Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune.stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme




Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
» Multimi convexe


Multimi convexe


Multimi convexe

Definitie : Se numeste multime convexa o multime M de puncte , acre are urmatoarea proprietate : daca P,Q sunt doua puncte distincte oarecare ale multimii M , atunci M contine toate punctele segmentului (PQ), adica : ( ) P,Q I M T (PQ) M.



Multimea vida si multimile formate dintr-un singur punct se considera multimi convexe deoarece pentru ele nu se pune nici o conditie.

Observatie : O multime formata din doua puncte distincte nu este convexa.

Aplicand definitia anterioara rezulta imediat ca urmatoarele multimi sunt convexe: spatiul, planul, dreptele, semiplanele inchise sau deschise, semidreptele inchise sau deschise, segmentele.

Din multimi convexe putem forma alte multimi cu ajutorul urmatoarei teoreme.

Teorema Intersectia a doua multimi convexe este tot o multime convexa.

Demonstratie Fie M1 si M2 doua multimi convexe si P,QI M1 M2 Atunci P,Q I M1 si P,Q I M2. Cum M1 si M2 sunt doua multimi convexe rezulta ca (PQ)IM.1 si (PQ)IM.2. Dar (PQ) M1 M2, deci M1 M2 este multime convexa.

Observatie : Teorema se poate generaliza pentru un numar oarecare de multimi convexe.

In baza acestei teoreme rezulta ca interiorul unui unghi si interiorul unui triunghi sunt multimi convexe.

O reuniune de multimi convexe poare sa nu fie o multime convexa , un exemplu fiind cel al triunghiului ABC care este reuniunea multimilor convexe [AB], [AC], [BC], dar nu este multime convexa ( in schimb interiorul sau este o multime convexa).

Definitie : Se numeste linie poligonala o multime de forma

L=[P1P2] [P2P3] [P3P4] [PnPn+1].

Punctele P1 , P2, . ,Pn , Pn+1 se numesc varfurile liniei L , iar segmentele [P1P2], . , [PkPk+1], kIN , se zic vecine. ( fig .1)

Fig 1



Linia poligonala L se numeste inchisa daca P1 =Pn+1 ( fig 1.(b) si (c)), si simplu inchisa daca in plus oricare doua laturi nevecine nu au nici un punct in comun si doua laturi vecine au suporturi diferite. O linie poligonala simplu inchisa se mai numeste si poligon. Linia poligonala din figura 1 punctul (b) nu este poligon deoarece un poligon nu se autointersecteaza. Un poligon cu trei laturi se numeste triunghi. Un poligon cu 4,5,6, . laturi se numeste patrulater, pentagon, hexagon, etc. Poligonul cu varfurile P1 , P2, . ,Pn va fi notat pe scurt cu L= P1P2 . Pn. Segmentele [Pi ,Pk], i k, care nu sunt laturi se numesc diagonale.

Poligonul P1P2 . Pn se numeste poligon convex , daca pentru fiecare latura [Pk ,Pk+1], toate varfurile diferite de Pk si Pk+1 se gasesc de aceeasi parte a dreptei PkPk+1 ( pentru k=n, Pn+1=P1). (fig.1 (c)).

Un poligon convex P1P2 . Pn nu este o multime convexa , dar interiorul sau ( care se defineste precum urmeaza) este o multime convexa. Interiorul unui poligon convex este intersectia semiplanelor deschise limitate de suporturile laturilor poligonului si acre contin varfurile nesituate pe laturile respective.( fig 2). Daca notam cu dk= PkPk+1 pentru k=1, . ,n-1 si dn= PnP1 , atunci (P1P2 . Pn)= (d1Pn (d2P1 (dnPn-1 . Reuniunea dintre un poligon convex P1P2 . Pn     si interiorul sau se numeste suprafata poligonala convexa , care se noteaza cu [P1P2 . Pn ]. Asadar [P1P2 . Pn ]= P1P2 . Pn (P1P2 . Pn) = L (L).

In cazul triunghiului ABC multimea [ABC] se numeste suprafata triunghiulara. Suprafetele poligonale convexe permit definirea unei notiuni mai generale.

Definitie : Se numeste suprafata poligonala o multime de puncte din plan , care este reuniunea unui numar finit de suprafete poligonale convexe, acestea avand doua cate doua interioarele disjuncte. Daca S este o suprafata poligonala si [L1], [L2], . , [Lk] sunt suprafetele poligonale convexe respective , adica S = [L1] [L2] [Lk], si (Li ) (Lj) = pentru i j, atunci vom spune ca multimea constituie o descompunere a suprafetei poligonale S.

Din definitie rezulta ca orice suprafata poligonala se descompune in suprafete poligonale convexe.

Admitem, fara demonstratie, urmatoarea teorema de descompunere a unei suprafete poligonale.

Teorema : O suprafata poligonala convexa cu n laturi ( n >3) se poare descompune in

n- 2 suprafete triunghiulare.

In particular , suprafata poligonala [L1]= [P1P2 . Pn ] se descompune in suprafetele triunghiulare [T2], [T3], . , [Tn-1] ( fig.3), unde am notat cu Ti triunghiurile D P1PiPi+1, i = 1, . ,n-1. Este evident ca pentru o suprafata poligonala convexa exista mai multe descompuneri in suprafete triunghiulare.

Consecinta: Orice suprafata poligonala poate fi descompusa in suprafete triunghiulare.







Politica de confidentialitate





Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate