Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
Masurabilitate


Masurabilitate




Masurabilitate.

Fie W ,X multimi oarecare si f:W X o functie. Daca BÌX atunci



f-1(B)= va desemna preimaginea multimii B prin functia f. Daca

M Ì P(X) este o familie oarecare de multimi, atunci f-1(M) va desemna familia

. In acest fel putem privi operatia f-1 ca o functie de la P(X) la P(W).

Propozitia 1. Daca M Ì P(X) este o s-algebra (respectiv algebra, topologie) atunci f-1(M) este de asemenea s-algebra (respectiv algebra, topologie).

Demonstratie. Evident. Preimaginea reuniunii (respectiv intersectiei, complementarei) este reuniunea (respectiv intersectia, complementara).o

In plus, f-1 se comporta bine si fata de operatorii de inchidere introdusi in Cursul1: comuta cu ei.

Propozitia 2. Intotdeauna s( f-1(M)) = f-1(s(M))

( si respectiv Alg( f-1(M)) = f-1(Alg(M)) , Top( f-1(M)) = f-1(Top(M)) ).

Demonstratie. "": Fie E = .Evident M Ì E . In al doilea rind E este o s-algebra. Intr-adevar, ÆIE deoarece ÆIs( f-1(M)) si evident f-1(Æ)=Æ . Apoi , daca B I E , atunci si Bc I E caci f-1(Bc)=(f-1(B))c si s( f-1(M)) este o s-algebra. In sfirsit, daca (Bn)n este un sir de multimi din E , reuniunea lor va fi de asemenea in E caci .

Rezulta ca s(M ) Ì s(E)= E . Deci BIs( M) Þ f-1(B)I s( f-1(M)) adica

f-1(s(M))Ì s( f-1(M)).

"Ì": Evident f-1(M) Ì f-1(s(M)) deci s(f-1(M)) Ì s(f-1(s(M))) = f-1(s(M)) , caci ultima familie este deja o s-algebra conform Propozitiei.

Acelasi rationament functioneaza daca inlocuim operatorul "s" cu "Alg" sau "Top"..

Definitie. Spatiu masurabil, functie masurabila. O pereche (W,k) unde W este o multime oarecare si k Ì p(W)este o s-algebra se numeste spatiu masurabil. Daca (W,k) si (X, f) sint doua spatii masurabile si f:W X este o functie , atunci functia f se numeste (k, f)-masurabila daca f-1(f) Ì k, adica daca BI f Þ f-1(B) I k. Daca nu este pericol de confuzie, (adica daca s-algebrele k si f se subinteleg) vom spune doar ca "f este masurabila". Daca f este bijectiva si functia f-1 este de asemenea (f, k)-masurabila vom spune ca f este un izomorfism de spatii masurabile sau, mai scurt, un izomorfism. Daca W , X sint spatii topologice si a s-algebrele k si f sint s-algebrele multimilor boreliene , atunci o functie masurabila se va numi functie boreliana.

Observatie. Daca k si f ar fi topologii in loc sa fie s-algebre, notiunea de masurabilitate ar coincide cu notiunea de continuitate. Intr-adevar, se stie ca f este continua Û f-1(G) este deschisa 'G deschisa. Altfel scris, f este continua Û f-1(f) Ì k, ceea ce arata o similaritate remarcabila intre cele doua notiuni. In acest caz izomorfismul (functie bijectiva bimasurabila) s-ar numi homeomorfism (= functie bijectiva si bicontinua). Ca si in topologie, este valabil urmatorul rezultat:

Propozitia 3. (i). Fie (W,k) , (E,e) (F,f) trei spatii masurabile si f:W E, g:E F doua functii masurabile. Atunci compunerea lor gf este de asemenea masurabila.

(ii). Fie (W,k) , (E,e) doua spatii masurabile si f : W E o functie oarecare. Sa presupunem ca e =s(m) cu m Ì p(W) . Atunci f este masurabila Û f-1(m ) Ì k

Demonstratie. (i) este evident iar (ii) este o consecinta imediata a propozitiei 2: f-1(e) = f-1(s(m)) = s(f-1(m)) Ì s( k ) = k .

Importanta punctului (ii) din Propozitia 3 este vizibila: pentru a demonstra masurabilitatea unei functii f nu este nevoie sa verificam neaparat ca f-1(B) I k pentru orice B din e, ci este suficient sa verificam acest lucru pentru B I m lucru mai usor.

Definitie. s-Algebra generata de o familie de functii. Fie (Xt,Ft)tIT o familie de spatii masurabile, X o multime oarecare si ft:X Xt o familie de functii. Atunci s-algebra s(( Ft)) se va numi s-algebra generata de functiile (ft)tIT si se va nota, in cazul ca ne exista pericol de confuzie asupra spatiilor masurabile (Xt,Ft)tIT,cu s(ft : tIT).

Propozitia 4. Fie (W,K) un spatiu masurabil, X o multime oarecare si Fie (Xt,Ft)tIT o familie de spatii masurabile. Fie ft:X Xt o familie de functii si f:W X .

Atunci f este (K,s(ft : tIT ))-masurabila Û ftf sint (K, Ft)-masurabile ' tIT.

Demonstratie. "Þ" este evident : compunerea de functii masurabile este masurabila.

"". f-1(s(ft : tI T ))=f-1(s(( Ft)))=s(f-1(( Ft))) (Propozitia 2!)=s( (f-1(Ft))) (datorita proprietatilor aplicatiei f-1) =s(( Ft)) Ì K deoarece toate functiile ftf sint masurabile.

Definitie. Produsul unei familii de spatii masurabile. Sa consideram in definitia de mai sus cazul particular in care X= si functiile ft:X Xt sint proiectiile canonice, adica ft(x)=xt 'tIT. Atunci vom nota s-algebra s(ft : tIT) cu Ft. Daca T= vom mai scrie spatiul masurabil produs si direct, adica

(X1X2.Xn, F 1A F 2A.A F n). In cazul particular in care (Xt,Ft)tIT coincid , deci daca (Xt,Ft )=(E, F) 'tIT, produsul acestor spatii masurabile se va nota (ET, FT) . Daca in plus T= vom prefera scrierea mai obisnuita (En, Fn) in loc de (ET, FT). Sa remarcam analogia acestei definitii cu cea de topologie produs: produsul unei familii de spatii topologice se defineste la fel .

O consecinta imediata a Propozitiei 4 este

Propozitia 5. Fie (Xt,Ft)tIT o familie de spatii masurabile si X= , F = Ft. Fie (W,K) un alt spatiu masurabil si f:W X , f(w)=(ft(w))tIT . Atunci f este (K, Ft)-masurabila Û ft sint (K, Ft)- masurabile pentru orice tIT.

Demonstratie. Evident :daca pt:XXt sint proiectiile canonice, atunci ptf = ft si aplicam Propozitia 3. .

Un alt caz particular de s-algebra generata de o functie este cea de urma a unei s-algebre pe o multime. Fie (W,K) un spatiu masurabil si A Ì W o multime oarecare. Injectia canonica este functia iA : A W data de relatia iA(w)=w. Atunci s-algebra s(iA) = iA-1(K) se numeste urma lui K pe A si se noteaza cu K½A.

In cazul spatiilor topologice este interesanta legatura intre borelianul produs si produsul borelienilor. Daca am sti ca ele coincid, de exemplu, atunci orice functie continua ar fi masurabila, lucru care ar fi de ajutor in stabilirea masurabilitatii.

Propozitia 6. Fie (Xt, T t) o familie cel mult numarabila de spatii topologice numarabil generate. Atunci B() =B(Xt).

Demonstratie. Fie Ot baze numarabile de topologie in (Xt, T t), adica T t = ( Ot)s si Ot sint numarabile 'tIT. Atunci topologia produs pe X := va fi data de formula T =Top((( Ot)s)) = Top(( Ot))s). Fie Ut multimile pt-1(Ot). Deci T = Top(Ut)s) =(Ut)s)dS (Exercitiu : Top(M)= M dS) =(Ut)d s S (datorita distributivitatii reuniunii fata de intersectie) . Fie O familia de multimi O = (Ut)d. Cum T este cel mult numarabila , familiile Ut sint de asemenea numarabile iar intersectiile finite care se pot realiza cu o familie numarabila de multimi formeaza de asemenea o multime numarabila de multimi, rezulta ca O este numarabila. Inseamna ca T = O sS = O s (reuniunile de multimi dintr-o familie numarabila sint intotdeauna reuniuni cel mult cel mult numarabile), cu alte cuvinte O este o baza de topologie pentru T. Rezulta ca B()=s(T)=s( O s)=s( O )=s (Ut) = s ((Ot)) = s ((Ot))) (cf. Propozitia 7(i), Curs 1) = s (s(Ot))) (cf. Propozitiei 2)





= s (s((Ot)s)) =s (s(Tt)))) (deoarece Ot sint baze de topologii in Xt)

=s (b(Xt))) (din definitia multimilor boreliene ale unui spatiu topologic) =B(Xt).

In cazul particular in care (Xt , T t) = (A,Top(A)) coincid cu dreapta reala cu topologia sa canonica obtinem urmatoarea consecinta foarte importanta a Propozitiei 5:

Corolar 7. Daca T este cel mult numarabila, atunci B(AT) = ( B(A))T.

Demonstratie. Se stie ca ca Top(A) este o topologie cu baza numarabila ( de exemplu Top(A)=Top( ). Se aplica apoi Propozitia 5.

Corolar 8. Fie f: An A continua. Atunci f este (( B(A))n, B(A)) - masurabila.

Demonstratie. f-1(B(A))=f-1(s(Top(A))) = s(f-1(Top(A))) (cf. Propozitiei 2)

Ì s( Top(An)) (f continua inseamna ca preimaginea oricarei deschise este de asemenea deschisa!) = B(An) = ( B(A))n conform Corolarului 6.

Este importanta de asemenea legatura intre borelian si urma.

Propozitia 9. Fie (X,T) un spatiu topologic si AÌX. A este inzestrat cu topologia de subspatiu.

(i). B(A)= B(X)½A.

(ii). Daca AI B(X), atunci B(A) =

(iii). AI B([-¥,¥]) unde dreapta incheiata este inzestrata cu topologia canonica.

(iv). B([-¥,¥]) =s( ) =s( ).

(v). B([-¥,¥]) = }.

Demonstratie.

(i). B(A) = s( T ½A) = s(iA-1(T))=iA-1(s(T)) (conform Propozitiei 2) = iA-1( B(X)) = B(X)½A.

(ii). Din definitia urmei, B(A) =. Daca AI B(X) , atunci si

B =ACI B(X) .

(iii). A este deschisa in [-¥,¥], deci boreliana.

(iv). Fie F =s( ). Evident F Ì B([-¥,¥]) deoarece toate intervalele

[-¥,b) fiind deschise, sint boreliene. Reciproc, ar trebui aratat ca orice deschisa din

[-¥,¥] este in F. Dar deschisele sint reuniuni cel mult numarabile de intervale de tipul (a,b) sau [-¥,b) sau (a,¥] cu a,bIA. Scriind (a,¥]c=[-¥,a+xn) cu (xn)n un sir descrescator de numere pozitive convergent la 0 , rezulta ca (a,¥]I F. In sfirsit, un interval deschis marginit se poate scrie (a,b)=[-¥,b)(a,¥], deci si el apartine la F, de unde cealalta incluziune.

(v). "Ì": Fie F multimea din dreapta. Se verifica imediat ca F este o s-algebra. Toate intervalele [-¥,b), bIA sint in F, deci si s-algebra generata de ele care, conform punctului (iv) coincide cu B([-¥,¥]).

"": Conform punctului (ii) si (iii) orice multime boreliana de pe dreapta ,B, este de asemenea in B([-¥,¥]). O multime finita ,J, este de asemenea in B([-¥,¥]) deoarece este inchisa.

Definitie. Variabila aleatoare. Punct aleator. Vector aleator. Fie (W,K) un spatiu masurabil si T o multime cel mult numarabila. O functie f:W AT care este (K,B(AT))-m[surabila se numeste vector aleator. Daca T are doua elemente vom numi vectorul f punct aleator , iar daca T are un singur element, f se va numi variabila aleatoare. Daca f este o variabila aleatoare cu proprietatea ca f(W) este finita, atunci f se numeste variabila aleatoare simpla. Daca f(W) este cel mult numarabila. atunci f se numeste variabila aleatoare etajata. Daca f:W [-¥, +¥] este (K, b([-¥,¥])-masurabila, atunci f se numeste variabila aleatoare extinsa. Din Propozitia 8 rezulta ca orice variabila aleatoare este si variabila aleatoare extinsa si, mai mult, orice variabila aleatoare extinsa f cu proprietatea ca f(W)ÌA este chiar variabila aleatoare.

Iata o consecinta a Propozitiei 4 care ne da un criteriu de a recunoaste un vector aleator:

Propozitia 10. Fie (W,K) un spatiu masurabil , T o multime cel mult numarabila si f:W AT . Atunci f este vector aleator Û ptf sint variabile aleatoare 'tIT.

Demonstratie. " Þ " : Din Corolarul 6, B(AT) = ( B(A))T , proiectiile canonice pt sint masurabile iar compunerea de aplicatii masurabile este masurabila.

" " : Daca toate componentele ft=ptf sint masurabile, atunci f este (K, B(A)T)-masurabila cf. Propozitiei 4. Apoi se aplica Corolarul 6.

Acum putem prezenta cele mai importante proprietati ale variabilelor aleatoare, care vor fi folosite in restul cursului.

Propozitia 11. Fie (W,K) un spatiu masurabil si L(W,K) (respectiv S(W,K), E(W,K) ) familia variabilelor sale aleatoare (respectiv variabilelor aleatoare simple, etajate).

(i). Daca f1, f2,,fn sint variabile aleatoare si g:AnA este (B(An),B(A))-masurabila,atunci functia compusa g(f1,f2,,fn) este de asemenea variabila aleatoare. In particular, daca g este continua ramine valabila aceeasi afirmatie.

(ii). Toate aceste familii de functii sint algebre comutative peste A, adica spatii vectoriale reale cu structura de inel comutativ fata de inmultirea obisnuita a functiilor.

(iii). f este variabila aleatoare Û I K 'xIA Û I K 'xIA Û I K 'xIA etc. In general f este variabila aleatoare Û f-1(M) Ì K daca s( M)= B(A).

(iv). f este variabila aleatoare extinsa Û I K 'xIA Û I K 'xIAÛ IK 'BI b(A) si I K,I K.




(v). Daca f(W) este cel mult numarabila atunci f este variabila aleatoare Û I K 'xIf(W).

(vi). Fie f:W [-¥,¥] o functie oarecare si h: [-¥,¥] [-1,1] un homeomorfism crescator (de exemplu functia h(x)= daca xIA, h(-¥)=0, h(¥)=1 ). Atunci f este variabila aleatoare extinsa daca si numai daca hf este variabila aleatoare.

(vii). Daca (fn)n este un sir de variabile aleatoare extinse, atunci functiile limsup(fn) si liminf(fn) sint de asemenea variabile aleatoare extinse.

(viii). In particular , daca (fn)n este un sir convergent de variabile aleatoare atunci limita sa este de asemenea o variabila aleatoare.

(ix). Daca f este o variabila aleatoare marginita, atunci exista un sir de variabile aleatoare simple , (fn)n care converge uniform la f.

(x). Daca f este o variabila aleatoare oarecare, atunci exista un sir de variabile aleatoare etajate , (fn)n care converge uniform la f.

(xi). Daca f este o variabila aleatoare oarecare, atunci exista un sir de variabile aleatoare simple , (fn)n care converge punctual la f.

(xii). Spatiul vectorial S(W,K) este dens in L(W,K) in topologia convergentei simple iar E(W,K) este dens in L(W,K) in topologia convergentei uniforme.

Demonstratie.

(i).Functia f:WAn data prin f(w)=(f1(w),f2(w),,fn(w)) este ( K, b(An)) masurabila din Propozitia 9 iar compunerea de functii masurabile produce functii masurabile.

(ii). Functiile g(x,y)=ax+bycu a,bIA, h(x,y)=xy , g,h:A2A sint continue , deci masurabile. Inseamna ca daca f1 si f2 sint variabile aleatoare si af1+bf2, f1f2 vor fi de asemenea variabile aleatoare, conform punctului (I).

(iii). f-1(s(m))=s(f-1(m)) din Propozitia 2. Din Cursul 1, Prpozitia 9, se stie ca

b(A) = s() = s() = s() = s([x,¥) : xIA}) etc.

(iv). Se aplica Propozitia 8 si Propozitia 2.

(v). Sa presupunem ca f(W) este cel mult numarabila. Daca f este variabila aleatoare, atunci =f-1() apartne s-algebrei K din definitia masurabilitatii. Reciproc, daca B este o multime boreliana oarecare, atunci f-1(B)=I K datorita faptului ca reuniunea in cauza este cel mult numarabila.

