Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
Familii de submultimi ale unui spatiu


Familii de submultimi ale unui spatiu




Familii de submultimi ale unui spatiu

Fie W o multime oarecare. Vom nota cu P W) familia partilor sale. Obiectele cele mai importante ale teoriei masurii sint unele submultimi ale lui P W cu proprietati speciale.




Definitia 1. O subfamilie KÌ P W) se numeste s-Algebra daca verifica urmatoarele proprietati:

ÆIK

(2) Daca AI K atunci si AcI K

(3) Daca (An)nIN este un sir de multimi din K, atunci si I K

Definitia 2. O subfamilie CÌ P W) se numeste p-sistem daca verifica urmatoarele proprietati:

ÆIC

(2) Daca AI C atunci si AcI C

(3) Daca (An)nIN este un sir de multimi disjuncte din C, atunci si I C

Definitia 3. O subfamilie AÌ P W) se numeste Algebra daca verifica urmatoarele proprietati:

ÆIA

(2) Daca AI A atunci si AcI A

(3) Daca (An)nII este o familie finita de multimi din A, atunci si I A

Notatii. Aceste notiuni se pot scrie mai scurt daca folosim urmatoarele notatii clasice: Fie MÌ P W) o familie oarecare de multimi. Vom nota atunci, pe tot parcursul acestui curs cu M s, M s M S M d,M d M D M reuniunile finite (respectiv reuniunile numarabile, reuniunile arbitrare, intersectiile finite, intersectiile numarabile, intersectiile oarecare, complementarele) de multimi din M

Observatia 1. Este evident ca orice s-algebra este si algebra si p-sistem.

Propozitia 1. Daca F este o algebra atunci W I F si A,BI F Þ A BI F

Demonstratie. W Æc iar (A B)=(AcÈBc)c ; se aplica axiomele (1), (2) si (3) din definitia algebrei.

Propozitia 2. Daca F este o s-algebra atunci An I F n Þ F

Demonstratie. Formulele lui De Morgan: si aplicam succesiv (2),(3),(2) din definitia s-algebrei.

Propozitia 3. Daca F este p-sistem si F = F d , atunci F este si s-algebra.  Deci in particular daca F Ì P W) este algebra si p-sistem, atunci F este si s-algebra.

Demonstratie. Fie F Ì P W) un p-sistem stabil la intersectii finite.Fie (An)n un sir de multimi din F si A=. Se pune problema sa aratam ca AI F. Construim in acest scop multimile disjunctate B1=A1, B2=A2-A1 =A2-B1, B3=A3-(B1ÈB2), si, in general, Bn+1=An+1-(B1ÈB2È ÈBn),.. Multimile (Bn)n au proprietatile:

B1ÈB2È ÈBn = A1ÈA2È ÈAn pentru orice n ³

Intr-adevar, pentru n=1 afirmatia este adevarata. O presupunem adevarata pentru n=k si o verificam pentru n=k+1.Avem ca B1ÈB2È ÈBkÈBk+1 = ( B1ÈB2È ÈBk)

È( Ak+1-(B1ÈB2È ÈBk)) = B1ÈB2È ÈBkÈAk = A1ÈA2È ÈAkÈAk (prin ipoteza de inductie). Deci afirmatia este adevarata pentru orice n.

Multimile Bn sint disjuncte.

Intr-adevar, fie m<n Þ m£n-1. Atunci Bm Bn = Bm (An-( B1ÈB2È ÈBn-1)) Ì Bm (An-Bm)=Æ. Incluziunea este adevarata deoarece evident BmÌ B1ÈB2È ÈBn-1.

Toate multimile Bn apartin familiei F. Intr-adevar, Bn poate fi scrisa ca Bn=An A1c An-1c si multimile AicI F i iar F = F d .

Cum F este p-sistem si multimile (Bn)n sint disjuncte rezulta ca reuniunea lor este in F. Dar din (1) rezulta ca ==A. Deci F este s-algebra.

A doua afirmatie rezulta imediat din prima observind ca orice algebra este stabila la intersectii finite.

