Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune.stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme




Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
» Functii diferentiabile. Derivate partiale.


Functii diferentiabile. Derivate partiale.


Functii diferentiabile. Derivate partiale

. Fie functia , . Aratati ca este diferentiabila in orice punct si avem .

Solutie. Potrivit definitiei diferentiabilitatii, putem scrie

.



Atunci, definim functia

Se verifica usor ca este continua pe si . Asadar, este diferentiabila in .

. Aratati ca functia , nu este diferentiabila in punctul .

Solutie. Presupunem ca ar fi diferentiabila in . Atunci exista unic numarul si functia , continua in , cu a.i.

.

Asadar, daca , din aceasta relatie, deducem urmatoarea expresie pentru functia :

,.

Deoarece , atunci functia , daca exista, are expresia

Din continuitatea lui deducem ca , ceea ce arata ca ramane nedeterminat si, in consecinta, nu este diferentiabila in origine.

Exista functii care au derivate partiale de ordinul intai intr-un punct fara sa fie continue in acel punct (vezi si exemplul 9). De exemplu, functia definita prin

nu este continua in origine, desi are ambele derivate partiale in origine. Intr-adevar, daca alegem sirul de puncte , cand , unde , atunci , deci nu are nici macar limita in origine. Functia admite derivate partiale in origine si avem:

si

Functia definita prin , este continua in origine insa nu este derivabila partial in raport cu in origine, deci nu este diferentiabila in origine.

Intr-adevar, deoarece pentru , avem , atunci ,

deci este continua in origine. Studiem posibilitatea existentei derivatelor partiale in origine.

Avem

.

Functia , nu are limita in si atunci derivata partiala a lui in raport cu nu exista in origine.

Daca este diferentiabila intr-un punct atunci este continua in acel punct. Reciproc, nu este adevarat. De exemplu, functia , este continua pe , insa functiile

si ,

nu au limite in , respectiv in si deci nu are derivate partiale in origine, deci nu este diferentiabila in origine.

Fie , multime deschisa si . Daca este diferentiabila in punctul atunci continua si are derivate partiale in raport cu si in punctul . Reciproca acestei afirmatii nu este adevarata (vezi observatia (v)).

Intr-adevar, daca este diferentiabila in punctul , atunci exista discul si numerele reale si functia , continua pe , cu proprietatea ca si a.i.

.

Din relatia deducem

, cand ,

relatie care arata ca este continua in .

Din , daca alegem si , deducem

, cand ,

relatie, care arata exista . Analog, daca in relatia se alege si , se arata ca exista si derivata partiala .

Exista functii continue intr-un punct, care au derivate partiale in acel punct si totusi functia nu este diferentiabila in acel punct. Deci continua in , exista si si nu este diferentiabila in .

De exemplu, functia definita prin , este continua in (0,0), admite derivate partiale in origine, insa nu este diferentiabila in origine.

Intr-adevar, este continua peste tot cu exceptia originii si deoarece

, atunci avem si deci este continua si in . Derivatele partiale exista in origine si acestea sunt nule:

Presupunem ca este diferentiabila in origine. Atunci exista si si exista o vecinatate (alegem vecinatatea originii ca fiind un discul cu centrul in origine de raza ) si functia , continua pe cu proprietatea ca a.i.

.

Asadar, putem scrie

,

Din forma functiei observam ca aceasta este continua in orice vecinatate a originii cu exceptia punctului . In acest punct functia nu are limita, deci nu este diferentiabila in punctul .

De exemplu, putem descrie implicatiile intre continuitate, derivabilitate si diferentiabilitate ca in tabloul urmator:

diferentiabila de doua ori in punctul (a,b)

exista in si sunt marginite

continua in

derivatele partiale de ordinul doi exista in si sunt continue in ( a,b)



exista in si sunt diferentiabile in

exista in si sunt continue in

    diferentiabila in punctul

exista in

3.4. Exercitii propuse

Se considera functia definita prin . Sa se calculeze derivatele partiale: .

Solutie. In orice punct , avem

Functia definita prin

.

Sa se arate ca exista toate derivatele partiale de ordinul al doilea, , in orice punct din , iar derivatele mixte nu sunt egale in origine, adica avem .

Solutie. Daca , atunci avem

si .

In punctul exista derivatele partiale de ordinul intai si avem

si .

Pentru obtinem , iar pentru rezulta .

Asadar, putem scrie

.

.

Fie punctele si apartinand multimii .

Aratati ca functia

, (1)

verifica ecuatiile cu derivate partiale

si . (2)

Functia se numeste solutia fundamentala a ecuatiei de conductie a caldurii (2).

. Fie . Folosind definitia diferentialei sa se calculeze valoarea aproximativa a functiei in punctul , unde .

Solutie. Alegem punctul unde si . Atunci este diferentiabila in punctul si inlocuind cresterea functiei, adica , prin diferentiala sa

,

putem scrie aproximarea

,

respectiv,

Deoarece,

si ,

rezulta

.

. Inlocuind cresterea functiei prin diferentiala sa calculati cu aproximatie numerele

a). b). c). .

Solutie. a) Alegem functia si din definitia diferentialei lui in punctul de coordonate , putem scrie

.

Consideram punctele si . Atunci cresterile si , iar derivatele partiale ale lui in punctul au forma

.

Asadar, avem aproximarea

.

Se poate arata ca eroarea este mai mica decat .

b) Alegem care este diferentiabila in punctul . Consideram si cresterile ; ; . Rezulta .

c) Alegem si , . Atunci cresterile se calculeaza in radiani: .

.

. Fie functiile

i). ; ii). ; iii). .

a) Pentru fiecare din functiile date mai sus, determinati domeniile maxime de definitie si calculati prima derivata, .

. Fie , definita astfel atunci .

Demonstratie. Aratam ca este functie continua pe . Intr-adevar, prin definitie, functia este continua pentru . In punctul putem scrie si . Deci este continua pe .

Pentru avem .

Daca atunci . Deci

.

Asadar, derivata in exista si este egala cu zero. Rezulta ca este diferentiabila pe si derivata are aceeasi forma cu . Prin recurenta deducem ca este diferentiabila si are aceeasi forma cu , deci .

De exemplu, functia este de clasa pe .







Politica de confidentialitate





Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate