Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme

Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
» FUNCTIA DE GRADUL AL DOILEA


FUNCTIA DE GRADUL AL DOILEA



FUNCTIA DE GRADUL AL DOILEA

             Definitie : Functia  definita prin formula  cu a,b,c numere  reale si  se numeste functie de gradul al doilea . 

Forma canonica a functiei f este :  =  unde s-a notat cu  numit discriminantul ecuatiei atasata ; ,  , numita ecuatie de gradul al doilea .

Forma generala a radacinilor ecuatiei de gradul al doilea este  .

Natura radacinilor este data de discriminantul dupa cum urmeaza :

cu  , radacini reale distincte ;

 cu  , radacini reale egale ;

 , ecuatia are radacini complexe conjugate .

Graficul functiei este o parabola si anume :

minimul functiei  pentru parabola convexa ;

maximul functiei pentru parabola concava;

I                                   y      

                                            y                                                            V     

                                     C                                   

            a>0                                               

                                                     x                                                  x

                                                                    

                                      y’     V                                

            x                                                                                                       

                  semnul lui a     0 semn contrar  lui a  0     semnul lui a        

II   cu         coincide cu                 

                                           y                                                      y

                                                                                             x’          V               x

       a>0                                                         a<0

                           

                                        C

                                  x’                         x

                                             V                                                                         

                                    y’                                                             

                   x               -                                                                          +

                            semnul lui a                      0          semnul lui a

III  < 0   nu intersecteaza XX’    

                                        y                                                         y                       

                                                                                 x’                            x 

              a>0                                               a<0                                    

                                        C                                                              

                                              x                                    

 

              

                x                                                                                                              

                                                                            semnul lui a

Obs : Dreapta  esta axa de simetrie pentru parabola .

Tabelele de variatie indica intervalul pe care functia este strict crescatoare sau strict descrescatoare :                                           

                x                                                                                                   

   a>0                                                  

                                                               

                                          

                  x                                                                                             

                                                                  

                                                                               

Ecuatia de gradul al doilea cu radacinile cunoscute  este data de formula  unde  si  .

Relatiile lui Viette :                      Formule :            

                                                       

                                                                              

Semnul radacinilor de gradul al doilea se poate stabili in raport cu semnul lui P si S:

De exemplu :  }tim  cum P>0 radacinile au acelasi semn

                                                cum S>0 radacinile sunt ambele pozitive

Trinomul  descompunere in factor de gradul I  .

Exercitii rezolvate :

1.     Se da ecuatia : . Sa se determine valorile parametrului real m astfel incat radacinile ecuatiei sa fie reale si de acelasi semn .

       Rezolvare :    Deci

                           ce admite solutiile  

2.     Sa se rezolve sistemul de inecuatii :

Rezolvare : Se expliciteaza modulul dupa    

 sau cu tabelul de semn pentru expresia din modul :

               x                               1                            3                            

                   + + +          0          - - -            0            + + +                       

   Discutie :   I  Cazul :   sistemul devine      

                                                  

       x                      -5               1                          5                   

           + + +     + + +     0        - - -       - - -       0            + + +            + + +          

               + + +  0  - - -              - - -            - - -                - - -          0      + + + 

   

                 II Cazul :  sistemul devine :    

    Reunind obinem solutia :  .

3. Sa se determine functia de gradul II f  astfel ca graficul ei sa aiba varful in V(1,2) si sa taie axa OY in B(0,2) .

Rezolvare :     deci sistemul liniar  ce admite solutia unica 

a = - 5 , b = 10 , c = - 3 . Rezulta

4. Se considera functia de gradul al doilea  unde . Sa se determine valorile lui m pentru care f(x)<1 .

Indicatii : f(x)<1

 

5. Se da ecuatia : . a)Sa se arate ca radacinile ecuatiei sunt reale oricare ar fi parametrul real m ; b) Sa se determine parametrul real  astfel incat radacinile  ale ecuatiei sa verifice conditia :.

Rezolvare : a)  de unde rezulta ca ecuatia are radacini reale . 

                   b) avem  cum   ;

        conditia   adica 5-m<0 deci ;

        Exercitii  propuse:

1.     Se da ecuatia

a)    Sa se rezolve ecuatia pentru m=1;

b)    Sa se afle valorile lui m pentru care ecuatia are radacini reale .

2.     Fie familia de functii de gradul al doilea  . Sa se           

      determine  astfel incat varful parabolelor asociate sa se gaseasca pe   

      dreapta .

3.     Fie familia de functii de gradul al doilea

a)    sa se determine m astfel incat radacinile ale ecuatiei  sa verifice relatia ;

b)    sa se determine m astfel incat  ambele radacini sa fie mici decat 1.

4.     Fie ecuatia : .Sa se precizeze valorile parametrului real m pentru care ecuatia data admite radacini reale distincte :

a)     ;                 c) m=0 ;

b)     ;               d) m>0 .

5.     Sa se determine valorile parametrului  astfel incat ecuatia :  sa aiba ambele radacini in intervalul  .



Matematica


Statistica

ELEMENTE DE TEORIA MULTIMILOR
Functia putere cu exponent numar intreg negativ
Numere Complexe
Reprezentari analitice ale suprafetelor
REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI
Baze formate din vectori proprii. Functii de matrice de structura simpla
Modele statice si modele dinamice
Fisa de lucru - INMULTIREA SI IMPARTIREA
LINII IMPORTANTE IN TRIUNGHI
Eveniment. Frecventa. Probabilitate





















 
Copyright © 2014 - Toate drepturile rezervate