Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune.stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme




Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
» Metodele geometriei descriptive - Rabaterea


Metodele geometriei descriptive - Rabaterea


Rabaterea

Metoda rabaterii, se utilizeaza pentru obtinerea unor pozitii particulare a elementelor geometrice astfel incat sa se obtina adevaratele marimi ale acestora. Se utilizeza rabaterea pe planul orizontal de proiectie, (fig.1.49a), pe planul vertical de proiectie, (fig.1.49b), pe un plan de nivel, (fig.1.49c), si pe un plan de front, (fig.1.49d). Se determina regula acestei metode pentru punct care apartine unui plan, dreapta care apartine unui plan, planul respectiv.




a.


b.


c.


d.

fig.1.49

obtinandu-se adevarata marime a tuturor elementelor continute. Pentru un punct A(a,a'), apartinand unei drepte continute in plan, pozitia rabatuta, A0, se obtine prin triunghiul de rabatere, ∆a'ωa1', construit in planul vertical de proiectie, pentru proiectia verticala a', a punctului dat, (fig.1.50.b)


a.

b.

fig.1.50

Epura pentru rabatere

Epura pentru rabaterea pe planul orizontal de proiectie, (fig.1.51.a).

Un plan oarecare, [P], dat prin urmele sale, P si P', se rabate pe planul orizontal de proiectie. Pentru un punct A(a,a'), apartinand unei drepte continute in plan, pozitia rabatuta, A0, se obtine ducand prin proiectia orizontala, o paralela si o perpendiculara la urma orizontalaP. Pe paralela se ia

un segment de dreapta egal cu cota punctului A si se noteaza cu a1, respectiv aa1≡a`ax. Intersectia perpendicularei cu urma P, este centrul de rabatere si se noteaza cu ωA, respectiv segmentul ωAa1, este raza de rabatere. Intersectia arcului de cerc de raza ωAa1 cu perpendiculara construita, este rabaterea punctului A(a, a`), pe planul orizontal de proiectie notat cu A0. Urma orizontala H≡h, a dreptei D(d, d`), care apartine planului [P] si trece prin punctul A(a, a`), fiind pe axa de rabatere, ramane propriul rabatut, respectiv H≡h≡H0. Unind puntele A0 cu H0, se obtine rabaterea dreptei D(d, d`), notata cu D0. Intersectia dreptei D0 cu arcul de cerc cu centrul in punctul Px si raza Pxv`, este rabaterea urmei verticale v`, a dreptei D(d, d`), notata cu V0. Unind punctul Px cu punctul V0, se obtine rabaterea urmei verticale, P`, a planului [P], notata cu P0`.

Epura pentru rabaterea pe planul vertical de proiectie, (fig.1.51.b).

Un plan oarecare, [P], dat prin urmele sale, P si P', se rabate pe planul vertical de proiectie. Pentru un punct A(a,a'), apartinand unei drepte D(d, d`), continute in plan, pozitia rabatuta, A0, se obtine ducand prin proiectia verticala, o paralela si o perpendiculara la urma verticala P`. Pe paralela se ia




a.

V0, se obtine rabaterea dreptei D(d, d`), notata cu D0. Intersectia dreptei D0 cu arcul de cerc cu centrul in punctul Px si raza Pxh, este rabaterea urmei orizontale h, a dreptei D(d, d`)

 


b.

fig.1.51

notata cu H0. Unind punctul Px cu punctul H0, se obtine rabaterea urmei orizontale, P, a planului [P], notata cu P0.

1.3.3.Rabaterea pe un plan de nivel

Un plan oarecare, [P], (fig.1.49c), dat prin urmele sale, P si P', se rabate pe un plan de nivel, [N], printr-o rotatie in jurul dreptei de intersectie, D1(d1,d1') dintre planul oarecare de rabatut, [P] si planul de nivel, [N], dat, obtinandu-se adevarata marime a elementelor acestuia. Pentru un punct A(a,a'), apartinand unei drepte continute in plan, pozitia rabatuta, A0, se obtine prin triunghiul de rabatere, (fig.1.52.a), ∆aωa1, construit in planul orizontal de proiectie, format din aω o perpendiculara pe proiectia d1, a dreptei de intersectie, dusa din proiectia orizontala, a, a punctului A, aa1 o paralela la proiectia d1, a dreptei de intersectie, unde aa1=z, diferenta dintre cota punctului si planul de nivel. Raza, de rotatie, (de rabatere) fiiind ωa1=AΩ. Punctul A0 fiind intersectia dintre arcul de rotatie de raza egala cu raza de rotatie, ωa1=AΩ, cu prelungirea perpendicularei aω.

1.3.4.Rabaterea pe un plan de front

Un plan oarecare, [P], (fig.1.49d), dat prin urmele sale, P si P', se rabate pe un plan de front, [F], printr-o rotatie in jurul dreptei de intersectie, D1(d1,d1') dintre planul oarecare de rabatut, [P] si planul de front, [F], dat, obtinandu-se adevarata marime a elementelor acestuia. Pentru un punct A(a,a'), apartinand unei drepte continute in plan, pozitia rabatuta, A0, se obtine prin triunghiul de rabatere, ∆a'ωa1', construit in planul vertical de proiectie, pentru proiectia verticala a', a punctului dat, (fig.1.52.b), unde a'a1' o paralela la proiectia d1', a dreptei de intersectie si a'a1'=y, diferenta dintre departarea punctului si planul de front. Raza de rotatie, (de rabatere) fiiind ω'a1'. Punctul A0 fiind intersectia dintre arcul de rotatie de raza egala cu raza de rotatie, ω'a1', cu prelungirea perpendicularei a'ω'.


a. b.

fig.1.52

Epura pentru rabaterea pe plan de nivel, (fig.1.53.a).

Un plan oarecare, [P], dat prin urmele sale, P si P', se rabate pe un plan de nivel, [n], cu urma N`. Pentru un punct A(a,a'), apartinand unei drepte continute in plan, pozitia rabatuta, A0, se obtine ducand prin proiectia orizontala, o paralela si o perpendiculara la proiectia dI, a dreptei de intersectie DI(dI, dI`), dintre planul oarecare dat, [P] si planul de nivel dat, [n]. Dreapta de intersectie este o orizontala a planului [P]. Pe paralela se ia un segment de dreapta egal cu cota punctului A fata de planul de nivel [n], notata cu azN si se noteaza cu a1, respectiv aa1≡azN. Intersectia perpendicularei cu proiectia dI, este centrul de rabatere si se noteaza cu ωA, respectiv segmentul ωAa1, este raza de rabatere. Intersectia arcului de cerc de raza ωAa1 cu perpendiculara construita, este rabaterea punctului A(a, a`), pe planul de nivel, notata cu A0. Intersectia dintre dreapta DI(dI, dI`) si dreapta D(d, d`), care trece prin punctul A(a, a`), drepte care apartin planului [P], se noteaza cu I(i, i ). Punctul I(i, i ). fiind pe axa de rabatere, ramane propriul rabatut, respectiv I≡i≡I0. La fel se pot


a.

b.

fig.1.53

punctului A fata de planul de front [f], notata cu ayF si se noteaza cu a1`, respectiv a`a1`≡ayF. Intersectia perpendicularei cu proiectia dI`, este centrul de rabatere si se noteaza cu ωA`, respectiv segmentul ωA`a1`, este raza de rabatere. Intersectia arcului de cerc de raza ωA`a1` cu perpendiculara construita, este rabaterea punctului A(a, a`), pe planul de front, notata cu A0. Intersectia dintre dreapta DI(dI, dI`) si dreapta D(d, d`), care trece prin punctul A(a, a`), drepte care apartin planului [P], se noteaza cu I(i, i ). Punctul I(i, i ). fiind pe axa de rabatere, ramane propriul rabatut, respectiv I≡i`≡I0. La fel se pot obtine rabaterea celorlalte elemente ale planul [P].

