Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
ELEMENTE DE COMBINATORICA


ELEMENTE DE COMBINATORICA




ELEMENTE DE COMBINATORICA

Deseori suntem pusi in situatia de a evalua numarul unor grupari care se pot forma cu obiectele unei multimi date. Fie M o multime data, finita, cu elementele sale notate astfel: x1, x2, x3,, xn. O grupare cu k elemente ale multimii M este o succesiune de k elemente, 1kn, distincte sau nu. O grupare este caracterizata prin obiectele din care este formata si ordinea in care acestea sunt considerate. O grupare de trei elemente poate fi, de exemplu, urmatoarea:




(x5, x1, x12).

Doua grupari, de exemplu (x1, x2,, xp) si (y1, y2,, yq), sunt identice daca si numai daca p=q si xi = yi  pentru orice i = 1, 2, , p. In cazul in care cel putin una din aceste conditii nu este indeplinita atunci gruparile se numesc distincte.

1.     Permutari

Fie M o multime cu n elemente distincte, M = . Orice grupare cu n elemente distincte ale multimii M se numeste permutare asupra multimii M. Ca exemplu consideram multimea M cu elementele . Permutarile posibile ale elementelor acestei multimi sunt urmatoarele: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1). Gruparile cu trei elemente (2,1,2) sau (3,3,3) nu sunt permutari asupra multimii M deoarece elementele lor nu sunt distincte.

Numarul permutarilor asupra unei multimi cu n elemente distincte se noteaza cu Pn sau cu n! (se citeste 'n factorial') si este egal cu produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la n.

Asadar,

  Pn = n! = 1.2.3. .n      (1.1)

  Prin conventie se considera ca 0!=1.

  Una dintre cele mai utile proprietati legate de permutari este urmatoarea egalitate evidenta:

  Pn+1 = (n+1).Pn       (1.2)

2.     Aranjamente

Fie M o multime de n elemente distincte, n2. Gruparile cu k elemente distincte ale multimii M, 1kn, se numesc aranjamente de n obiecte luate cate k. Numarul total al acestora se noteaza cu Akn si este dat de furmula:

Akn = n.(n-1).(n-2) ..(n-k+1)   (1.3)

In formula (1.3) avem exact k factori. De exemplu, A410 = 10.9.8.7 = 5040. Daca consideram multimea M= numarul A25=5.4=20 reprezinta numarul de aranjamente de 5 obiecte luate cate 2, iar acestea sunt: (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (3,2), (4,2), (5,2), (4,3), (5,3), (5,4).

Cea mai utila formula legata de aranjamente este urmatoarea:

Akn = n!/(n-k)!  (1.4)

Se observa usor ca Ann= n!, datorita conventiei mentionate anterior. De asemenea avem ca A0n = 1, in virtutea formulei (1.4).

3.     Combinari

Atunci cand ne intereseaza grupari ale unui numar dat de obiecte in care ordinea obiectelor sa nu intereseze, spunem ca avem de-a face cu combinari ale acestora. Fie M o multime cu n elemente distincte. Combinarile de n obiecte luate cate k se noteaza cu Ckn. Numarul total al acestora este dat de formula:




Ckn = Akn / Pk = n! / [k!(n-k)!]  (1.5)

Luand acelasi exemplu de mai sus cu multimea M = , avem ca Ckn = 10, iar acestea sunt: (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5).

Cea mai importanta proprietate a combinarilor este cea legata de complementareitate si este exprimata prin formula:

Ckn = Cn-kn     (1.6)

  Se observa usor ca C0n = Cnn = 1.

4.     Binomul lui Newton

Se considera dezvoltarea binomiala cunoscuta sub numele de formula binomului lui Newton:

(ab)n = C0nanb0 C1nan-1b1 + C2nan-2b2 +

+(-1)kCknan-kbk + + (-1)nCnna0bn.   (1.7)

Coeficientii C0n, C1n, C2n, , Cnn din aceasta dezvoltare se numesc coeficienti binomiali. Termenul general al dezvoltarii este dat de formula:

Tk+1 = (-1)kCknan-kbk,  k=0,1,2,,n (1.8)







Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


Functia signum
Fourier
Functii marginite
Functii polinomiale
Functii inversabile
Formularea matriciala a metodei deplasarilor
Test la matematica limite
Gometrie analitica (clasa a XI-a)
Metoda aproximatiilor succesive
MULTIMEA NUMERELOR IRATIONALE