Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
Reducerea ecuatiei unei cuadrice la forma canonica


Reducerea ecuatiei unei cuadrice la forma canonica




Reducerea ecuatiei unei cuadrice la forma canonica

Cuadrice cu centru (unic la distanta finita)

Consideram o cuadrica cu centru (d




unde : (49)

f(x,y,z)=a11x2+a22y2+a33z2+2(a12xy+a13xz+a23yz)+

+2(a10x+a20y+2a30z)+a00 (50)

Notam cu f forma asociata formei patratice afine f:

j(x,y,z)= a11x2+a22y2+a33z2+2(a12xy+a13xz+a23yz)  (51)

Fie C(x0,y0,z0) centrul cuadricei. Coordonatele lui, (x0,y0,z0), sunt solutia sistemului:

sau, scrise explicit,

(aij=aji) (52)

Efectuand translatia , de ecuatii:

(53)

ecuatia (4) devine:

(54)

sau tinand seama de expresia (32) a lui f, aceasta se scrie:

(55)

Folosind metoda valorilor propii obtinem pentru f expresia canonica:

(56)

l l l fiind solutiile ecuatiei caracteristice:

(56)

Ecuatia (35) a cuadricei devine:

(57)

fata de un reper ortonormat CXYZ format cu vectori proprii ortonormati corespunzatori valorilor proprii l l l

Reperul Cxyz devine CXYZ in urma unei rotatii R. Directiile noilor axe de coordonate sunt date de directiile versorilor proprii (ce corespund respectiv valorilor propii l l l

Daca notam cu R matricea formata cu coordonatele versorilor asezate pe coloane in urma unei eventuale renumerotari a valorilor proprii, avem: det R=+1.

Ecuatia canonica (57) se obtine din (49) in urma rotatiei:

(58)

Ecuatia (57) a cuadricei reprezinta un elipsoid sau hiperboloid (cu una sau doua panze) dupa semnele coeficientilor l l l k. Pentru k=0 ecuatia (57) reprezinta un con cu varful in origine.

Cuadrice fara centru

In acest caz d=0 si nu putem efectua o astfel de translatie incat sa dispara termenii de gradul I din ecuatia cuadricei. Vom trece insa la un reper ortonormat in care forma patratica f este redusa la suma de patrate deoarece l l l una din radacinile ecuatiei (56) este nula: presupunem l =0 si l l 0. In acest reper ecuatia cuadricei devine:

(58)

Daca a30=0 ecuatia (58) este numai in doua necunoscute (numai in x si y lipseste z) deci reprezinta o suprafata cilindrica.

Daca a30 =0 si ecuatia (58) se scrie:

(59)

deci cilindrul (59) degenereaza in doua plane concurente (reale daca l l <0 si imaginare daca l l >0).

Daca a30 0 efectuam translatia:

x=x0+X y=y0+Y z=z0+Z (60)

in urma careia ecuatia (58) devine:

(61)

alegand:

ecuatia (61) devine:

(62)

deci cuadrica este un paraboloid (eliptic sau hiperbolic dupa semnele coeficientilor l si l

Presupunem acum ca doua valori proprii sunt nule: l =0 si l l 0. Atunci ecuatia cuadricei (58) in reperul Oxyz este

(63)

(64)

Efectuand roto-translatia (rotatie in jurul Ox compusa cu o translatie a reperului in punctul

(65)

ecuatia (46) devine:

(48)

unde: (66)

Ecuatia (66) este numai in doua necunoscute deci reprezinta un cilindru.

Daca in ecuatia (66) avem atunci nu mai este nevoie de roto translatia (65) intrucat aceasta ecuatie este canonica:

(68)

deci este cuadrica formata din doua plane paralele (sau confundate daca a00=0). In concluzie, daca d 0 cuadrica este un elipsoid, hiperboloid sau con iar daca d =0 cuadrica este un paraboloid, cilindru sau pereche de plane.

Exemplu:

Sa se aduca la forma canonica ecuatiile urmatoarelor suprafete de ordinul al doilea:

1) f(x, y, z)=x2+5y2+z2+2xy+6xz+2yz-2x+6y+2z=0

2) f(x, y, z)=2x2+y2+2z2-2xy-2yz+x-4y-3z+2=0

Rezolvare.

1) Matricile A si D asociate cuadricei sunt:

Avem d=|A|=-36, D

deci cuadrica este nedegenerata cu centrul unic. Ecuatia caracteristica det(A-lI)=0 este . Radacinile ei (si totodata valorile proprii ale matricii A) sunt l l l =6 deci ecuatia canonica a cuadricei este in acest caz: -2x2+3y2+6Z2-1=0 iar ecuatia ei redusa (normala ) este:





deci cuadrica este un hiperboloid cu o panza.

