Multimi fuzzy

Definitia 1.1. Daca este o multime de obiecte notate generic cu , atunci o multime fuzzy in este o multime de perechi ordonate , unde iar este gradul de apartenenta al lui la .

Deci, o multime fuzzy este echivalenta cu o multime de referinta si o aplicatie .

Exemplul 1.1. Fie afirmatia "Dan a luat note in jur de 7". Multimea fuzzy "in jur de 7" poate fi descrisa ca

.

Exemplul 1.2. Sa notam cu multimea numerelor reale grupate in jurul lui . Ea poate fi descrisa prin , unde

O alta notatie pentru multimi fuzzy este: (cazul discret)

sau

(cazul continuu).

Cu aceasta notatie, multimile din exemplele anterioare se reprezinta prin:

si respectiv prin

Definitia 1.2. Fiind data o multime fuzzy , se numeste taietura de nivel sau -taietura multimea clasica .

Multimea se numeste -taietura stricta.

Exemplul 1.3. Referitor la multimea din exemplul 1.1, -taieturile sunt:

.

Functia de apartenenta joaca un rol fundamental in teoria multimilor fuzzy. De aceea, operatiile cu multimi fuzzy vor fi definite cu ajutorul acestei functii.

1.2.1. Operatii fundamentale

Prezentam mai intai conceptele introduse de Zadeh in 1965 [181].

Definitia 1.4. Fiind date doua multimi fuzzy si , intersectia lor se defineste prin functia de apartenenta

,

Definitia 1.5. Fiind date multimile fuzzy si , reuniunea lor se defineste prin functia de apartenenta

,

Definitia 1.6. Fiind data multimea fuzzy , complementara sa este definita de

Exemplul 1.4. Fie si .

Atunci

.

1.2.2. Operatii algebrice

Definitia 1.7. Fie multimi fuzzy in ; produsul lor cartezian este o multime fuzzy in spatiul produs avand functia de apartenenta .

Definitia 1.8. Puterea a multimii fuzzy este definita de

Definitia 1.9. Suma algebrica (probabilista) este , unde .

Definitia 1.10. Suma marginita este definita de , unde .

Definitia 1.11. Diferenta marginita este definita prin , unde .

Definitia 1.12. Produsul algebric al doua multimi fuzzy si este .

Exemplul 1.6. Fie si . Atunci, conform definitiilor de mai sus avem

.

1.2.3. Operatii bazate pe t-operatori

Vom descrie in continuare clase de operatori de intersectie si reuniune, din care operatorii prezentati anterior se obtin ca fiind cazuri particulare; universul de discurs il vom nota cu .

Definitia 1.17. Functia este o negatie (sau operator de complementare) stricta daca

(N1)

(N2)

(N3) pentru orice .

Trillas [164] a aratat ca orice negatie stricta se poate scrie sub forma

(1.3)

unde este o functie continua si strict crescatoare cu si numar finit. Fiind aleasa o negatie , complementara a multimii fuzzy este data de

Operatiile cu multimi fuzzy pot fi definite mai general prin

unde , sunt operatori de reuniune si respectiv intersectie.

Asupra lui si se impun urmatoarele conditii, pentru :

- concordanta cu reuniunea si intersectia clasice:

u1)

i1)

- comutativitate

u2) i2)

- asociativitate

u3) i3)

- legile lui de Morgan: exista un operator de complementare astfel incat:

u4) i4)

- existenta elementului neutru

u5) , adica i5) , adica

- monotonie

u6) - i6) si sunt functii nedescrescatoare in fiecare argument

- continuitate

u7) - i7) si sunt functii continue.

Rezultatele obtinute in teoria ecuatiilor functionale [1, 109] permit o clasificare a operatorilor de intersectie si reuniune. Pentru aceasta avem nevoie de rezultate suplimentare.

Definitia 1.18. Functia ce satisface

(T1)

(T2)

(T3) daca

(T4)

pentru orice , se numeste norma triunghiulara (sau t-norma).

O t-norma continua este arhimedeana daca

(T5) .

O t-norma arhimedeana este stricta daca

(T6) pentru si .

Definitia 1.19. Functia ce satisface

(S1)

(S2)

(S3) daca

(S4)

pentru orice , se numeste conorma triunghiulara (sau t-conorma).

O t-conorma continua este arhimedeana daca

(S5) .

O t-conorma arhimedeana este stricta daca

(S6) pentru si .

Pentru orice t-norma si orice t-conorma au loc relatiile

.

Ling [109] a demonstrat ca orice t-norma arhimedeana se poate scrie sub forma

(1.4)

unde este o functie continua si strict descrescatoare iar este pseudo-inversa lui , definita de

Daca si atunci t-norma este stricta. Daca si , t-norma se numeste nilpotenta.

