Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
» Colinearitate, concurenta, paralelism calcul vectorial in geometria plana


Colinearitate, concurenta, paralelism calcul vectorial in geometria plana




COLINEARITATE, CONCURENTA, PARALELISM

CALCUL VECTORIAL IN GEOMETRIA PLANA

In planul P consideram sistemul cartezian xOy in care  este versorul axei Ox, iar este versorul axei Oy. (, ) se numeste baza ortonormata.



Definitie

Fie in planul P reperul (O, , ) si MIP.

Vectorul se numeste vector legat  de punctul O sau vector de pozitie al punctului M.

Notam .

Observam ca fiecarui punct MIP ii asociem vectorul sau de pozitie .

Daca M(x, y), atunci , adica coordonatele punctului M sunt coordonatele vectorului de pozitie .    ().

Notam vO, multimea vectorilor legati de punctul O.

1.1 Egalitatea a doi vectori legati (de pozitie)

  Daca  si , atunci spunem ca

Operatii cu vectori de pozitie

1.2Adunarea vectorilor de pozitie

Fie vectorii de pozitie ai punctelor A si B. este vectorul care are drept coordonate (xA+xB, yA+yB)  (adunarea vectorilor se face pe componente).

Exemplu: Fie . Atunci .

1.3.Inmultirea cu un scalar a unui vector de pozitie.

Fie  si

este prin definitie vectorul avand coordonatele ().

1.4. Coordonatele unui vector din plan

Fie  un vector din plan

(fig. 11)

 
, deci

Prin urmare, daca A(xA, yA); B(xB, yB)

Atunci , deci

 


                                                , sau folosind exprimarile analitice

;        

 


Modulele (normele) vectorilor  , vor fi:

;        ;       

Observatie                   Daca , atunci

1.5. Conditia de colinearitate a doi vectori de pozitie
Teorema 4

Vectorii  sunt colineari daca si numai daca au coordonatele proportionale, adica

Demonstratie

;        

 si  sunt colineari daca si numai daca exista  astfel incat  ceea ce implica , iar din faptul ca  este baza, rezulta   si  sau , daca .

Daca xB=0, atunci xA=0; la fel din yB=0 rezulta yA=0.

1.6. Conditia de colinearitate a trei puncte

Teorema 5

Fie punctele , ,

Punctele A, B, C sunt colineare, daca si numai daca

, daca  si

Demonstratie

Intr’adevar A, B, C sunt colineare daca si numai daca vectorii  si  sunt colineari deci daca si numai daca exista  astfel incat

 

 si

, cu conditia  ca   si

Daca , atunci si , la fel daca , atunci si

1.7.Conditia de paralelism a doua drepte

Fie , , ,

Vom stabili conditia ca dreptele AB si CD sa fie paralele.

Dreptele respective sunt paralele daca si numai daca vectorii  si  sunt coliniari 

 si  

, cu conditia ca   si .

Daca  atunci  si daca , atunci

2.1. Vectorul de pozitie al punctului care imparte un segment dat intr-un raport dat

Fie in plan punctele date A, B avand vectorii de pozitie  si punctul MI(AB) a.i. . Avem urmatoarea





Teorema 6

 


                                              

                                                                                                            Fig 12

Demonstratia rezulta direct din Teorema 2. Daca A (xA, yA); B (xB, yB) iar M(xM, yM) atunci din relatia de mai sus rezulta

           

Observatie

Daca M este mijlocul segmentului [AB], atunci  si  .

Ca o prima aplicatie a notiunilor prezentate, vom demonstra teorema lui Thalos.

                        2.2.Teorema lui Thales

                        (Teorema directa)   

O paralela la un din laturile unui triunghi determina pe celelalte doua laturi ale triunghiului segmente proportionale.

Demonstratie

Presupunem ca MN||BC  (MI(AB); NI(AC)).

Rezulta  si  sunt coliniari, deci exista  astfel incat .

Sa presupunem ca  si .

