Distanta de la un punct la o dreapta

Distanta de la un punct la o dreapta

Fie punctul M (x_M ,y_M) si dreapta d de ecuatie

ax + by + c=0. Dupa cum se stie distanta de la punctul M la dreapta d este data de distanta de la punctul M la proiectia sa M pe d.( vezi figura). Presupunem, pentru a trata cazul general, ca a 0 , b 0, si panta dreptei d fiind . Conform celor de mai sus o perpendiculara pe ea va avea panta . Rezulta ca perpendiculara MM pe d va avea ecuatia y-y_M =(x-x_M), iar coordonatele (x ,y ) ale punctului M sunt date de solutiile sistemului ( pentru a determina coordonatele punctului de intersectie a doua drepte rezolvam sistemul format din ecuatiile dreptelor deoarece punctul de intersectie trebuie sa verifice ambele ecuatii, el fiind situat pe ambele drepte ). Rezolvand acest sistem gasim si atunci ordonata punctului M va fi . Distanta de la M la M fiind data de d(M,M )=, rezulta conform ultimei egalitati ca

d(M,M )= | x -x_M | .

Inlocuind in acest rezultat valoarea lui x obtinem , adica .

Aceasta este formula care da distanta de la un punct M la dreapta d.