Rezolvand sistemul fx=0, fy=0, fz=0 gasim coordonatele centrului:

Pentru fiecare valoare proprie li (i=1, 2, 3) se rezolva sistemul

(69)

si se obtin vectorii proprii ai matricii A. Astfel, pentru l =-2 ecuatia matriciala (69) devine:

Acest sistem este echivalent cu sistemul:

care are solutiile: x1=1, x2=0, x3=-1.

Vectorii proprii principali corespunzatori lui l =-2 sunt de forma:

Versorul propriu este versorul axei Ox.

Pentru l =3 obtinem vectorii proprii de forma:

deci versorul axei Oy poate fi ales .

Valorii proprii l =6 ii corespund vectorii proprii:

deci versorul axei Ozpoate fi ales

Verificam daca matricea formata cu coordonatele versorilor (dispuse pe coloanele 1, 2, 3 respectiv) prezinta o rotatie.

Intrucat det R=-1 in loc de +1, matricea ortogonala R nu reprezinta o rotatie. E suficient sa schimbam pe adica: , deci matricea rotatei este:

Rezulta ca pentru reducerea la forma canonica efectuam roto-translatia:

2) Procedand analog ca la prima etapa, gasim l l l =0. Formulele transformarii de coordonate sunt:

Ecuatia canonica a suprafetei este:

(paraboloid eliptic)

Ecuatia redusa (normala) a suprafetei se obtine impartind cu 6:

3. Suprafete riglate

 
Definitia 2 Se numeste suprafata riglata o suprafata care poate fi generata prin miscarea unei drepte D care se sprijina pe o curba .

Fig.13

Dreapta D (fig 13) se numeste generatoarea suprafetei riglate

O dreapta D ce trece printr-un punct P0 si are directia b are ecuatia vectoriala:

(70)

Avand in vedere ecuatia (70) a dreptei, rezulta ca o suprafata riglata S poate fi parametrizata sub forma:

(71)

 
cu conditia unde si sunt derivatele partiale ale functiei

in raport cu u si v, respectiv.

Suprafete cilindrice

Definitia 3 Se numeste suprafata cilindrica o suprafata

riglata a carei generatoare ramin paralele cu ea insasi.

Fig 14

Curba pe care se sprijina dreapta D se numeste curba directoare

(fig 14). O parametrizare a suprafetei cilindrice este urmatoarea:

(72)

unde este un vector de coordonate constante.

Teorema 1. Fie G generatoarea unei suprafete cilindrice S unde G || D, dreapta D fiind data ca intersectia a doua plane: Pi : Ai x+Biy+Ciz+Di=0, i=1,2 si curba directoare G:F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0. Ecuatia suprafetei cilindrice astfel generata este de forma:

S : F(p1,p2)=0,  (73)

unde pi=Aix+Biy+Ciz+Di, i=1,2 (74)

Demonstratie. Generatoarea G se afla la intersectia a doua plane paralele cu P1 si P2, deci este reprezentata analitic de ecuatiile:

(75)

Conditia ca generatoarea G sa se sprijine pe curba G se obtine eliminand pe x,y,z intre ecuatiile 75 ale generatoarei si ecuatiile F(x,y,z) =0, G(x,y,z)=0, ale curbei G. Se deduce:

(76)

Considerand acum un punct arbitrar M(x,y,z) de pe suprafata cilindrica S, deci apartinand lui G, aceasta verifica sistemul:

(77)

Eliminand pe l si m din 77 obtinem ecuatia implicita a suprafetei:

S : F(p1,p2)=0

Observatii:

Daca curba directoare G este data parametric,

G : x=x(t), y=y(t), z=z(t), tII (78)

atunci relatia de compatibilitate 76. se obtine eliminand pe x,y,z si t din ecuatiile 75 ale lui G, si ecuatiile 78 ale lui G

2) Suprafata cilindrica S cu generatoarea G || Oz se poate reprezenta printr-o ecuatie in doua variabile: S : f(x,y)=0

Exemplu. Sa se scrie ecuatia cilindrului cu generatoarele paralele cu Oz, a carei curba directoare este elipsa:

z=0

Cum Oz are ecuatiile x=0, y=0, generatoarea G este G : x=l, y=m cu . Conditia ca conduce (prin eliminarea lui x,y,z din ecuatiile lui G si G) la urmatoarea conditie de compatibilitate:




Eliminand acum pe l si m din aceasta relatie si ecuatiile generatoarei obtinem ecuatia cilindrului eliptic:

Suprafete conice

Definitia 4. Se numeste suprafata conica suprafata riglata S ale carei generatoare trec printr-un punct fix V numit varful conului.

In acest caz ecuatia (61) a suprafetei riglate devine:

(79)

unde este vectorul de pozitie al varfului V al conului, deci are coordonatele constante.

Teorema 2 Daca varful V al suprafetei conice S este dat ca intersectia a trei plane, adica: V:pi=0, i=1,2,3, unde pi=Aix+Biy+Ciz+Di, (i=1,2,3), atunci multimea S= este caracterizata analitic printr-o ecuatie de forma:

(80)

Demonstratie.

