura Ion Creanga, Bucuresti, 1984

9) Florica Campan - A doua carte cu probleme celebre - 1972

10) Filosofia greaca pana la Platon II - 1984 -

11) Adolf Haimovici si Constantin Bors - Elemente de geometria spatiului

A.N. Kolmogorov si altii - Geometrie pentru clasele VI - VIII 1979

13) Viorel Gh. Voda - Vraja geometriei demodate

M. Mihaileanu, C.Ionescu - Bujor, C. Ionescu - Tiu - Geometria in spatiu

15) Augustin Cota, Marta Rado s.a. - Geometrie si tigonometrie

16) Gh. D. Simionescu si Cezar Cosnita - Geometrie

17) Stefan Sabau si Dumitru Savulescu - Cum demonstram ca . ?

Diana Bell, Josef Rogers, Eryl Rothwell Hughes - Arie,masa,volum

b Adrese Net

1) https://www.didactic.ro/profil-utilizator-rotarugrigore

https://rozetaalbastra.blogspot.com/

3) https://strasihastrii.blogspot.com/

https://www.didactic.ro/lectii-fizica-4-sirul-lui-fibonacci-si-numarul-de-aur-p62853-t3

5) https://www.chronomath.com/

6) https://www.mathcurve.com/polyedres/dodecaedre/dodecaedre.shtml

7)https://www.ac-noumea.nc/maths/amc/polyhedr/gold.htm

c) Alte adrese Net

https://mathworld.wolfram.com/topics/PlatonicSolids.html

https://www.mathcurve.com/polyedres/hypercube/4-hypercube.shtml

https://www.mathcurve.com/polyedres/hypercube/hypercube.shtml

Icosaedrul : https://www.mathcurve.com/polyedres/icosaedre/icosaedre.shtml

Cubul: https://mathworld.wolfram.com/Cube.html

https://mathworld.wolfram.com/PlatonicSolid.html

https://mathworld.wolfram.com/StellaOctangula.html

https://mathworld.wolfram.com/topics/Tetrahedra.html

https://mathworld.wolfram.com/Icosahedron.html

https://mathworld.wolfram.com/PlatonicGraph.html

Despre hexagon: https://mathworld.wolfram.com/Hexagon.html

https://mathworld.wolfram.com/topics/Polygons.html

https://www.jimloy.com/geometry/hedra.htm

https://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/qtvr/

https://mathematische-basteleien.de/cube.htm#Symmetries%20of%20a%20Cube

https://mathematische-basteleien.de/cube.htm

https://www.mathcurve.com/polyedres/deltaedre/deltaedre.shtml

Pentru calculul volumelor

https://www.dma.ens.fr/culturemath/video/Dupas-polyedres/herbier/regulier.htm    Aici despre Le symbole de Schläfli

25. Descrierea poliedrelor reg. Un profesor si fiica:

https://www.dma.ens.fr/culturemath/video/Dupas-polyedres/Dupas-index.htm#1

26. https://www.dma.ens.fr/culturemath/video/Dupas-polyedres/Dupas-glossaire.htm#el

https://www.gicas.net/poliedri_text.html

https://www.gicas.net/poli/polichart.jpg

28. https://www.mathcurve.com/polyedres/hexaedre/hexaedre.shtml

https://home.att.net/~numericana/answer/polyhedra.htm#hexahedra







Politica de confidentialitate





Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate