Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
FUNCTIA EXPONENTIALA


FUNCTIA EXPONENTIALA




FUNCTIA EXPONENTIALA

Definitie: se numeste functie exponentiala;

0 < a < 1 y a > 1 y

1 1




x x x x

y y

Proprietati:

1. ax > 0 ;

2. 0 < a <1 functia este monotona strict descrescatoare ax1< ax2 x1 < x2;

a>1 functia este monotona strict crescatoare ax1< ax2 x1 > x2;

3. functia este bijectiva ax1= ax2 x1 = x2;

Fie a > 0, b > 0,

4. 8.

5. 9.

6. 10.

7.a0=1 11. n2, nN.

12.Functia exponentiala este functie continua pe R;

13.Functia exponentiala este functie derivabila pe R;

14.Functia exponentiala admite primitive

C

15.y=ax

Functia exponentiala este inversabila; inversa se numeste functia logaritmica.

Definitie: A=ax, A>0, a>0, a1.

FUNCTIA LOGARITMICA

Definitie: , a>0, a1, se numeste functie logaritmica.

y y

0<a<1 a>1

x 1 x x 1 x

y y

1)

x 0 1 + x 0 1 +

+ + + + 0 - - - - - - - - 0 + + + +

2) 0 < a < 1 functia este strict descrescatoare < x1 > x2

a > 1 functia este strict crescatoare <x1 < x2

3) Functia este bijectiva =x1 = x2

4)

Fie A si B doua numere pozitive

5) + 10) =

6) - 11) b>0, b1;

7) - 12) =

8) 13) =

9) 14)

15)Functia logaritmica este functie continua pe domeniul de definitie

16)Functia logaritmica este functie derivabila

17)Functia logaritmica admite primitive

18)Functia logaritmica este inversabila si inversa sa este functia exponentiala;

ECUATII EXPONENTIALE SI ECUATII LOGARITMICE

I Ecuatia exponentiala este ecuatia in care necunoscuta este la exponent sau o ecuatie care este exponent o expresie care contine necunoscuta.

1)Ecuatii de forma cand b se poate exprima ca putere a lui a:

are solutia x;

2)Ecuatii de forma cand b nu se poate exprima ca putere a lui a:

2x=3  lg 2x=lg 3  x lg2 = lg 3 solutia este

3)Ecuatii exponentiale in care facand substitutii, obtinem ecuatii cunoscute de grad I sau II sau etc.

a)    4x + 2x = 272; notam 2x = y; y > 0;  y2 + y - 272 = 0; cu y1=16; y2 = - 17; cum y > 0 deci 2x = 16  2x = 24  x = 4;




b)    C.E. x2 - 25  0; ; notam ; t > 0; ecuatia devine t2 - 6t + 8 = 0; t1 = 4,t2 = 2;

Deci

Deci C.E.x

X2-5=x2-4x+4; x=9/4 , deci este solutie.

x=3 este solutie

Solutia ecuatiei este

c) C.E -10 x0

Notam 5x=t > 0 ecuatia devine t  1  t1=3 si t2=5/4

Revenind la notatii avem 5x=3 

5x=5/4  sau

4)Exercitii propuse:

Sa se rezolve ecuatiile:

1.     4x - 2 x+1 - 3 = 0;

2.     2x+1 + 2x + 2x-1 = 14;

3.     4x + 2x+1 = 80;

4.     3  4x + 2  9x = 5  6x;

5.     24x  2= 1 / 16;

6.     21+x + 21+2x = 4;

II Ecuatiile logaritmice sunt ecuatiile in care expresiile ce contin necunoscuta apar la baza sau ca argument al unor logaritmi.

a) C.E.

Exemplu:C.E.

x=2 este solutia ecuatiei date pentru care sunt indeplinite conditiile de existenta

b)  (x)=g(x) cu C.E.

Exemplu:

C.E.

Tinand seama de injectivitatea functiei logaritmice ecuatia data devine:

3x2 - 5x - 3 = 4x - 3 3x2 - 9x = 0  x1=0 x2=3.Unica solutie a ecuatiei este

x=3

c)ecuatii care in baza proprietatilor logaritmilor se ajunge la ecuatii de forma precedenta;

Exemplu:

C.Ex>1. prin urmare . Egalitatea nu are sens  ecuatia data nu are solutie.

d)ecuatii logaritmice care facand substitutii se ajunge la ecuatii

algebrice de grad intai,doi,etc.

Exemplu: C.E.x > 0;Observam

Notam si ecuatia devine 4t2 - 7t = 0t1=0 si t2=7/4

}i din x=1 / 5 respectiv x=

Exercitii propuse:

Sa se rezolve ecuatiile:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

INECUATII LOGARITMICE SI EXPONENTIALE

Rezolvarea unor astfel de inecuatii se bazeaza pe proprietatile de monotonie ale functiilor exponentiale si logaritmice

1) 22x - 5  2x + 4  0;Notam 2x = y y2 - 5y + 4 0  y1,4 1  y  4 

20  2x  22  0  x  2  x0,2

2)

C.E. x2+2x <1

Deci

3) C.E.x>0

Scriem

Notamecuatia devine 1  x  9 solutia inecuatiei date.

Exercitii propuse:

Sa se rezolve inecuatiile

1.    

2.    

3.    

4.    

5.    

6.    







Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


Probleme propuse pentru Olimpiada de matematica - Clasa a VIII-a
Functii spline
Definitii, exemple. Legatura cu H
REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI
Concursul rezolvitorilor
Reprezentari analitice ale curbelor in spatiu
Metoda aproximatiilor succesive
Ecuatia
Functii convexe, concave
Radacina patrata