Modelarea matematica a variatiei unei durate tehnologice

Variatia duratei tehnologice fata de factorul de influenta

Verificarea calitatii aproximarii dependentei duratei tehnologice fata de factorul de influenta

Intr-o statie de cale ferata trebuie facute masuratori ale duratelor operatiilor tehnologice in vederea normarii stiintifice a acestora.

Aceste masuratori se pot efectua pe un numar minim de valori ale factorului de influenta, in cazul de fata numarul vagoanelor dintr-un tren de marfa care sunt supuse operatiei tehnologice respective.

Dar un numar minim de masuratori nu poate sa cuprinda si influenta altor i factori, de regula nenumerici cum ar fi: intunericul, lucrul pe o vreme caniculara sau de viscol, momentul executarii care poate fi la inceputul sau sfarsitul turei etc. de aceea se procedeaza la un numar mai mare de masuratori, care sa tina seama si de influenta factorilor enumerati mai inainte.

Pentru o estimare imediata se va proceda folosind numarul minim de valori ale factorului de influenta, dar pentru obtinerea unei valori apropiate de realitate se vor efectua un numar mai mare de masuratori.

In cazul de fata s-a constatat ca in statie sosesc pentru prelucrare trenuri ce au in compunere intre 7 si 77 vagoane. Masuratorile pentru 120 de cazuri sunt prezentate in tabelul 2.1.

In acest scop urmeaza sa se stabileasca:

2.1.1. Numarul minim de valori ale factorului de influenta (numarul de vagoane pe garnitura) pentru care se fac masuratori si valorile acestora.

2.1.2. Ecuatiile de dependenta a duratelor tehnologice de valorile factorului de influenta prin metoda grafico-analitica si a celor mai mici patrate si diagramele corespunzatoare.

2.1.3 Ecuatiile de dependenta a duratelor tehnologice de valorile factorilor de influenta pentru un numar mai mare de masuratori (120 de masuratori), prin metoda grafico-analitica si a celor mai mici patrate si diagramele corespunzatoare.

2.1.4. Verificarea legaturii liniare dintre duratele tehnologice si valorile factorului de influenta.

2.1.5. Valoarea cu care se poate majora durata medie a operatiei tehnologice ca operatia respectiva sa se realizeze integral cu o probabilitate de 90%.

Tabelul 2.1.1

2.1.1. Stabilirea numarului minim de valori ale factorului de influenta (numarul de vagoane pe garnitura) pentru care se fac masuratori si a valorilor acestora.

2.1.1.1. Numarul minim de valori ale factorului de influenta

2.1.1.2. Valorile factorului de influenta

Ø      Pasul dintre doua valori consecutive

Ø      Valorile concrete ale factorului de influenta

2.1.1.3. Duratele corespunzatoare valorilor factorilor de influenta.

Pentru fiecare valoare a factorilor de influenta durata se obtine prin interpolarea valorilor apropiate din tabelul 2.1.2.

Exemplu:

pentru

pentru valoarea adunata se gaseste intre valorilepentru care si pentru care astfel

17 vagoane . 16,14286min

22 vagoane . 18,3333min

Tabelul 2.1.2

Diferentele sunt: 22-17=5 vagoane

18,3333-16,14286=2,19044min

Atunci: 5 vagoane .. 2,19044min

1 vagon

Deci pentru 21 de vagoane, durata va fi:

Aceste valori sunt prezentate in tabelul 2.1.3.

Tabelul 2.1.3

2.1.2. Stabilirea ecuatiilor de dependenta a duratelor tehnologice de valorile factorului de influenta pentru un numar minim al acestuia.

2.1.2.1. Metoda grafico-analitica.

Din tabelul 2.1.3 rezulta ca:

Deci punctul A (42,67; 21,52)

Pentru valorile

Deci punctul B (21; 17,71)

Pentru valorile

Deci punctul C (63; 25,33)

Dreapta de regresie va trece prin punctele A, B, C.

Parametrul a al dreptei va fi:

Parametrul b se masoara de la originea axei t cu punctul de intersectie al prelungirii dreptei de regresie cu axa t (fig. 2.1.1)

Deci ; iar t_i = 0,091x_i+13,75

Cu ajutorul ecuatiei de mai sus se calculeaza valorile duratelor operatiei tehnologice in functie de valorile factorilor de influenta (tabelul 2.1.4)

Tabelul 2.1.4

ti=0.091xi+13.75

   

2.1.2.2. Metoda celor mai mici patrate.

Parametrii a si b a ecuatiei dreptei se calculeaza pe baza datelor din tabelul 2.1.5. cu ajutorul relatiilor:

Tabelul 2.1.5.