(vi). Faptul esential este ca functia h:[-¥,¥][-1,1] este (b([-¥,¥]),b([-1,1]))-bimasurabila, adica atit h cit si h-1 sint masurabile.

(vii). Sa luam, de exemplu functia f=limsup fn = cu gn=sup . Aratam mai intii ca gn sint masurabile. Fie gn,k=sup = max . Functiile gn,k sint variabile aleatoare extinse deoarece daca h este homeomorfismul de la punctul precedent, rezulta ca h(gn,k)= max (datorita monotoniei lui h) = j (h(fn), h(fn+1) , ,h(fn+k)) este variabila aleatoare din punctul (i) al propozitiei ( functia j:AnA, j(x)=max(x1,x2,,xn) este continua, deci masurabila) . Apoi, sirul de variabile extinse (gn,k)k este crescator si converge la gn. Fie x un numar real. Rezulta ca = I k, deci gn sint variabile aleatoare extinse conform punctului (iv). Sirul de variabile aleatoare extinse (gn)n este descrescator si converge la f. Rezulta ca = apartine s-algebrei k 'xIA , deci f este variabila aleatoare extinsa cf. (iv).

(viii). Daca (fn)n este un sir convergent de variabile aleatoare, atunci f = limsup fn = liminf fn si amindoua aceste functii sint variabile aleatoare extinse, conform punctului precedent. Dar f(W)ÌA , deci f este o variabila aleatoare.

(ix). Fie f o variabila aleatoare marginita si a,bIA ca a£f£b. Functiile hn:AA definite prin hn(x)=[nx]/n sint crescatoare, deci masurabile Borel (multimile sint intervale) si ½hn(x)-x½£1/n , deci hn converg uniform la functia identica. Rezulta ca variabilele aleatoare hn(f)=[nf]/n converg uniform la f. Dar ele sint simple caci multimile hn(f)(W) sint finite (hn(f)(W) Ìhn([a,b])=).

(x). Daca f nu este marginita, variabilele aleatoare hn(f) de la punctul precedent sint etajate.

(xi). Fie hn(x)=[nx]1[-n,n](x)/n. Variabilele aleatoare hn(f) sint simple (caci hn(A)= este finita) si converg la f (deoarece ½x-hn(x)½ £ 1[-n,n](x)/n + ¥(1(-¥,n]È[n,¥)(x)) 0 c]nd n¥ ).

(xii). Este o reformulare a punctelor (x) si (xi).

Exercitii.

1. Operatorii ()s,()d, ()s, ()d , ()S , ()D sint idempotenti , adica M ss= M s etc, iar operatorul ()' este involutiv, adica (.)' ' = (.).

2 Sa se arate ca operatorii s si d , precum si S si D comuta, adica M sd= M ds si M SD= M DS .

3. Dimpotriva, s si d nu comuta: aratati ca Q I M ds , dar Q Ï M sd , unde M reprezinta multimea deschiselor de pe dreapta iar Q este multimea numerelor rationale.

Indicatie. Q este o reuniune numarabila de puncte iar orice punct x este intersectia sirului de intervale deschise (x-1/n,x+1/n), deci Q I M ds. Sa presupunem prin absurd ca Q I M sd = M d (caci o reuniune de deschise este de asemenea deschisa). Atunci Qc ar fi o reuniune numarabila de inchise; cum interiorul multimii Qc este vid, Qc s-ar putea scrie ca o reuniune numarabila de inchise cu interior vid. Atunci ar rezulta ca A= QÈQc se poate scrie ca o reuniune numarabila de inchise cu interior vid, adica A ar fi un spatiu de categoria I Baire ceea ce este fals: orice spatiu metric complet este de categoria II Baire (Teorema lui Baire).

4. Fie W = A si m = . Calculati m s, m d, m s, m d si aratati ca Q I M ds , dar Q Ï M sd. (Indicatie: orice deschisa este in m s ).

5. Fie W=[0,¥)2 si m = . Aratati ca:

(i). M d= M iar m d =

(ii). m s= iar m s= unde, daca f si g sint doua functii, [f,g) inseamna .

