Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
» Patrulaterul circumscriptibil - Gizela Pascale


Patrulaterul circumscriptibil - Gizela Pascale




„ Geometria este arta de a rationa corect pe figuri incorecte” (H.)

Patrulaterul circumscriptibil

Gizela Pascale

         In acest articol se va prezenta patrulaterul circumscriptibil pornind de la definitie si continuand cu proprietatile acestuia (consemnate in cartile de specialitate)  dupa care se vor stabili cateva consecinte deduse de autoarea articolului  si se vor propune doua aplicatii.




Definitie:

Patrulaterul in care se poate inscrie un cerc se numeste patrulaterul circumscriptibil.

Teorema(Pithot):

Fie ABCD un patrulater convex. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1)     Bisectoarele unghiurilor patrulaterului sunt concurente.

2)     Patrulaterul ABCD este circumscriptibil.

3)     Are loc:

Demonstratie: (1)(2). Fie I punctul de intersectie al bisectoarelor patrulaterului si fie proiectiile ortogonale ale punctului I pe laturile patrulaterului. Deoarece  rezulta ca cercul ce trece prin  va trece si prin  si in plus acest cerc este tangent laturilor patrulaterului.

(2) (1) Daca patrulaterul ABCD este circumscriptibil, atunci bisectoarele unghiurilor patrulaterului trec prin centrul cercului inscris in patrulater.

(2) (3) unde M, N, P, Q sunt punctele de tangenta ale cercului inscris cu laturile AB, BC, CD, DA ale patrulaterului circumscriptibil ABCD.

 Cum rezulta ca

(3) (2) Fie ABCD un patrulater convex astfel incat Se arata ca el este circumscriptibil. Se presupune ca BC nu este paralel cu AD. Fie . Cum ABCD este convex, . Fie C cercul inscris in triunghiul ABE. Se arata ca CD este tangent la cercul C. Se presupune prin absurd ca CD nu este tangent la cercul C si fie paralel cu CD, astfel incat imparte planul in doua semiplane  si cu E apartine lui S si C- este inclus in semiplanul . Deoarece patrulaterul este circumscriptibil rezulta ca Din ultima relatie si din (3) rezulta:

 sau sau  adica lungimea segmentului CD este egala cu lungimea liniei frante de aceleasi extremitati, ceea ce este absurd. Rezulta ca  este tangent la cercul C.

Teorema (Newton):

      Mijloacele diagonalelor unui patrulater circumscriptibil si centrul cercului inscris sunt situate pe aceeasi dreapta (numita dreapta lui Newton).

Vom folosi:

 Lema:

Fie ABCD un patrulater convex care nu este paralelogram. Locul geometric al punctelor M din interiorul patrulaterului pentru care

 constant este un segment de dreapta.

            Demonstratie lema:

Deoarece patrulaterul convex ABCD nu este paralelogram, rezulta ca exista doua laturi neparalele. Fie acestea AD si BC. Dreptele AD si BC se intersecteaza in punctul O. Fie si astfel incat si Rezulta ca  si . De aici se obtine

Punctele O, E, F fiind fixe constant si deci punctul M verifica egalitatea  sau  unde cu am notat distanta de la punctul M la dreapta EF. Punctele E si F fiind fixe rezulta ca este o constanta , deci punctul M va descrie o dreapta paralela cu dreapta EF dusa la distanta . Intereseaza doar punctele de pe acesta dreapta care sunt interioare patrulaterului ABCD; se obtine astfel un segment . In acest fel s-a obtinut ca locul geometric L al punctului M care verifica este un segment  paralel cu situat la distanta .

            Reciproc, orice punct  verifica deoarece:

Prin urmare locul geometric al punctelor M din interiorul patrulaterului pentru care are loc relatia ceruta este un segment de dreapta.

Demonstratie teorema:

Fie ABCD un patrulater circumscriptibil. Notam cu M respectiv N mijlocul diagonalei  respectiv  si cu I centrul cercului inscris in patrulater. Fie r raza cercului inscris in patrulater. Atunci:

Pe de alta parte, patrulaterul ABCD fiind circumscriptibil, are loc si  Rezulta ca

De fapt s-au obtinut egalitatile:

 

Tinand seama de aceste trei relatii si de lema stabilita anterior, rezulta ca punctele M, N, I se afla pe o aceeasi dreapta numita (dreapta lui Newton).

