Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
» Reprezentari analitice ale suprafetelor


Reprezentari analitice ale suprafetelor




Reprezentari analitice ale suprafetelor

            Se folosesc trei moduri de reprezentare analitica a suprafetelor: reprezentarea explicita, reprezentarea implicita si reprezentarea parametrica.

Reprezentarea explicita

            Suprafata  se defineste printr-o ecuatie de forma: , in sensul ca daca abscisa si ordonata unui punct sunt x, respectiv y, atunci, pentru ca punctul sa fie pe suprafata, cota este determinata prin functia f.




            Domeniul de definitie al functiei f este o multime din planul xOy, de exemplu un dreptunghi cu laturile paralele cu axele Ox, respectiv Oy. Pentru fiecare punct Q din domeniul de definitie ale carui coordonate sunt x, y si zero, paralela prin Q la axa Oz contine un singur punct pe suprafata, si anume cel a carui cota este .

            Functia f se considera ca este derivabila de mai multe ori in toate punctele domeniului de definitie, cu exceptia unei multimi neglijabile dintre acestea. Daca domeniul este un dreptunghi, atunci continuitatea functiei f inseamna ca suprafata este o deformare continua (fara rupturi) a dreptunghiului.

Figura 4.1

            Exemplu

            Consideram suprafata . Functia  este definita pe tot planul. Pentru a gasi forma suprafetei observam ca, pentru toate punctele  aflate pe cercul cu centrul in origine si de raza egala cu r (adica ), punctele corespunzatoare de pe suprafata  au toate aceeasi cota, egala cu , ca si punctul , corespunzator punctului , aflat la intersectia cercului cu axa Oy. Inseamna ca atunci cand Q parcurge cercul mentionat, punctul corespunzator P de pe suprafata  va descrie traiectoria punctului  in rotatia sa in jurul axei Oz.

            Asociind fiecarui punct  de pe axa Oy punctul corespunzator de pe suprafata , se obtine parabola din planul yOz de ecuatie . Rezulta ca suprafata  se obtine prin rotirea acestei parabole in jurul axei Oz.

Figura 4.2

            Reprezentarea implicita

           

Suprafata  se defineste ca multimea punctelor ale caror coordonate satisfac o ecuatie de forma .

            Daca F este o functie de gradul intai in , atunci  este o suprafata plana. Daca este de gradul doi, atunci  este o cuadrica. In general, ecuatia , gandita ca o restrictie in deplasarea punctului , diminueaza numarul gradelor de libertate ale punctului P de la trei la doua, astfel ca multimea  este ceea ce numim, in limbajul obisnuit, suprafata.

            Domeniul de definitie al functiei F este o submultime din spatiul , in care este inclusa suprafata  ca multime de puncte. Avem in vedere numai acele suprafete pentru care functia F este derivabila de mai multe ori in toate punctele domeniului de definitie, in afara unei multimi neglijabile dintre acestea. Dupa cum am mai mentionat, functiile elementare indeplinesc aceasta conditie.

            Daca  este definita de o ecuatie explicita , atunci putem obtine reprezentarea implicita a suprafetei luand . Asadar, putem considera forma explicita ca un caz particular al celei implicite.

            Reciproc, trecerea de la forma implicita la cea explicita presupune rezolvarea ecuatiei  in raport cu z (sau cu x sau cu y). In general, explicitarea solutiei nu este practic posibila sau aceasta explicitare este prea complicata. Dar pentru o serie de probleme este suficient sa fim asigurati de existenta acestei explicitari. Teorema functiilor implicite ne asigura ca, daca in punctul  al suprafetei derivata partiala a functiei F in raport cu z este nenula, atunci o portiune a suprafetei , situata intr-o vecinatate a lui , admite o reprezentare explicita . Reamintim ca derivatele partiale ale functiei f (necunoscute) se pot exprima cu ajutorul derivatelor partiale ale lui F.

            Reprezentarea parametrica

            Suprafata  este definita ca multimea punctelor ale caror coordonate depind de doi parametri reali:

            Ca de obicei, ne incadram in ipoteza ca functiile  sunt derivabile de mai multe ori in toate punctele domeniului de definitie, cu exceptia unei multimi neglijabile dintre ele.

            Daca domeniul de definitie D este un dreptunghi din plan cu laturile paralele cu axele unui reper cartezian  al acestui plan, atunci continuitatea functiilor  ne permite sa ne imaginam suprafata  ca o deformare continua a dreptunghiului.




            Se obisnuieste ca functiile  sa fie notate respectiv cu aceleasi litere ce desemneaza coordonatele pe care le determina, adica . Reprezentarea analitica are atunci forma:

Figura 4.3

Ca si in cazul curbelor plane, reprezentarea parametrica se poate scrie si sub forma vectoriala:

            Exemple

            I. Daca suprafata  este definita de o ecuatie explicita , atunci se poate considera si forma parametrica:

            Asadar forma explicita poate fi considerata si ca un caz particular al celei parametrice.

            II. Sfera cu centrul in origine si de raza egala cu r, avand ecuatia implicita:

se poate reprezenta sub urmatoarea forma parametrica:

Figura 4.4

            Din figura 4.4 se vede ca parametrul θ corespunde latitudinii geografice, cu deosebirea ca aceasta din urma se masoara de la ecuator catre cei doi poli. In ceea ce priveste parametrul φ, acesta corespunde longitudinii geografice daca se considera semicercul ce intersecteaza axa Ox drept meridianul de la Greenwich, cu deosebirea ca longitudinea geografica ia valori de la 0 grade la 180 de grade, distingandu-se intre longitudinea estica si cea vestica.

            Daca sfera are centrul in punctul , atunci ecuatiile parametrice ale ei sunt:

            III. Elipsoidul definit de ecuatia implicita:

                                                                                                        (4.1)

are urmatoarea reprezentare parametrica:

                                                                (4.2)

            Intr-adevar, se verifica usor ca, pentru orice valori ale parametrilor u si v, numerele  date de relatiile (4.2) verifica ecuatia (4.1).

            IV. Hiperboloidul cu o panza definit prin ecuatia implicita:

                                                                                                        (4.3)

are urmatoarea reprezentare parametrica:

                                       .                                (4.4)

La fel ca in cazul elipsoidului, este usor de verificat ca, pentru orice valori ale parametrilor u si v, numerele  date de (4.4) verifica ecuatia (4.3).

            V. Daca  sunt functii de gradul intai, atunci  este o suprafata plana. Intr-adevar, consideram reprezentarea analitica:

 sau, echivalent,

            Ultima relatie exprima faptul ca prima coloana a matricei

este combinatie liniara de celelalte doua, ceea ce este echivalent cu relatia:

.

            De aici rezulta:

si am obtinut ecuatia planului.







Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


FUNCTII DERIVABILE
Formularea matriciala a metodei deplasarilor
Valori proprii si vectori proprii ai unui operator
Fisa de lucru - INMULTIREA SI IMPARTIREA
Prima forma fundamentala a unei suprafete
Aplicatii liniare
Forma canonica Jordan
Triedrul lui Frenét
Matricea Exponentiala
Curburile principale, liniile de curbura; clasificarea punctelor de pe suprafata