(iii). Fie f:[0,¥)[0,¥) continua strict descrescatoare. Atunci multimea [0,f] este in M sd , dar nu in M ds. Deci, in general nu este nici o incluziune intre M sd si M ds.

Indicatie (iii). Fie fn = . Atunci [0 , f ] =deci [0,f] este in M sd conform cu (ii). Daca [0,f] ar fi in M ds ar trebui ca [0,f] sa se poata scrie ca o reuniune de intervale InJn , conform primului punct. Fie an si bn capetele drepte ale intervalelor In si Jn. Pentru orice x³0 punctul (x,f(x))I[0,f] trebuie sa fie in una din multimile InJn, notata In(x)Jn(x) . Inseamna ca x£an(x) si f(x)£bn(x) de unde f(an(x))£f(x)£bn(x). Dar In(x)Jn(x) Ì [0,f] Þ bn(x) £f(an(x)) deci (an(x),bn(x)) este pe graficul lui f si intervalele sint inchise: In(x)=[0,an(x)] , Jn(x)=[0,bn(x)]. Mai mult, cum f este strict descrescatoare, (an(x),bn(x)) este unicul punct situat pe graficul lui f. Rezulta ca pe graficul lui f exista numai o multime numarabila de puncte, absurd.

6. Exercitii cu functia indicator. Fie 1A: p(W) indicatorul multimii A, adica 1A(x)= . Aratati ca

(i).1AÈB = max(1A , 1B ) = 1A + 1B -1A1B ; 1AB = 1A1B ; 1ADB = 1A+1B - 21A1B

= ½1A-1B½ = 1A+1B (mod 2) iar A = B Û 1A=1B .

(ii). (P(W),D,) este un inel izomorf cu (Z2W, Å, ) unde Z2W = iar "Å","" inseamna adunarea si inmultirea pe componente.

(iii). si , unde .

Indicatie (ii). Un izomorfism este aplicatia T:P(W)Z2W , T(A)=1A.



7. Aratati ca Top(M)=MdSÈ.

8. Aratati ca Alg(M)=(MÈm')sd.

9. Aratati ca s( M) = Ès(n) unde reuniunea se face dupa toate subfamiliile numarabile de multimi n ale lui M.

Indicatie. Aratati ca familia de multimi din dreapta este o s-algebra.

10.Sa presupunem ca multimile din M formeaza o partitie a lui W: (adica M = , s¹tÞMsMt=Æ iar reuniunea tuturor multimilor Mt este W). Atunci Alg(M)= iar s(M)= ( reuniunile numarabile sau conumarabile de atomi formeaza s-algebra )

11. Algoritm pentru constructia algebrei generate de o familie finita de multimi. Daca M este finita, atunci s(M)=Alg(M) si ½ Alg(M) ½ este o putere a lui 2. Daca M = atunci atomii sint multimile DJ= unde J parcurge toate submultimile lui . Deduceti ca numarul de multimi din algebra generata de n multimi este 2k cu k numarul de atomi nevizi . Cum acesta este cel mult 2n rezulta ca ½Alg(M)½ £ .

Indicatie. Verificati ca J¹J' Þ DJDJ' = Æ si ca reuniunea atomilor este W; retineti apoi numai atomii nevizi si aplicati exercitiul precedent. .

12. Algoritm pentru constructia s-algebrei generate de o familie de multimi. Fie W o multime oarecare si m o familie de parti ale sale. Fie m 1 = ( m È m')s,m 2 = (m 1 È (m 1)')s,, m n+1 = (m n È (m n)')s, si procedeul continua pina la primul ordinal cu o multime nenumarabila de predecesori, w1 , astfel : daca l este un ordinal limita, atunci m l = m a iar daca l are predesor (adica l=a+1 cu a alt ordinal), atunci m a+1 = (m a È (m a)')s

Atunci s(m ) = m a.

13. Fie X,Y sint doua spatii topologice si f:XY o functie . Daca f este (B(X), B(Y) )-masurabila, atunci f se numeste masurabila Borel. Consideram cazul X=Y=A. Aratati ca:

- orice functie monotona este masurabila Borel;

- orice functie continua la dreapta sau la stinga este masurabila Borel.

Indicatie. Daca f este monotona, preimaginea oricarui interval este interval iar intervalele genereaza B(A). Daca f este continua la dreapta, este limita sirului fn(x)=(x) iar daca este continua la stinga procedam analog.