Atunci , deci , respectiv

Egalitatea vectoriala , devine  sau  sau  sau

Tinand cont de faptul ca vectorii  constituie baza rezulta  deci , deci kl+k=kl+l deci k=l

           

Teorema reciproca

Daca pe laturile AB si AC ale triunghiului ABC consideram punctele M, N a.i. , atunci MN | | BC.

Demonstratie

Notam . Rezulta , deci  si  .

 Din  deducem ca vectorii  si  sunt colineari, deci dreptele MN si BC sunt paralele.

1.1.                        In continuare vom determina vectorul de pozitie al centrulii de greutate al unui triunghi

Stim ca daca G este centrul de greutate al triunghiului ABC, atunci si pentru orice punct M din planul triunghiului,  (vezi problema rezolvata)

Daca M este O (originea reperului cartezian xoy), atunci  sau .

Prin urmare, vectorul de pozitie  al centrului de greutate al triunghiuli ABC este

 


3.2. Concurenta medianelor unui triunghi

Fie triunghiului ABC, G centrul sau de greutate si AA’ mediana din A.

Vom demonstra cu ajutorul vectorilor de pozitie ca punctele A, G, A’ sunt colineare. Trebuie demonstrat ca  a.i  sau   sau  sau . Observam .

Am vazut in problema rezolvata 2 ca daca I este centrul cercului inscris in triunghiul ABC, atunci pentru orice punct M din planul triunghiului avem egalitate vectoriala  , unde a, b, c sunt lungimile laturilor triunghiului.

 Punem  (originea reperului) si obtinem

 sau folosind vectori de pozitie

Text Box:

3.3

si am obtinut expresia vectorului de pozitie al centrului cercului inscris in triunghiul ABC.

De asemenea, in problema rezolvata 3) am vazut ca daca O, H sunt centrul cercului circumscris, respectiv ortocentrul triunghiului ABC atunci .

Text Box:  3.4. Daca vom considera O chiar originea reperului, cu ajutorul vectorilor de pozitie egalitatea anterioara se scrie:           

si am obtinut expresia vectorului de pozitie al ortocentrului unui triunghi (cand originea reperului este chiar O).

Daca originea reperului este un punct notat M atunci

Aceasta egalitate scrisa cu ajutorul vectorilor de pozitie devine:  sau

 sau

 sau

 sau

Text Box:                                                                         

, expresia vectorului de pozitie al ortocentrului unui triunghi intr-un reper cu originea definita de centrul cercului circumscris.

In finalul acestui capitol vom prezenta demonstratii vectoriale, pentru doua teoreme importante de  geometrie plana: Teorema lui Menelaos si Teorema lui Ceva.

4.1. Teorema lui Menelaos

Fie M, N, P trei puncte situate pe laturile AB, BC  respectiv AC ale triunghiului ABC, diferite de varfurile triunghiului. Atunci punctele M, N, P sunt colineare daca si numai daca

Demonstratie

Notam

Conditia de colinearitate pentru punctele M, N, P,  este echivalenta cu conditia de colinearitate pentru vectorii  si .

Din

Din

De asemenea, rezulta

Din

      

Intrucat vectorii  constituie o baza din , deducem:

Conditia de colinearitate pentru punctele M, N, P  este, prin urmare, echivalenta cu relatia obtinuta prin eliminare numarului real  intre cele doua egalitati.

Din prima egalitate care intodusa in  a doua egalitate , conduce la:




       4.2 Teorema lui Ceva

Fie M, N, P trei puncte situate pe laturile AB, BC, respectiv AC ale triunghiului ABC, diferite de varfurile triunghiului. Dreptele AN, BP, CM sunt concurente daca si numai daca

Demonstratie

Notam .

Fie

Aplicand teorema lui Menelaos pentru triunghiul ABN si dreapta CM, obtinem

()

Aplicand teorema lui Menelaos in triunghiul ANC si dreapta BP, obtinem:

Concurenta dreptelor AN, BP, CM  este echivalenta cu faptul ca punctele D si E coincid, deci cu faptul ca

4.3. Probleme propuse

1) Se dau punctele A(2,2); B(-3,-1); C(3,-2)

a)      Daca I este mijlocul segmentului [AB] sa se determine componentele vectorului  in baza .

b)      Punctele M, N I AB sunt a.i.  si .