Propozitia 4. Daca (Mt)tIT este o familie de s-algebre (algebre, p-sisteme, topologii) atunci si intersectia Mt este de asemenea o s-algebra (algebra, p-sistem, topolgie)

Demonstratie. Evident.

Definitie. Fie M o familie oarecare de submultimi ale lui W. Vom nota cu s M) (respectiv p M), Alg(M), Top(M s-algebra (respectiv p-sistemul, algebra, topologia) generata de M , definita prin relatia s M) = (respectiv ,,). Altfel spus, s M) (respectiv p M), Alg(M), Top(M) ) este intersectia tuturor s-algebrelor pe W (respectiv a p-sistemelor, algebrelor, topologiilor) care contin pe M





Propozitia 5. Alg M Ì s M) si p M Ì s M

Demonstratie s M) este o algebra (respectiv un p-sistem) care contine pe M

Propozitia 6. M s È M dÌ M sdÌ M sds Ì Ì M sdsd Ì s M

Demonstratie. Evident din definitia unei s-algebre.

Rezultatul urmator va fi folosit de multe ori in curs.

Propozitia 7.(i). Daca j este unul din operatorii de inchidere Alg, s sau p, si (M t)tIT este o familie de submultimi ale lui p W), atunci j( M t j( j M t

(ii)Daca M Md, atunci s M p M

Demonstratie. (i). Cum M t Ì j M t) incluziunea "Ì" este evidenta. Incluziunea cealalta este de asemenea imediata : cum M t Ì M t rezulta ca j M t Ì j( M t) pentru orice tIT de unde j M t Ì j( M t) deci, din proprietatea de monotonie a operatorului de inchidere j rezulta ca j(j M t Ì j j( M t j( M t) (este evident ca orice operator de inchidere este idempotent, adica j j j

(ii)Ideea este sa dovedim ca p M) este stabil la intersectii finite si sa aplicam Propozitia 3. Fie AI M . Fie FA=. Vom arata ca FA este un p-sistem care contine pe m

Intr-adevar, faptul ca M Ì FA rezulta imediat din faptul ca M este stabil la intersectii finite: daca AI M, atunci A BI M. Multimea vida este evident in FA caci apartine oricarui p-sistem. Daca BI FA, atunci si BcI FA caci (A ( Bc))c   =(A ( AB)c)c = (AB)È(Ac); ABIp M) caci BI FA , AcI p M) deoarece AIp M), AB si Ac sint disjuncte deci reuniunea lor este in p M) . Rezulta ca si complementara acestei multimi, adica A ( Bc) este in p M) , adica BcI FA. In sfirsit, daca (Bn)n este un sir de multimi disjuncte din FA ,rezulta ca si reuniunea lor este in FA deoarece multimile ABn sint disjuncte si apartin p-sistemului p M) care este stabil la reuniuni disjuncte numarabile. Deci FA este un p-sistem care contine pe m , deci p M Ì FA . Cum AI M este oarecare inseamna ca am demonstrat ca

AI M , BIp M Þ A BIp M

Fie acum A I p M) oarecare si eA = . Din (*) , inlocuind A cu B si B cu A , rezulta ca M Ì eA. Acelasi rationament de mai sus ne arata ca eA este de asemenea un p-sistem, deci p m Ì eA; adica

AIp M), BI p M Þ A BIp M

Dar (**) nu inseamna nimic altceva decit ca p M) = (p M))d de unde, conform Propozitiei 3, p M) este o s-algebra. Dar intotdeauna p M Ì s M) (Propozitia 5). Cum p M) este o s-algebra care contine pe M, incluziunea inversa este evidenta si in consecinta p M Ì s M




[z1]  Acum putem introduce cel mai important exemplu de s-algebra, cel care face legatura cu topologia.

Definitie: s-algebra multimilor boreliene. Fie (X,T) un spatiu topologic. Atunci s-algebra s T) se numeste s-algebra multimilor boreliene ale spatiului topologic (X,T) sau, daca nu este nici un pericol de confuzie, borelianul spatiului X . El se va nota cu B(X,T) sau, daca nu este pericol de confuzie, cu B(X). Iata citeva proprietati importante ale sale.