14. Fie f : AA continua si injectiva. Atunci s(f)= B(A) .

Indicatie. f este monotona . Din teorema lui Darboux, Im(f) este interval, deci multime boreliana ;functia f:A Im(f) este bijectiva. Daca g:Im(f)A este inversa ei, atunci f(B (A)) = g-1(B (A)) = g-1(s(i )) (unde reprezinta intervalele de pe dreapta) = s(g-1(i )) = s(f(i )) Ì B(A) .

deoarece daca I este un interval, f(I) este de asemenea interval (Darboux!) deci multime boreliana. Apoi se va folosi faptul ca B=f-1(f(B)).

15. Fie f: AA para , continua cu proprietatea ca f½[0,¥) este injectiva. Atunci aratati ca s(f)= cu -B := .

Indicatie. Daca B este boreliana, si -B este la fel datorita masurabilitatii functiei h(x)=-x. Fie g:[0,¥)A, g= f½[0,¥). Functia g este monotona. Aratati ca la exercitiul precedent ca s(g)= B(A)½[0,¥) . Daca B=-B, atunci B= (B[0,¥)) È (-(B[0,¥))) = g-1(D) È (-g-1(D))=f-1(D) unde B[0,¥)=g-1(D), D boreliana. Deci orice multime din s-algebra din dreapta este in s(f). Cealalta incluziune este evidenta : f-1(B)=-f-1(B).

16. Calculati s(f) daca :

- f:AA, f(x)=x2;

- f:AA, f(x)=[x];

- f:AA, f(x)=sin(x);

Indicatie. In primul caz se aplica exercitiul (3); In al doilea aratati direct ca s(f) este familia reuniunilor de intervale de forma [n,n+1), n intreg; in al treilea folositi faptuls ca functia sinus restrictionata la intervalul [-p/2,p,2] este injectiva si aratati ca s(f)= .

17. Fie f:A2A, f(x,y)=x2+y2. Aratati ca s(f)=, unde C(0,x) este cercul de centru 0 si raza x.

18. Fie W1 , W2 ,, Wn multimi oarecare si mj Ì p(Wj), 1£j£n ca Wj I mj . Aratati ca s(mj) = s([mj]) , unde [mj] insemna prin definitie multimea "dreptunghiurilor" A1A2An cu Aj I mj , 1£j£n.

Indicatie. Daca W este produsul cartezian al celor n multimi si pj:W Wj sint proiectiile canonice, atunci s(mj) = s(pj-1(s(mj))) = s(s(pj-1(mj))) = s(pj-1(mj)) = s((pj-1(mj))d). Ultima expresie este exact ce trebuie, deoarece Wj I mj. )

19. b(An) = s( ).

Indicatie. In general s( m 1)As( m 2)AAs( mn) = s()

20. Daca (W,k) este un spatiu masurabil si este generat de o partitie cel mult numarabila (Ai)iII atunci f este variabila aleatoare Û f este variabila aleatoare etajata.

Indicatie. Multimea este o reuniune cel mult numrabila de atomi.

21. Daca W este o multime nenumarabila si k Ì p (W) este s-algebra generata de multimile cu un singur punct atunci o functie f:W A este masurabila Borel Û f este constanta cu exceptia eventuala a unei multimi cel mult numarabile.

Indicatie:considerati multimile Ex:=; exista un x ca Ex sa fie cel mult numarabila iar e>0 Þ Ex+e este conumarabila. Atunci f=x cu exceptia eventuala a unei multimi cel mult numarabile .

22. Preimaginea unui p-sistem nu mai este neaparat p-sistem. Fie W= si

m = {Æ,W,,,,,c,c,c,c}.

Fie apoi E = W si f:E W functia identica.

Verificati ca m este p-sistem (singurele perechi de multim disjuncte sint de tipul A, Ac ) dar f-1() nu mai este p sistem .






Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


Produs cartezian
Utilizarea unri functii definite printr-o integrala in rezolvarea unor probleme
FUNCTII UZUALE
Functii periodice
Modele statice si modele dinamice
Valori extreme ale unei functii
Functii bijective
Observatii asupra definirii grupului
Cilindrul cu generatoarele paralele cu una din axele de coordonate
Curburile principale, liniile de curbura; clasificarea punctelor de pe suprafata