Aratati ca  si  .

c)Punctul GICI a.i. .

Sa se arate ca .

2) Fie vectorii . Determinati coordonatele vectorilor     

3) Fie vectorii  . Exprimati coordonatele vectorilor  in baza .

4) Fie paralelogramul ABCD, iar O centrul sau. Determinati coordonatele vectorilor  in reperul  unde P, Q, R, S sunt mijloacele laturilor [AB], [BC], [CD], [DA].

5) Demonstrati ca simetricele ortocentrului unui triunghi in raport cu mijloacele laturilor triunghiului se afla pe cercul circumscris triunghiului, diametral opus varfurilor acestuia.

6) Fie ABC un triunghi si MI(AB), NI(AC). Demonstrati ca dreapta MN trece prin centrul de greutate al triunghiului daca si numai daca .

7) Sa se determine , a.i. vectorii  si  sa fie colineari.

8) Fie vectorii  ,  si punctul A(1,2).

a)      Precizati coordonatele punctelor B si C pentru care  si .

b)      Calculati norma vectorului .

9) Fie punctele A(a,0) si B(0,b), unde a,bI(0,∞). Pe segmentul (AB) si considera punctul M a.i. .

Exprimati coordonatele vectorilor in reperul  si deduceti relatia: OM2∙AB2=OA2∙BM2+OB2∙AM2.

10) Fie ABCD un patrulater convex inscris in cercul de centru O. Notam HA, HB, HC, HD ortocentrele triunghiurilor BCD, CDA, DAB, ABC. Demonstrati ca patrulaterele ACHAHC si BDHBHD sunt paralelograme.

Solutii probleme propuse – 2.7

1)

Fie M, N mijloacele segmentelor [AB], [CD]. Rezulta OM ^ AB si ON ^ CD , adica patrulaterul OMPN este dreptunghi.

………………………………….

4) Din teorema bisectoarei

Conditia necesara si suficienta ca triunghiurile ABC si A1B1C1 sa aiba acelasi centru de greutate este

8) Notam  , E mijlocul diagonalei AC, F mijlocul diagonalei BD, G mijlocul segmentului [EF].

Punctele E, F sunt fixe, deci si G este fix. Vectorul  trece prin punctul fix G.

……………………..

12)

Reciproc daca triunghiul este echilateral, atunci

……………………………………….

Solutii probleme propuse2.10

Solutii probleme propuse4.3

Din cele doua rezulta

Coordonatele lui  in baza

5) Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC, H ortocentrul sau, D mijlocul segmentului [BC] iar A’ simetricul lui H fata de D.

Consideram un reper cu originea in O si

Tinand cont ca A’ este simetricul lui H fata de , gasim imediat ca

 ceea ce justifica faptul ca punctul A’ se afla pe cercul circumscris triunghiului ABC in pozitie diametral opusa fata de A.

Punctele M, G, N sunt coliniare Ϋ vectorii  sunt coliniari Ϋ (I) a I R a.i.

7) -a -2 =  si apoi se determina a.

Rezulta: xB – 1 = 4 ; yB – 2 = 3 ; xC – xB = 5 ; yC – yB = -12 ;

XB = 5 ; yB = 5 ; xC = 10 ; yC = -7.

Relatia se verifica imediat printr-un calcul direct.

10) O este centrul cercului circumscris patrulaterului. Folosid relatia lui Sylvester, putem scrie:

Observam ca  ceea ce justifica faptul ca patrulaterul cu varfurile in HA, HC, C, A este paralelogram.

Analog pentru celalalt paralelogram.






Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


Functia exponentiala
Dualitatea in programarea liniara
Graficul unei functii
Logica Predicatelor
Surjectivitatea unei functii
Probleme propuse pentru Olimpiada de matematica - Clasa a VIII-a
Intersectia unei prisme cu o drepta
ELEMENTE TRIGONOMETRICE
Metoda aproximatiilor succesive
TRANSFORMATA WAVELET