1.3.5.Rabaterea planelor proiectante pe planele de proiectie

Rabaterea planului vertical

Rabaterea planului vertical se construieste avand ca axa de rabatere urma planului pe planul de proiectie si utilizand regulile rabaterii, (triunghiul de rabatere).



Rabaterea planului vertical pe planul orizontal de proiectie, (fig.1.54).


fig.1.54

Urma verticala rabatuta, P0`, se construieste ridicand o perpendiculara din punctul Px pe urma P.

Rabaterea planului vertical pe planul vertical de proiectie, (fig.1.55).

Epura rabaterii planului proiectant vertical pe planul de proiectie vertical se construieste tinand cont de regulile rabaterii si de caracteristicile planului proiectant vertical. Axa de rabatere este urma P` a planului, raza de rabatere in acest caz fiind distanta pe urma orizontala de la coordonata Px la proiectia orizontala a elementul din plan. Proiectiile orizontale ale elementelor din plan se rotesc pana la intersectia cu axa Ox. Rabaterea elementelor fiind intersectia dintre liniile de ordine construite din pozitia rotita, cu linia de ordine din proiectia verticala, a elementelor. Elementele rotite se noteaza cu litere majuscule si indice zero, (A0, D0).

Rabaterea planului de capat

Rabate

rea planului de capat se cons

truieste avand ca axa de rabatere urma planului pe planul de proiectie si utili

zand triunghiul de rabatere

 


fig.1.55

Rabaterea planului de capat pe planul orizontal de proiectie, (fig.1.56).

aa1≡a`ax

 


fig.1.56

Rabaterea planului de capat pe planul vertical de proiectie, (fig.1.57).

Rabaterea planului de capat se construieste respectand regulile rabaterii (utilizand triunghiul de rabatere), avand ca axa de rabatere urma planului pe planul de proiectie si utilizand proprietatile planului de capat. Axa de rabatere este urma P` a planului, raza de rabatere in acest caz fiind departarea elementelor din plan. Urma verticala rabatuta, P0, se construieste ridicand o perpendiculara din punctul Px pe urma P`.


Fig.1.57

rabate(planul axei de rabatere);-intersectia perpendicularei cu axa de rabater este centrul de rabatere;-se construieste triunghiul de rabatere;-rabaterea punctului se gaseste pe perpendiculara la intersecsia acesteia cu arcul cu centrul in centrul de rabatere, de raza egala cu raza de rabatere.

Utilizarea transformarii afine la rabatere pentru determinarea rabaterii unui punct

folosind aceasta transformare este necesara cunoasterea unei perechi de puncte corespondente care se obtin prin rabaterea unui singur punct al figurii, axa de afinitate fiind axa de rabatere. pozitia punctului rabatut pe dreapta rabatuta se determina prin intersectia perpendicularei cu dreapta rabatuta care este determinata de urmele sale, una dintre urme fiind propria rabatuta, iar cealalta fiind obtinuta prin rabatere.

1.3.3.Ridicarea rabaterii

Pentru aflarea proiectiilor elementelor rabatute se utilizeza ridicarea din rabatere. Se determina regula acestei metode, (fig.1.58), pentru rabaterea, A0, unui punct A, caruia i se cunoaste proiectia verticala, a', apartinand unui plan oarecare [P], caruia i se cunoaste urma in planul orizontal de proiectie, P si se determina proiectia a, ale punctului dat si urma verticala a planului [P]. Din A0, se duce o perpendiculara la urma P, a planului, intersectia notandu-se cu ω. La intersectia dintre A0ω cu prelungirea proiectantei a'ax, rezulta proiectia orizontala a, a punctului A. Se construieste proiectia orizontala, d, a orizontalei corespunzatoare punctului A, determinandu-se proiectia orizontala a urmei verticale a acesteia, v. La intersectia proiectantei ridicata din v cu proiectia verticala, d', a orizontalei, se determina proiectia verticala a urmei verticale a orizontalei corespunzatoare punctului A, notata cu v'. Unind v' cu Px, se obtine P', se obtine urma verticala, P', a planului [P].


