Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme

Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
FUNCTIA DE GRADUL AL DOILEA


FUNCTIA DE GRADUL AL DOILEA



FUNCTIA DE GRADUL AL DOILEA

Definitie : Functia definita prin formula cu a,b,c numere reale si se numeste functie de gradul al doilea .

Forma canonica a functiei f este : = unde s-a notat cu numit discriminantul ecuatiei atasata ; , , numita ecuatie de gradul al doilea .

Forma generala a radacinilor ecuatiei de gradul al doilea este .

Natura radacinilor este data de discriminantul dupa cum urmeaza :

cu , radacini reale distincte ;

cu , radacini reale egale ;

, ecuatia are radacini complexe conjugate .

Graficul functiei este o parabola si anume :

minimul functiei pentru parabola convexa ;

maximul functiei pentru parabola concava;

I y

y V

C

a>0

x x x x

y V y

x

semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a

II cu coincide cu

y y

x V x

a>0 a<0

C

x x

V

y y

x - +

semnul lui a 0 semnul lui a

III < 0 nu intersecteaza XX

y y

x x

a>0 a<0

C

x y x y

x

semnul lui a

Obs : Dreapta esta axa de simetrie pentru parabola .

Tabelele de variatie indica intervalul pe care functia este strict crescatoare sau strict descrescatoare :

x

a>0

x

Ecuatia de gradul al doilea cu radacinile cunoscute este data de formula unde si .

Relatiile lui Viette : Formule :

Semnul radacinilor de gradul al doilea se poate stabili in raport cu semnul lui P si S:

De exemplu : }tim cum P>0 radacinile au acelasi semn

cum S>0 radacinile sunt ambele pozitive

Trinomul descompunere in factor de gradul I .

Exercitii rezolvate :

1.     Se da ecuatia : . Sa se determine valorile parametrului real m astfel incat radacinile ecuatiei sa fie reale si de acelasi semn .

Rezolvare : Deci

ce admite solutiile

2.     Sa se rezolve sistemul de inecuatii :

Rezolvare : Se expliciteaza modulul dupa

sau cu tabelul de semn pentru expresia din modul :

x 1 3

+ + + 0 - - - 0 + + +

Discutie : I Cazul : sistemul devine

x -5 1 5

+ + + + + + 0 - - - - - - 0 + + + + + +

+ + + 0 - - - - - - - - - - - - 0 + + +

II Cazul : sistemul devine :

Reunind obinem solutia : .

3. Sa se determine functia de gradul II f astfel ca graficul ei sa aiba varful in V(1,2) si sa taie axa OY in B(0,2) .

Rezolvare : deci sistemul liniar ce admite solutia unica

a = - 5 , b = 10 , c = - 3 . Rezulta

4. Se considera functia de gradul al doilea unde . Sa se determine valorile lui m pentru care f(x)<1 .

Indicatii : f(x)<1

5. Se da ecuatia : . a)Sa se arate ca radacinile ecuatiei sunt reale oricare ar fi parametrul real m ; b) Sa se determine parametrul real astfel incat radacinile ale ecuatiei sa verifice conditia :.

Rezolvare : a) de unde rezulta ca ecuatia are radacini reale .

b) avem cum ;

conditia adica 5-m<0 deci ;

Exercitii propuse:

1.     Se da ecuatia

a)    Sa se rezolve ecuatia pentru m=1;

b)    Sa se afle valorile lui m pentru care ecuatia are radacini reale .

2.     Fie familia de functii de gradul al doilea . Sa se

determine astfel incat varful parabolelor asociate sa se gaseasca pe

dreapta .

3.     Fie familia de functii de gradul al doilea

a)    sa se determine m astfel incat radacinile ale ecuatiei sa verifice relatia ;

b)    sa se determine m astfel incat ambele radacini sa fie mici decat 1.

4.     Fie ecuatia : .Sa se precizeze valorile parametrului real m pentru care ecuatia data admite radacini reale distincte :

a)    ; c) m=0 ;

b)    ; d) m>0 .

5.     Sa se determine valorile parametrului astfel incat ecuatia : sa aiba ambele radacini in intervalul .



Matematica


Statistica

ELEMENTE DE TEORIA MULTIMILOR
Functia putere cu exponent numar intreg negativ
Numere Complexe
Reprezentari analitice ale suprafetelor
REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI
Baze formate din vectori proprii. Functii de matrice de structura simpla
Modele statice si modele dinamice
Fisa de lucru - INMULTIREA SI IMPARTIREA
LINII IMPORTANTE IN TRIUNGHI
Eveniment. Frecventa. Probabilitate

















 
Copyright © 2014 - Toate drepturile rezervate