Ecuatia dreptei este:

Pentru cele 6 valori ale factorului de influenta duratele operatiilor sunt (tabelul 2.1.6.):

Cu aceste valori se traseaza dreapta de regresie corespunzatoare variatiei duratei tehnologice fata de variatia valorii factorului de influenta (figura 2.1.2)

ti=0.143xi+15.53

Stabilirea ecuatiei de dependenta a duratelor tehnologice de valorile factorului de influenta pentru un numar mai mare de masuratori (120 Masuratori-vezi tabelul 2.1.2)

2.1.3.1. Metoda grafico-analitica:

Din figura 2.1.3 si din tabelul 2.1.2 rezulta ca:

C(59,12;23,97)

A(42,96;21,36)

B(27.3;18.84)

C

A

B

Fig. 2.1.3

; ; deci:

De unde punctul A (42,96; 21,36)

De unde punctul B (27,33; 18,84)

De unde punctul C( 59,12; 23,97)

Dreapta de regresie va trece prin punctele A, B, C, iar

Prin prelungirea dreptei, la intersectia cu axa timpului in fig. 2.1.3 se citeste valoarea lui b, astfel ca din figura se constata ca b=14,50

Ecuatia dreptei va fi:

Pentru trasarea dreptei se calculeaza cu ajutorul ecuatiei valorile duratei tehnologice corespunzatoare valorilor factorului de influenta in tabelul 2.1.7

Tabelul 2.1.7

Din tabelul 2.1.1 rezulta:

Ecuatia va fi:

Pentru trasarea dreptei se calculeaza cu ajutorul ecuatiei valorile duratei tehnologice corespunzatoare valorilor factorului de influenta in tabelul 2.1.8 (vezi fig. 2.1.4)

Tabelul 2.1.8

Fig. 2.1.4

2.1.4. Verificarea legaturii liniare dintre duratele tehnologice si valorile factorului de influenta.

Verificarea se realizeaza cu ajutorul coeficientului de corelatie, calculat cu relatia:

de unde

Coeficientul poate lua valorile , iar valorile cu cat sunt mai apropiate de -1 sau +1 arata o corelatie mai stabila.

Pentru determinarea elementelor de calcul se foloseste tabelul 2.1.9, din care rezulta ca:

pentru metoda grafico-analitica;

pentru metoda celor mai mici patrate;

pentru ambele metode.

Sau:

deci pentru metoda grafico-analitica;

deci pentru metoda celor mai mici patrate.

Se constata ca metoda celor mai mici patrate este cea care realizeaza o corelatie mai stransa a valorilor de timp masurate si drepte de regresie.

Tabelul 2.1.9

2.1.5. Valoarea cu care se poate majora durata medie a operatiei tehnologice ca operatia respectiva sa se realizeze integral cu o probabilitate de 90%.

2.1.5.1. Consideratii generale

In consideratiile unei distributii empirice a valorii duratelor tehnologice care tinde spre o distributie teoretica normala, relatia de calcul este:

in care: - este probabilitatea de 90%;

- abaterea medie patratica.

Abaterea medie patratica se obtine cu ajutorul relatiei:

in care este frecventa relativa a numarului de operatii ale unei valori a lui t:

pentru aceasta este necesar a se stabili mai intai distributia empirica a duratei tehnologice in functie de valoarea factorului de influenta.

2.1.5.2. Distributia empirica

Amplitudinea sirului variational

Intervalul dintre valorile lui t

Distributia empirica este prezentata in tabelul 2.1.10.

Din acest tabel rezulta durata medie

2.1.5.3. Abaterea medie patratica

Pentru determinare abaterii medii patratice, se foloseste tabelul 2.1.11, realizat pe baza formulei de la 2.1.5.1.

Rezulta ca:

iar

2.1.5.4. Valoarea cu care se poate majora durata medie a operatii tehnologice.

2.1.5.5. Durata operatiei tehnologice.

2.1.5.6. Verificarea concordantei dintre distributia empirica si distributia teoretica normala.

Verificarea se face prin intervalul Kolmogorov, dupa care distributia empirica tinde catre o distributie normala, atunci cand:

iar dupa intervalul , atunci cand:

Elementele de calculpentru criteriul Kolmogorov sunt date in tabelul 2.1.12, din care rezulta ca:

pentru

pentru    (vezi tabelul functiei Kolmogorov).

Rezulta ca ca atare dupa acest criteriu, distributia empirica nu tinde spre o distributie normala.

Elementele de calul pentru criteriul sunt date in tabelul 2.1.13, din care rezulta ca:

Numarul gradelor de distributie este:

Din tabelele de repartitie a valorilor lui in functie de probabilitatea de a avea o valoare mentionata in tabel si de numarul gradelor de libertate , rezulta ca pentru grade de libertate:

Deci , dupa care distributia empirica tinde spre o distributie normala cu o probabilitate de 99,5.

Tabelul 2.1.10

Tabelul 2.1.11.

=

Tabelul 2.1.12