fig.1.58

oarecare [P], caruia i se cunoaste urma in planul orizontal de proiectie, P si se determina proiectia a', a punctului dat si urma verticala P', a planului. Din A0, se duce o perpendiculara la urma P, a planului, intersectia notandu-se cu ω. La intersectia dintre cercul de raza A0ω cu prelungirea paralelei prin a, la urma orizontala, P, a planului dat se obtine punctul a1, respectiv cota punctului A, az. Se pune az pe prelungirea proiectantei aax, rezulta proiectia verticala a', a punctului A. Se construieste proiectia orizontala, d, a orizontalei corespunzatoare punctului A, determinandu-se proiectia orizontala a urmei verticale a acesteia, v. La intersectia proiectantei ridicata din v cu proiectia verticala, d', a orizontalei, se determina proiectia verticala a urmei verticale a orizontalei corespunzatoare punctului A, notata cu v'. Unind v' cu Px, se obtine P', se obtine urma verticala, P', a planului [P].

Se determina regula acestei metode, (fig.1.60), pentru rabate-

rea, A0, unui punct A, caruia i se cunosc proiectiile verticala, a', orizontala a, care apartine

 




fig.1.59

Se uneste punctul A0 cu proiectia a, se construieste perpendicula

ra pe segmentului A0a, in punctul a, aceasta fiind orizontala planului oarecare [P]. Intersectia perpendicularei cu linia de pamant

  unui plan oarecare [P], caruia i se determina urmele in planul orizontal de proiectie, P si in planul vertical de proiectie, P'.


fig.1.60

determina urma v a orizontalei planului, D(d, d'). Se determina urma verticala a orizontalei planului v'. Se determina mijlocul segmentului A0a1, unde aa1≡axa', notat cu m. Din punctul m se ridica o perpendiculara care intersecteaza segmentul A0a in centrul de rabatere ω.

Se determina regula acestei metode, (fig.1.61), pentru rabaterea, A0, unui punct A, apartinand unui plan oarecare [P], caruia i se cunoaste coordonata az si pozitia punctului a1. Se determina proiectiile punctului A, (proiectia orizontala a, proiectia verticala, a') si urmele planului oarecare [P], (urma orizontala, P, respectiv verticala P').

Se determina mijlocul segmentului A0a1, notat cu O1. Cu centrul in acest punct, notat cu O1, se construieste un cerc de raza (A0a1)/2. Cu centrul in punctul a1, se construieste un cerc de raza egala cu valoarea cotei, az. intersectia celor doua cercuri este punctul a, proiectia orizontala a punctului A. Din punctul a se ridica o perpendiculara pe segmentul aa1, care intersecteaza perpendiculara ridicata pe segmentul A0a1 in centrul de rabatere ω. segmentul aa1 determina directia orizontalei planului oarecare [P].

Se determina urma orizontala, v si verticala v' a orizontalei planului, D(d, d'). Linia de ordine din proiectia orizontala a, determina coordonata ax si proiectia a', la intersectia cu proiectia verticala d'. Prin centrul de rabatere ω se duce o paralela la proiectia d si se determina urma orizontala P si coordonata Px. Unind coordonata Px cu proiectia v' se determina urma verticala a planului P'.

 


fig.1.61

1.3.5 Adevarata marime a figurilor geometrice plane

Metodele de transformare a proiectiilor, se utilizeaza pentru obtinerea unor pozitii particulare a elementelor geometrice astfel incat sa se obtina adevaratele marimi ale acestora. Se utilizeaza metoda rabaterii pe planul orizontal de proiectie, pe planul vertical de proiectie, pe un plan de nivel si pe un plan de front.

