Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
» SOLUTII SI BAREME - Clasa a VII-a (CONCURSUL DE MATEMATICA)


SOLUTII SI BAREME - Clasa a VII-a (CONCURSUL DE MATEMATICA)




MINISTERUL EDUCATIEI, CERCETARII  SI INOVARII                                                                                     

INSPECTORATUL SCOLAR JUDETEAN IASI

LICEUL DE INFORMATICA „GRIGORE T. MOISIL” IASI

                                            

CONCURSUL DE MATEMATICA

FLORICA T. CAMPAN

ETAPA INTERJUDETEANA, 21 MARTIE 2009

 




SOLUTII SI BAREME

Clasa a VII-a

1.Luandu-se dupa harta care a apartinut piratului Supernegru, pentru a gasi comoara fabuloasa (adica o supercomoara) ascunsa de acesta candva, undeva in Caraibe, patru supercautatori trebuie sa caute in interiorului patrulaterului NESV situat pe un teren plat si obtinut astfel: din acelasi punct O, fiecare dintre cei 4 merge, in linie dreapta, primul face b pasi spre nord pana in N, al doilea c pasi spre est pana in E, al treilea a pasi spre sud pana in S si ultimul a pasi spre vest pana in V (a,b,c numere naturale). Stiind ca intre N si E sunt exact a pasi si ca lungimea pasului fiecaruia dintre cei 4 este aceeasi si constanta, aratati ca suprafata patrulaterului NESV are aria exprimata printr-un numar natural (unitatea de masura este patratul cu latura de 1pas). Este posibil ca aria patrulaterului sa fie egala cu aria unui patrat de latura 6 pasi ?

Solutie:

I Observam ca , deci ; cum , cel putin unul dintre numerele  si  este numar par. Sa presupunem, prin reducere la absurd, ca  si  sunt ambele impare si sa mai observam ca . Daca presupunem ca a este impar, atunci b si c trebuie sa fie, ambele, pare, de unde si  sunt pare si din par, adica a par, contradictie. Daca a este par, atunci b si c trebuie sa fie ambele impare.

a par  multiplu de 4; fie  si , atunci , adica este multiplu de 4 plus 2. Cum  este adevarata, ajungem la o contradictie. Ramane ca, macar unul dintre numerele ,  este par.

II  si            deci  este multiplu de 4   este multiplu de 2  .

Barem:

Modeleaza geometric situatia descrisa de problema:  patrulaterul NESV este ortodiagonal cu lungimile diagonalelor  si …  2

 .  1

 ..  1

Presupune, prin R.A. ca   si  sunt ambele impare .  1

Daca a impar, arata ca se ajunge la o contradictie .  3

Daca a par, arata ca se ajunge la o contradictie ..  4

Finalizare ..  1

2.i) Fie numere reale pozitive. Demonstrati ca  este media geometrica a lui si daca si numai daca .

  ii) Fie  punctul de intersectie a diagonalelor patrulaterului convex. Demonstrati ca  daca si numai daca .




Solutie:

i)    

ii)Notam ,  si  si observam ca  si . Conform i) avem    (1). Fie  si , , .

 si ; acum (1)       , q.e.d.

Barem:

i)   aducerea corecta la acelasi numitor . 1p

        2p

ii)  observa ca se poate folosi i) si arata ca       3p

     arata ca  si  .   3p

        .   2p

          3p

3. Rezolvati in multimea numerelor intregi ecuatia:

Solutie:

Notam  si    . .. .. .. . 1p

Ecuatia devine  .. .. .. ..   1p

Grupand convenabil, obtinem  .. .. ..  4p

Rezulta  .. .. .. .. .   2p

Apar urmatoarele patru posibilitati:

 sau    sau     sau    ………….………….………….………..   2p

Numai primul si ultimul au solutii intregi: (0,1),(1,0),(-6,1),(,-6) .. .. .. .. . 1p

Prin urmare solutiile ecuatiei sunt  …… 2p







Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


Ecuatia caracteristica
Izomorfismul spatiilor vectoriale finit generate
Vectori
Lucrare scrisa la matematica clasa a V-a – semestrul I numarul 1
Formule simple de aproximare a derivatelor
Proprietatile logaritmilor
Functii marginite
Logica Predicatelor
PARTEA INTREAGA SI PARTEA FRACTIONARA A UNUI NUMAR REAL
FUNCTII DERIVABILE