Conditia de incidenta dintre generatoarea G si curba directoare G:F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0 asigura compatibilitate sistemului format de ecuatiile generatoarei G si ale curbei directoare G. In cazul conului, din conditia ca VIG, rezulta ca G se afla la intersectia a doua plane variabile care trec prin V, adica:

(81)

Eliminand pe x,y,z din ecuatiile lui G si ale curbei directoare G se obtine ecuatia:

(82)

Eliminand pe l si m din (81) si (82) se obtine ecuatia suprafetei conice:

Observatii:

1) Daca G : x=x(t), y=y(t), z=z(t), tIR atunci conditia de compatibilitate (82) se obtine eliminand pe x,y,z, si t din ecuatiile lui G, (81) si ecuatiile lui G

2) Daca relatia de compatibilitate (82) este un polinom (in l si m) atunci ecuatia conului, (80), dupa eliminarea numitorului devine:

g(p1,p2,p3)=0 (83)

unde g este un polinom omogen in cele trei polinoame de gradul intai, pi.

3) Daca varful V este dat prin coordonate V(x0,y0,z0), atunci generatoarea G a conului este data de sistemul (81) unde p1=x-x0, p2=y-y0, p3=z-z0, iar ecuatia conului (82), devine:

(80')

Daca f este un polinom in cele doua caturi de polinoame, aducand la acelasi numitor, obtinem:

S : g(x-x0, y-y0, z-z0)=0 (83')

unde g este un polinom in x-x0, y-y0, z-z0.

In particular ecuatia:

S : x2+y2-z2=0

este cuadrica (conul de gradul doi) cu varful in O(0,0,0).

Suprefete conice cu plan director

Definitia 5 Se numeste conoid cu plan director suprafata generata de o dreapta G, paralela cu un plan fix P si care se sprijina pe o curba G si pe o dreapta D.

Teorema 3 Daca generatoarea G a conoidului cu plan director S este paralela cu planul P1:p1=0, dreapta fixa D are ecuatiile p2=0 p3=0 (unde pi=Aix+Biy+Ciz+Di, i=1,2,3), curba G : F1(x,y,z)=0, F2(x,y,z)=0, atunci conoidul are ecuatia:

(84)

Demonstratie.

Ecuatiile unei drepte care se sprijina pe D si este paralela cu planul P1 sunt :

G : p1=l, p2=mp3, l mI R  (85)

Din conditia de incidenta : rezulta compatibilitatea sistemului format de ecuatiile lui G si G. Eliminand pe x,y,z din acest sistem obtinem conditia de compatibilitate:

f(l m (86)

Eliminand pe l si m din ecuatiile lui G, (75) si relatia de compatibilitate (76), obtinem ecuatia conoidului cu plan director:

Suprafete de rotatie

Definitia 6 Suprafata generata de o curba G care se roteste, fara sa alunece, in jurul unei drepte fixe D se numeste suprafata de rotatie. Dreapta D se numeste axa de rotatie, iar curba G curba generatoare. Cercul G descris de fiecare punct de pe G se numeste cerc generator.

Teorema 4 Daca curba generatoare G are ecuatiile F1(x,y,z)=0, F2(x,y,z)=0, iar axa de rotatie D a suprafetei S este data canonic, , atunci ecuatia suprafetei de rotatie S este de forma:

S : f(lx+my+nz,(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2)=0,  (87)

Demonstratie.

Cercul generator G are centrul pe axa, se afla intr-un plan variabil perpendicular pe axa si sprijinindu-se pe curba fixa G are raza variabila (in general). El se afla la intersectia unei sfere cu centrul pe axa D (de exemplu in M0(x0,y0,z0)I D) si de raza variabila cercului generator sunt:

(88)

Conditia de incidenta confera sistemului format de ecuatiile lui G si ecuatiile lui G, proprietatea de compatibilitate pe baza careia eliminand pe x,y,z din acest sistem, obtinem conditia de compatibilitate:

f(l m (89)

Eliminand parametrii l si m intre ecuatiile lui G (78) si relatia de compatibilitate (79) obtinem ecuatia din enunt, (76) a suprafetei de rotatie.

Observatie.

Daca suprafata de rotatie are axa Oz, atunci cercul generator G are ecuatiile:

(90)

sau echivalent:

(91)



loading...




Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


Valori extreme ale unei functii
Moduri de definire a unei functii
Metoda aproximatiilor succesive
TRIUNGHIURI CONGRUENTE
FUNCTII TRIGONOMETRICE DEFINITE PE INTERVALUL [0, 2 ]
Reguli de trasare a locului radacinilor in cazul sistemelor cu reactie negativa unitara
Implementarea algebrei booleene - logica pozitiva si logica negativa
Puteri
Progresii
Formule de calcul aproximativ al integralelor definite - Formule de calcul aproximativ al integralelor definite



loading...