Problematica sistemelor neliniare in comparatie cu sistemele liniare (studiu de caz)

Problematica sistemelor neliniare

in comparatie cu sistemele liniare (studiu de caz)

Se considera sistemul neliniar descris prin urmatoare ecuatie diferentiala:

(1)

Caracterul neliniar este dat de prezenta termenului : , iar liniarizarea sistemului se reduce la liniarizarea termenului neliniar in jurul unui punct de functionare utilizand seria Teylor:

, (2)

iar pentru liniarizare se retine numai termenul liniar:

, (3)

unde y₀ reprezinta punctul in jurul caruia se liniarizeaza y³ .

Sistemul liniar obtinut in urma liniarizarii in jurul unui punct de functionare y₀ este descris de urmatoarea ecuatie diferentiala:

(4)

Acelasi sistem descris prin ecuatia diferentiala (1) se poate descrie si prin umatorul sistem de ecuatii diferentiale de ordinul 1 in reprezentarea Intrare - Stare - Iesire.

(5)

Figura nr.1 Realizari ale sistemului reprezentat prin ecuatia (1)

pentru care , deci sistem liniar

Figura nr.2 Realizari ale sistemului reprezentat prin ecuatia (1)

pentru care , deci sistem neliniar

Figura nr.3 Realizari ale sistemului neliniar dat prin ecuatia (1)

in comparatie cu realizarile sistemului obtinut in urma liniarizarii (ecuatia diferentiala (4))

a) Caracteristicile statice corespunzatoare sistemului neliniar si cele corespunzatoare sistemelor liniare obtinute prin liniarizarea in jurul punctelor statice y₀=30 si respectiv y₀=85;

b) Raspunsurile la semnal treapta a sistemului neliniar si a celui liniarizat obtinute in conditii initiale nule. Regimul static de functionare este in jurul punctului y₀=85. De asemenea s-a considerat sistemul liniarizat in jurul punctului y₀=85.

c) Raspunsul sistemului neliniar si a celui liniarizat obtinute in jurul punctului y₀=85. S-a considerat sistemul liniarizat tot in jurul punctului y₀=85. Intrarea u are valori foarte mici in jurul punctului static de functionare considerat.

d) Aceeasi situatie ca in cazul c) dar u are valori mai mari in jurul lui u_stat:

(u=u_stat+randn(1,1)/1);