Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
Numere Complexe


Numere Complexe




Numere Complexe

 

Forma algebrica a unui numar complex

Prin produsul cartezian RXR intelegem multimea , pe aceasta multime definim operatiile algebrice de adunare si inmultire .

Fie Z1=si Z2= ; Z1 ,Z2 RXR



Adunarea Z1+Z2=RXR ,

caz particular : Z1+Z2=RXX R

Inmultirea Z1Z2=RXR ,

caz particular : Z1∙Z2=RXX R

pentru cazul general avem :

DEF: Multimea numerelor RXR pe care am definit operatiile algebrice de adunare si de inmultire se numeste multimea numerelor complexe notata cu "C" ,

Notam cu multimea numerelor complexe nenule .

a = se numeste partea reala a lui "z" (se mai noteaza uneori a= R e ) ;

b = se numeste partea imaginara a lui "z" (se mai noteaza uneori a= I m ) .

Daca b = 0 , atunci Z = aR RC

Daca a = 0 , atunci Z = bi , b 0 se numeste numar complex pur imaginar

Forma algebrica a unui numar complex Z este Z= a + bi , i 2 = -1

Operatii algebrice cu numere complexe :

Fie Z1=si Z2= ; Z1 = a1 + b1 i ; Z2 =a2 +b2 i ; Z1 ,Z2 RXR

Adunarea :

Z1 + Z2= a1 + b1 i + a2 +b2 i = a1+a2 + i(b1 +b2) =

Proprietati :

1) Asociativitatea (Z1 +Z2 )+Z3 =Z1 +( Z2 +Z3 ) ,

2) Comutativitatea Z1 +Z2= Z2 +Z1 ,

3) Elementul neutru ( 0 =0 + 0i ) , i asfel incat Z+0=0+Z=Z ,

4) Elemente opuse Z+(-Z)=(-Z) +Z = 0 ,

OBS :Spunem ca multimea "C" impreuna cu operatia de adunare si operatiile 1 , 2 , 3 , 4 formeaza

grupul aditiv comutativ al numerelor complexe .

Inmultirea :

Z1 ∙ Z2= (a1 + b1 i ) ∙ (a2 +b2 i ) = =

Proprietati :

1) Asociativitatea (Z1 ∙Z2 ) ∙ Z3 =Z1 ∙ ( Z2 ∙ Z3 ) ,

2) Comutativitatea Z1 ∙ Z2= Z2 ∙ Z1 ,

3) Elementul neutru ( 1 =1 + 0i ) , i asfel incat Z+1=1+Z=Z ,

4) Elemente inversabile Z∙Z-1 = Z-1 ∙Z= 1 ,

5) Distributivitatea in raport cu adunarea Z1 ∙ (Z2 +Z3 ) =Z1 ∙Z2 + Z1 ∙ Z3




OBS :Spunem ca multimea "C" impreuna cu operatia de inmultire si operatiile 1 , 2 , 3 , 4 (si operatia de adunare cu operatiile 1 , 2 , 3 , 4 ) formeaza corp comutativ al numerelor complexe , numit corpul comutativ al numerelor complexe .

Multimea "C" nu este ordonata , adica un numar complex nu poate fi inferior sau superior altui

numar complex ( nu prezinta relatia de ordine < sau > )

 

 

 

 

Numere complexe conjugate

DEF : Fie Z = a + bi C .Se numeste conjugatul lui Z notat , numarul complex = a - bi

Proprietati

1) Suma a doua numere complexe conjugate este egala cu un numar real Z+R , .

2) Produsul a doua numere complexe conjugate este egal cu un numar real Z ∙ R , .

3) Conjugatul a sumei a doua numere complexe este egal cu suma conjugatelor celor doua numere

complexe , .

4) Conjugatul a produsului a doua numere complexe este egal cu produsul conjugatelor celor doua

numere complexe , .

5) Conjugatul a catului a doua numere complexe este egal cu catul conjugatelor celor doua numere

complexe , .

6) (OBS : ; ;

Modulul unui numar complex

DEF : Fie Z = a + bi C .Se numeste modulul numarului complex Z , notat, numarul pozitiv = .

Proprietati

1) ,

2) Modulul unui numar complex coincide cu modulul conjugatului sau, = , .

3) Produsul dintre un numar complex si conjugatul sau este egal cu patratul modulului acelui numar

= , .

4) Modulul produsului a doua numere complexe este egal cu produsul modulelor celor doua numere .

, .

5) Modulul catului a doua numere complexe este egal cu catul modulelor lor .

, .

6)Inegalitatea triunghiului (sau inegalitatea lui Minkowski )

Radacinile patrate ale unui numar complex

DEF : Fie ZC . Se numeste radacina patrata a lui "Z" un numar complex "r" C cu propietatea r2 =Z .

Teorema : Orice numar complex nenul admite doua radacini patrate opuse .

EX: r 1=1+i este radacina patrata a lui Z=2i r12 = (1+i)2 =2i =Z.

Rezolvarea ecuatiei de grad II cu coeficienti numere complexe

Teorema : Ecuatia : aX2 +bX+c=0 ; a, b , c R , a, cu are doua radacini complexe conjugate date de formulele :

 






Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


Metoda aproximatiilor succesive
Proprietatile logaritmilor
Rezolvarea sistemelor de ecuatii neliniare
REPREZENTAREA GEOMETRICA A NUMERELOR COMPLEXE
Functii inversabile
Calculul cu diferente finite
Probleme de tangenta
Fisa de lucru - INMULTIREA SI IMPARTIREA
Modele statice si modele dinamice
Metode iterative de solutionare a sistemelor de ecuatii liniare