Propozitia 8. Fie (X,T) un spatiu topologic. Atunci:

(i).Orice multime deschisa sau inchisa este boreliana. Mai mult, B(X) = s

(ii).Daca X este separat, atunci orice multime compacta este boreliana. In particular orice multime cel mult numarabila este boreliana.

(iii). Daca X este separat si poate fi acoperit cu o multime cel mult numarabila de compacte, atunci B(X)=s

(iv). Daca X este un spatiu topologic numarabil generat, adica X are o baza de topologie numarabila , O, atunci B(X)=s O

Demonstratie. (i). O multime inchisa este complementara unei deschise, deci evident este boreliana. Deci s Ì B(X). Reciproc, orice deschisa este complementara unei inchise de unde si incluziunea inversa.

(ii). In spatii separate orice multime compacta este inchisa.

(iii). Fie (Kn)n un sir de compacte ca X=Kn. Fie FÌX o inchisa. Atunci putem scrie F=(FKn) deci orice inchisa este o reuniune de compacte (se stie ca F inchisa, K compacta ÞKF este compacta caci daca (Gt)tIT este o acoperire cu deschise a lui KF, adaugind la aceasta si deschisul G=Fc obtinem o acoperire cu deschise a lui K din care extragem una finita) adica orice inchisa este in s-algebra generata de compacte , de unde rezulta ca s-algebra generata de inchise (adica B(X)) este de asemenea inclusa in s-algebra generata de compacte , Incluziunea reciproca este evidenta.

(iv). Fie o o baza numarabila de topologie pentru t. Atunci t o S os (deoarece o este numarabila) deci t Ì s o Þ B(X)=s t Ì s s o s o). Incluziunea cealalta este evidenta.

In cazul particular in care (X,t A,Top(A)) , adica dreapta reala cu topologia canonica obtinem

Propozitia 9. Fie urmatoarele familii de multimi pe dreapta :

m = È ;

m È ;

m È ;

m È

m È ;

m È ;

m

m

m

m

m

m

m

m = . Aunci

(i).Toate aceste familii de multimi genereraza pe b A) , adica s mj )= b A £j£14. In plus, daca j este par, mj sint numarabile.

(ii). Toate aceste familii de multimi sint stabile la intersectii finite: (mj)d= mj £j£

(iii). (m Èm È m )s , (m Èm È m )s , (m Èm È m )s si (m Èm È m )s sint algebre.

Demonstratie.(i). Toate afirmatiile sint mai mult sau mai putin imediate sau consecinte simple ale Propozitiei 8. Cum este evident ca b A s m2j-1 s m2j £j£7 rezulta ca va fi suficient de demonstrat ca b A Ì s m2j £j£7. Pentru j=1 incluziunea este o consecinta a Propozitiei 8(iv) : m este baza numarabila pentru topologia de pe dreapta. Scriind (a,b)=Èn³ (a,b-1/n] rezulta ca orice interval deschis este in s m ) deci b A Ì s m ). Din egalitatea (a,b)=Èn³ [a+1/n,b) rezulta b A Ì s m ). Scriind [a,b) = (-¥,b)-(-¥,a) =[a,¥)-[b,¥) rezulta ca m Ì s m s m ) deci s m Ì s m s m ) iar cum (a,b] = (-¥,b]-(-¥,a] =(a,¥)-(b,¥) rezulta ca m Ì s m s m ) deci s m Ì s m s m

(ii). Evident. (iii). O multime din (m Èm È m )s   este o reuniune finita de intervale marginite de tipul (a,b] si eventual de intervale nemarginite de tip (-¥,a] sau (b,¥). Complementara unei asemena multimi este de acela;i tip.


 [z1]



loading...




Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


Formularea matriciala a metodei deplasarilor
Modele statice si modele dinamice
Formule de calcul aproximativ al integralelor definite - Formule de calcul aproximativ al integralelor definite
LIMITA SI CONTINUITATE
Planul tangent si normala intr-un punct al unei suprafete
Paraboloidul eliptic
Metode directe de solutionare a sistemelor de ecuatii liniare (II)
Compunerea functiilor
Derivarea numerica utilizand polinomul Newton de aproximare
Rezolvarea sistemelor de ecuatii neliniare



loading...