Consecinte:

1.     Paralelogramul circumscriptibil este romb.

2.     Daca o diagonala a patrulaterului circumscriptibil contine I, atunci ea reprezinta axa de simetrie a patrulaterului.

3.     Patrulaterul circumscriptibil in care punctul de intersectie al diagonalelor coincide cu centrul cercului inscris este romb.

Demonstratie: Din  si obtinem ca  respectiv deci ABCD are unghiurile opuse congruenteeste paralelogram. Dar paralelogramul circumscriptibil este romb, de unde concluzia.

4.     Trapezul isoscel circumscriptibil are lungimea inaltimii egala cu media geometrica a bazelor.




Demonstratie: Fie ABCD un trapez isoscel cu AB║CD, AB>CD si , unde AB=b. ABCD este un patrulater circumscriptibil .

Aplicand teorema lui Pitagora in triunghiul BEC si efectuand calculele

5.     Raza cercului inscris intr-un trapez isoscel circumscriptibil este egala cu , unde notatiile sunt cele uzuale.

      Demonstratie: Fie r raza cercului inscris in trapez, 2r=h de unde rezulta r.

6.     Intr-un trapez dreptunghic circumscriptibil inaltimea este media armonica a bazelor.

Demonstratie: Fie AB║CD, AB>CD, Notam BC=l,  AD=h (1) si aplicand Teorema lui Pitagora in triunghiul BEC(2) Din (1)+(2) obtinem   adica ceea ce trebuia demonstrat.

7.     Intr-un patrulater ortodiagonal circumscriptibil produsele dintre lungimile laturilor opuse sunt egale.

Demonstratie: Fie a, b, c, d lungimile laturilor AB, BC, CD, DA ale patrulaterului ABCD si . Aplicand teorema lui Pitagora in triunghiurile dreptunghice QAB, QBC, QCD, QDA obtinem:

 Adunand relatiile anterioare si grupand convenabil obtinem  Cum

.

Consecinta:

Nu exista trapez isoscel ortodiagonal circumscriptibil.

Demonstratie: Daca prin reducere la absurd presupunem contrariul, in conformitate cu 5) Cum , absurd!

Aplicatia 1

Fie ABCD un trapez isoscel circumscriptibil cu AB║CD, AB>CD. Notam cu x=d(A, BC) si y=d(C, AD). Atunci:

1. .

2. si .

3. .

4.           .

Solutie:

2. Se scrie  in doua moduri, la fel .

3. Cum (*)si cum

 din . Cum cerinta.

4. din (*).

Aplicatia 2

ABCD este un patrulater circumscriptibil si inscriptibil. Fie si masurile unghiurilor  si  si a, b, c, d lungimile laturilor AB, BC, CD, DA. Aratati ca:

1.

2. Daca si , aratati ca lungimile laturilor patrulaterului nu sunt       toate numere rationale.

3. In conditiile de la 2) aratati ca :

            i).

            ii).

            iii)  si .

Solutie:1. Fie r raza cercului inscris. .  din ABCD patrulater inscriptibil. Obtinem . Analog

Cum  .

2. Conform cu 1)  (*). Daca a, b, c, d sunt simultan numere rationale atunci , absurd!

3. Cu teorema cosinusului in triunghiurile ABD, respectiv BCD  si (1). Aplicand teorema cosinusului in triunghiurile ABC, respectiv ADC   (2). Folosind (*) precum si realatiile (1) si (2)   de unde grupand convenabil obtinem  , prin urmare . Cum , de unde .

4. a si c se obtin din conditia de circumscribilitate a patrulaterului si relatia determinata anterior .

Bibliografie:

Nicolescu L., Boskoff V., Probleme practice de geometrie, Editura Tehnica, Bucuresti, 1990.







Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


Metoda functiilor de transfer
Functia tangenta
REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI
Centre de greutate
Formule si scheme probabilistice
Referat la Matematica - Polinoame cu coeficienti complecsi
Logaritmi
FUNCTII TRIGONOMETRICE ALE ARCULUI DUBLU
Matematici financiare si actuariale - test grila
Teza la matematica – CLS A VI-a