Analog, orice t-conorma arhimedeana se poate scrie

(1.5)

unde este o functie continua si strict crescatoare iar

Daca si , t-conorma este stricta. Daca si t-conorma se numeste nilpotenta. Orice t-norma satisface relatia [149]

, unde

Analog, pentru orice t-conorma avem

, unde

Prin intermediul unei negatii se poate trece de la o t-norma la o t-conorma si invers, conform teoremei urmatoare:

Teorema 1.2. [4] Daca este o t-norma si este o negatie stricta, atunci este o t-norma si reciproc, .

1.4.1. Principiul extensiei

Unul din conceptele de baza din teoria multimilor fuzzy, care poate fi utilizat pentru a generaliza concepte matematice clasice la multimi fuzzy, este principiul extensiei.

Definitia 1.23. Fie produsul cartezian al universurilor si multimi fuzzy in respectiv. Consideram functia . Principiul extensiei ne permite sa definim o multime fuzzy in prin

unde

Pentru , principiul extensiei se reduce la

unde

Exemplul 1.9. Fie si . Aplicand principiul extensiei obtinem

1.4.2. Numere fuzzy

Definitia 1.24. O multime fuzzy se numeste normalizata daca exista cel putin un punct in care functia de apartenenta ia valoarea 1.

Definitia 1.25. Un numar fuzzy este o multime fuzzy convexa si normalizata a universului R cu proprietatile:

1) exista un unic R astfel incat se numeste valoarea medie a lui

2) este functie continua pe portiuni.

Exemplul 1.10. Multimea

este numar fuzzy, dar    nu este numar fuzzy deoarece

Definitia 1.26. Un numar fuzzy este pozitiv (negativ) daca functia sa de apartenenta este astfel incat

Daca sunt operatiile algebrice obisnuite, extensiile lor la numere fuzzy le notam cu si respectiv . Notam in continuare cu F(R) multimea numerelor fuzzy.

Din principiul extensiei rezulta

Teorema 1.4. [41] Daca F(R) au functiile de apartenenta si respectiv iar RR R, atunci functia de apartenenta a numarului fuzzy este data de

Exemplul 1.12. Fie numerele fuzzy si

. Atunci

1.4.3. Reprezentarea LR a numerelor fuzzy

Operatiile de calcul cu multimi fuzzy se pot realiza mai usor daca se utilizeaza o reprezentare speciala, numita LR. Acest tip de reprezentare a fost sugerat de Dubois si Prade [40]: ei numesc functia descrescatoare (si ): R functie de forma daca :

pentru

pentru

sau ( si

Definitia 1.28. Numarul fuzzy este de tipul daca exista functiile de forma (pentru partea stanga) si (pentru partea dreapta) si scalarii astfel incat

unde este un numar real, numit valoarea medie a lui , iar si respectiv reprezinta intinderea stanga si respectiv dreapta. Simbolic este notat prin

Exemplul 1.13. Fie Atunci

Teorema 1.6 [41] Fie numerele fuzzy si

Atunci    1)

2)

3)

Exemplul 1.14. Fie si . Atunci si

Teorema 1.7. [41] Daca si sunt numere fuzzy, atunci

daca si sunt pozitive;

daca si

daca si sunt negative.

Exemplul 1.15. Fie si

Avem

=

deci si sunt pozitive.

Conform teoremei anterioare avem

Daca nu este numar real ci interval, se obtine un interval fuzzy.

Definitia 1.29. Un interval fuzzy este de tipul daca exista functiile de forma si si parametrii

( R astfel incat

Un astfel de interval fuzzy se noteaza prin

#n aplicatii practice se lucreaza frecvent cu functii si liniare:

De obicei, un interval fuzzy este numit numar fuzzy trapezoidal.

Relatiile fuzzy sunt submultimi ale lui , adica aplicatii de la la . Ele au fost studiate de numerosi autori dintre care amintim pe Zadeh [181] si Kaufmann [97]. Ne vom ocupa numai de relatii binare.

Definitia 1.30. Fie R multimi universale; atunci se numeste relatie fuzzy pe

Exemplul 1.16. Fie R si = "considerabil mai mare decat". Putem defini aceasta relatie prin functia de apartenenta

Definitia 1.32. Fie si doua relatii fuzzy in acelasi spatiu produs; reuniunea respectiv intersectia lor se definesc, pentru , prin

Definitia 1.33. Fie o relatie fuzzy. Prima proiectie a lui este

A doua proiectie este

Exemplul 1.18. Un exemplu de relatie fuzzy si proiectiile sale este:

Definitia 1.34. Cea mai larga relatie fuzzy a carei proiectie este se numeste extensia cilindrica a lui

Exemplul 1.19. Extensia cilindrica a lui din exemplul anterior este

Relatiile fuzzy din diferite spatii produs pot fi combinate prin operatia de compunere. Au fost sugerate diferite tipuri de compuneri, dar compunerea max-min este cea mai utilizata.

Definitia 1.35. Fie si doua relatii fuzzy. Compunerea max-min a lui cu este definita prin