1.3.5.1.Cercul

Se utilizeaza rabaterea pe planul orizontal de proiectie, (fig.1.62), a unui cerc, CO(co,co'), de centru O(o,o') ce apartine planului oarecare, [P], de urme P, P'. Raza mare a elipsei, din proiectia verticala, este frontala planului ce trece prin punctul O. Raza mare a elipsei, din proiectia orizontala, este orizontala planului ce trece prin punctul O. Razele mici sunt linii de cea mai mare panta. Prin rabatere pe planul orizontal de proiectie, se obtine CO, de centru Or.

P0`

 

Fig.1.62

 

Determinarea proiectiilor cercului,(fig.1.62)

In pozitia rabatuta se construieste un cerc de raza data. Centrul se noteaza cu Or

Se constriesc rabaterile pentru

orizontala, notata cu D1, frontala planului notata cu D2si liniile de cea mai mare panta D3 respectiv D4, care trec prin centrul cercului.

proiectiile acestora (d1, d1'), (d2, d2'), (d3, d3') si (d4, d4') se determina din proprietatile acestora si prin intoarcerea din rabatere. Prin intoarcere din rabatere se determina si proiectiile punctelor de intersectie a dreptelor construite cu cercul in pozitia rabatuta. Punctele sunt notate cu 1r, 2r, 3r, 4r, in pozitia

 

rabatuta si cu 1( 1r, 1r`), 2( 2r, 2r`), 3( 3r, 3r`), 4( 4r, 4r`), in proiectiile ortogonale. Unind punctele din proiectiile ortogonale se obtin proiectiile ortogonale ale cercului.

rabatuta si cu 1( 1r, 1r`), 2( 2r, 2r`), 3( 3r, 3r`), 4( 4r, 4r`), in proiectiile ortogonale. Unind punctele din proiectiile ortogonale se obtin proiectiile ortogonale ale cercului.

1.3.5.2. Triunghiul

Se considera figura geometrica plana, triunghiul oarecare, ABC, cu proiectiile (a,b,c), din planul orizontal de proiectie si (a',b',c') proiectia, din planul vertical de proiectie. Se va determina adevarata marime a acestuia prin: metoda rabaterii pe planul plan de nivel si metoda rabaterii pe planul orizontal de proiectie a planului proiectant.

Metoda rabaterii pe planul plan de nivel, (fig.1.63),:

Se construieste orizontala planului triunghiului dat, A1(a1,a'1'), corespunzatoare intersectiei dintre planul de nivel, [N] de urma N', cu planul

Fig.1.63

 

triunghiului dat. Se rabate pe planul de nivel dat obtinandu-se A0B0C0, adevarata marime a triunghiului dat. Axa de rabatere este orizontala D(d, d`). Se aplica regulile de rabatere pe plan de nivel, cu aa1≡a`azN, bb1≡b`bzN, cu centrul de rabatere pentru punctul A(a, a`), ra, respectiv rb, pentru punctul B(b, b`). Pentru punctul C(c, c`), care estte pe axa de rabatere, proiectia orizontala coincide cu rabaterea, C0 ≡c. Triunghiul rabatut se noteaza cu A0B0C0.

 

metoda rabaterii pe planul orizontal de proiectie a planului proiectant.

triunghiul oarecare, ABC, cu proiectiile (a,b,c), din planul orizontal de proiectie si (a',b',c') proiectia, din planul vertical de proiectie, apartine


Fig.1.64







Politica de confidentialitate





Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


Metode iterative de solutionare a sistemelor de ecuatii liniare
Moduri de definire a unei functii
Baze formate din vectori proprii. Functii de matrice de structura simpla
Teorema Criteriul raportului al lui d'Alembert
RELATII METRICE IN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC
A doua forma fundamentala a unei suprafete
FUNCTIA EXPONENTIALA
VECTORI
Polinomul de interpolare Gauss
Multimi poliedrale




termeni
contact

adauga