ELEMENTE DE COMBINATORICA

ELEMENTE DE COMBINATORICA

Definitie:O multime impreuna cu o ordine bine determinata de dispunere a elementelor sale este o multime ordonata.

Fie A o multime (finita) cu n elemente

Permutari Definitie: numarul de multimi ordonate care se formeaza cu cele n elemente ale multimii A se numesc ,,permutari de n '' nN notate cu P_n.

()n1 P_n=n! unde n! =123 . . . .n

Observatie: 1!=1 si convenim 0!=1

Aranjamente de n elemente luate cate k sunt numarul de submultimi ordonate ale multimii de n elemente, fiecare avand cate k elemente;0kn, n,k numere naturale

=n(n-1)(n-2) . . . .(n-k+1)

Combinari de n elemente luate cate k sunt numarul de submultimi ale multimii de n elemente, fiecare avand cate k elemente; 0kn, n,k numere naturale.

Proprietati:

Formula combinarilor complementare: ,0kn

Formula de recurenta: cu 0kn

BINOMUL LUI NEWTON

Fie a si b numere (a+b)ⁿ= se nume]te formula binomului lui Newton

(a-b)ⁿ=

Coeficientii se numesc coeficienti binomiali.

Pentru ca coeficientii binomiali din dezvoltare egal departati de termenii extremi ai dezvoltarii sunt egali intre ei.

{n dezvoltarea (a+b)ⁿ termenul de rang k+1 notat T_k+1= iar in dezvoltarea (a-b)ⁿ avem T_k+1=

Se poate stabili si o relatie de recurenta intre termenii consecutivi ai dezvoltarii

Exercitii rezolvate:

1)Sa se afle nN daca

Rezolvare:C.E.

Ecuatia se scrie:  n²-25=0 deci n=5

C.E. xN x0

Ecuatia devine deducem dupa simplificarile de rigoare care conduce la solutia x=16

3)Sa se afle n daca

4)Solutia ecuatiei este a)16; b)17; c)18; d)19; e)20;

5)Sa se rezolve sistemul Rezolvare:Conditiile x,yN* ; y-30;

xy-2; xy-3; deci

Sistemul devineGasim solutia x=12

]i y=7

6)Sa se rezolve sistemul:

7)Precizati termenul din dezvoltarea:care il contine pe x⁴

a)b)c) d) e)

Rezolvare: T_k+1=

Din conditia k=3 si termenul T₃₊₁ deci T₄ = sau T₄=

Observatie: pentru ecuatia obtinuta in necunoscuta k se impunea conditia pentru k sa fie numar natural ]i k13.Deci raspunsul corect este e)

8)Sa se determine termenul din dezvoltarea binomului in care nu apare x.Rezolvare:nu apare x  apare x⁰ deci T_k+1=

deci unde kN si k 21.Rezulta k=6 si termenul cerut este T₇=

Exercitii propuse:

1)Sa se afle rangul termenului din dezvoltarea binomului care il contine pe x⁷.

2)Termenul care nu-l contine pe x din dezvoltareaeste:

a)-20; b)-10; c)10 d)20 e)15

3)Termenul din dezvoltarea binomiala care il contine pe y², este:

a)T₃ b)T₄ c)T₇

4)Sa se determine x ]tiind ca al treilea termen al dezvoltarii este egal cu 360.000

5)Diferenta dintre coeficientul binomial al celui de al treilea termen ]i coeficientul binomial al celui de al doilea termen al dezvoltarii este 27. Pentru ce valori ale lui x, termenul de rang doi este 900?

6)Se considera dezvoltarea

a)sa se determine n pentru care coeficientii termenilor 1,2,3 ai dezvoltarii, formeaza o progresie aritmetica;

b)pentru n=8 sa se gaseasca termenii dezvoltarii astfel incat puterea lui y sa fie numar natural.

7){n dezvoltarea , suma coeficientilor binomiali de rang par este egala cu 128.Sa se gaseasca termenul care il contine pe a³.