Hiperboloidul cu o panza- generatoare rectilinii

Hiperboloidul cu o panza- generatoare rectilinii

Hiperboloidul cu o panza este o suprafata de gradul doi, loc geometric al punctelor care verifica ecuatia:

Pentru reprezentare se vor folosi sectiunile sale prin planele de coordonate:

, o elipsa de semiaxe si , care se numeste "elipsa colier".

, elipsa in planul , reala pentru orice .

, o hiperbola ce intersecteaza axa .

, o hiperbola ce intersecteaza axa .

Observatii:

Hiperboloidul cu o panza este o suprafata ce se "intinde" de la la , de-a lungul axei ( daca termenul in are semn diferit de celelalte doua patrate) si contine elipse paralele intre ele, cu semiaxele crescatoare. Elipsa cu cele mai mici semiaxe este elipsa colier.

Daca , hiperboloidul cu o panza este "de rotatie" in jurul lui .

Observand forma particulara pe care o are ecuatia acestei suprafete:

, se face intersectia cu familia de plane:

si se obtine:

o familie de drepte .

Daca se face intersectia cu familia de plane: se obtine:

o familie de drepte .

Rezulta ca aceste doua familii de drepte sunt continute de suprafata de gradul doi. Ele se numesc generatoare rectilinii ale suprafetei si verifica urmatoarele proprietati:

a)      printr-un punct al suprafetei trece o singura generatoare din fiecare

familie ;

b)      doua generatoare din fiecare familie sunt drepte disjuncte in spatiu( nu

se intalnesc);

c)      doua generatoare din familii diferite se intersecteaza intr-un punct de

pe suprafata ( sistemul celor doua familii de generatoare rectilinii este

intotdeauna compatibil);

d)      cele doua generatoare ce trec printr-un punct al suprafetei, determina

planul tangent in acel punct, la suprafata;

Se numeste plan tangent intr-un punct la o suprafata, locul geometric

al tuturor tangentelor ce se pot duce la toate curbele de pe suprafata ce

trec prin acel punct, in acel punct.

Cum generatoarele rectilinii sunt propriile lor tangente, ele constituie

cele doua directii ce determina planul tangent.

e)      cele doua familii de generatoare rectilinii determinate mai sus sunt

singurele drepte de pe suprafata.

Intr-adevar, presupunand ca printr-un punct al suprafetei, mai trece o dreapta, in afara celor doua generatoare din familiile si , planul tangent in acel punct la suprafata va avea comun cu aceasta, o curba de gradul trei( trei drepte). Acest lucru este insa imposibil, dat fiind ca suprafata este de gradul doi, iar planul de gradul unu; presupunerea facuta asupra existentei celei de a treia drepte este absurda.