Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
Centre de greutate


Centre de greutate




Centre de greutate

Definitie :

Dreapta determinata de un varf al unui tetraedru si centrul de greutate al fetei opuse acelui varf se numeste mediana a tetraedrului. Un tetraedru are patru mediane.

Teorema 19 :

Medianele unui tetraedru [ABCD] sunt concurente.

Demonstratie :




Medianele tetraedrului care pleaca din
D si A sunt secante in G, deoarece in ∆ ADM ,

(M mijlocul lui (BC)), GA I (DM), GD I (AM).,

iar AM si DM sunt mediane in triunghiurile [DBC] si [ABC],

iar GA si GD sunt centre de greutate ale acelorasi triunghiuri.

Deoarece T GAGD // DA.

Din asemanarea triunghiurilor [MGDGA] si [MDA] se deduce ca GAGD=1/3 AD.Medianele DGD si AGA fiind continute in planul (AMD) se intalnesc intr-un punct G. Rezulta ca triunghiurile [GGAGD] si [GAD] sunt asemenea, de unde AG=3GGA si DG=3 GGD, deci punctul G este situat pe fiecare mediana la din lungimea ei de la varf sau de la piciorul medianei.

La fel se arata ca medianele din B si C intersecteaza mediana din D la din DGD, adica trec tot prin G. Punctul G astfel determinat se numeste centrul de greutate al tetraedrului.

Definitie:

Planul care trece printr-o muchie a tetraedrului si prin mijlocul muchiei opuse se numeste plan median.

Teorema 20:

Cele sase plane mediane ale unui tetraedru sunt concurente.

Demonstratie:

Se tine seama de teorema 19 si rezulta ca planul median (ADM) trece prin G. Analog se arata ca toate planele mediane ale tetraedrului trec prin G.

Teorema 21:

Centrul de greutate G0 al unui sistem alcatuit din patru mase punctiforme egale, plasate in punctele necoplanare A,B,C,D coincide cu centrul de greutate G al tetraedrului [ABCD].

Demonstratie:

Punctele materiale B,C dau ca rezultanta un punct material M de masa dubla, plasat in mijlocul lui BC. Deci G0 se afla in planul (ABM). Analog se constata apartenenta lui G0 la celelalte plane mediane, deci G0 coincide cu punctul G.

Teorema 22:

Fie tetraedrul [ABCD] si punctele M I (AD) , N I (BD), P I (BD). Planul (MNP) trece prin centrul de greutate al tetraedrului G daca si numai daca : (*)

Demonstratie:

Fie K centrul de greutate al ∆ ABC.

Necesitatea : Daca (MNP) // (ABC) atunci :

si rezulta imediat formula enuntata (*).

Daca planul (MNP) taie planul (ABC)

dupa o dreapta d, fie E,F,H punctele in

care d taie dreptele GN,GP,GM.

Aplicand succesiv teorema lui Menelaus pentru triunghiurile [DAK],[DBK],[DCK] taiate de transversalele M,G,H, respectiv G,P,F si G,N,E se deduc relatiile (1), (2), si (3) .

∆ DAK si transversala M,G,H T , de unde .

Deci: (1);

∆ DBK si transversala G,P,F T , de unde T




(2);

DCK si transversala G,N,E. Rezulta : , de unde . Deci:

(3).

Adunand membru cu mebru egalitatile (1), (2) si (3) se obtine :

Dar,

Notam cu : Vom arata ca S1 =3.

Daca BC // d, atunci , unde L = AK ∩BC.

Daca BC taie d in I, din teorema lui Menelaus aplicata triunghiurilor [CLK] ,

BLK] taiate respectiv de transversalele H,E,T si F,H,T.

∆ CLK si transversala H,E,T:

de unde . Deci :

(4),

∆ BLK si transversala F,H,T:

, (5).

Adunand (4) si (5) obtinem:

. Dar BL=CL si TC+TB = TL+LC+TB = TL+(BL+TB) = 2TL.

Deci:

, de unde rezulta ca:

Suficienta: Fie R punctul in care DK taie planul (MNP) . Daca (MNP) // (ABC) se obtine :

.

Din se obtine: , dar, , de unde rezulta ca G = R.

Daca (MNP) taie (ABC) dupa o dreapta, pastrand notatiile de la prima parte a demonstratiei, cu singura modificare ca in loc de G apare R, se obtine relatia :

S-a demonstrat in prima parte (fara a tine seama de pozitia lui R pe DK) ca :

si deci se obtine acum: RD= 3RK si rezulta din nou R=G.

Ipoteza suplimentara din cadrul suficientei ca planul (MNP) nu este paralel medianei DK nu este restrictiva: in calculele de mai sus ar fi atras formal , deci S=S1, absurd.

Observatie: Teorema 22 poate fi considerata ca generalizare a urmatoarei probleme din plan.

Fie ∆ ABC, G centrul sau de greutate si

punctele M IAB, N IAC.

Dreapta MN trece prin G daca si numai daca :







Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


Functia radical de ordinul n
Ecuatii de recurenta liniara de ordinul intai
Functia arctangenta
Derivarea functiilor elementare
Probabilitati: definire, probabilitati conditionate, variabile aleatoare continue si discrete. Legea numerelor mari, teorema limita centrala, inegalit
MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - intrebari examen
Modele de subiecte ale unui test PISA-matematica
INEGALITATI SI INDUCTIA MATEMATICA
Lucrare scrisa la matematica clasa a V-a semestrul I numarul 1
FUNCTIA EXPONENTIALA