Teoria generala undelor

TEORIA GENERALA     UNDELOR

1. INTRODUCERE

Unda reprezinta propagarea in spatiu a unei perturbatii variabile in timp. Marimea perturbata variaza liniar in raport cu coordonatele spatiale si cu timpul si, in consecinta, ea poate fi redata printr-o functie , nu­mita functie de unda.

Existenta unei unde va implica doua elemente care ii conditioneaza com­­portarea:

- o sursa care produce perturbatia initiala si

- un mediu in care perturbatia se propaga din aproape in aproape cu o viteza finita.

Undele pot fi clasificate in mai multe moduri, dupa diferite criterii.

a.) Dupa natura perturbatiei, distingem:

- unde elastice generate de perturbatii (deformari) mecanice, care se propaga intr-un mediu elastic;

- unde electromagnetice produse de perturbatii electromagnetice si care se pro­paga in medii substantiale sau in vid;

- unde magnetohidrodinamice formate din propagarea simultana si intercon­ditionata a unor perturbatii elastice si electromagnetice;

- unde termice, generate de propagarea unor perturbatii termice;

- unde de Broglie, care descriu comportarea microparticulelor in miscare.

b.) Dupa cum functia de unda Y este scalar, vector sau tensor, undele pot fi clasificate in unde: scalare, vectoriale si tensoriale.

La randul lor, undele vectoriale pot fi impartite in unde longitudi­nale pentru care directia de propagare a undei coincide cu directia marimii per­turbate, si unde transversale, la care directia marimii perturbate este perpen­diculara pe directia de propagare.

Mediile - care conditioneaza anumite particularitati ale propagarii undelor, pot fi impartite in:

-  medii omogene (respectiv neomogene), mediile pentru care marimile carac­te­ristice undei prezinta, pe toata intinderea lor, valori independente (res­pec­tiv depen­den­te) de pozitie;

-  medii izotrope, la care, in orice punct, marimile caracteristice undelor nu depind de directie, respectiv anizotrope, pentru care marimile caracte­ris­tice depind de directia de masurare;

-  medii liniare (respectiv neliniare) - intr-un mediu liniar in care ajung simultan mai multe unde, caracterizate prin functiile de unda , perturbatia globala este data de o relatie de suprapunere:

,

iar daca aceasta conditie nu este satisfacuta, mediul este neliniar;

-  medii dispersive (respectiv nedispersive) - in mediile dispersive viteza de propa­gare a perturbatiei depinde de caracteristicile undei, in timp ce in mediile nedis­persive este constanta;

-  medii conservative (respectiv neconservative sau disipative), mediile in care propa­garea undei se face fara (respectiv, cu) generare de entropie.

Un mediu vom spune ca este ideal, daca el reuneste proprietatile de omogenitate, izotropie, liniaritate, fiind conservativ, nedispersiv si lipsit de fenomene de histerezis

2. ECUATIA DE PROPAGARE A UNDELOR

Fie un mediu ideal in care se propaga mici perturbatii produse de o sursa. Datorita faptului ca mediul este ideal, diversele unde care iau nastere se comporta la fel, iar ecuatia diferentiala de propagare are aceeasi forma.

Studiile efectuate in diferite cazuri au condus la urmatoarea ecuatie diferentiala cu derivate partiale, numita ecuatia de propagare a undelor:

,

unde v este o constanta ce are dimensiunile unei viteze, valoarea sa depin­zand de caracteristicile mediului si ale undei.

Utilizand operatorul lui Laplace,

,

ecuatia de propagare a undelor capata forma

,

iar aplicand operatorul lui d Alembert

,

vom obtine

.

3. UNDA PLANA. UNDA ARMONICA PLANA

UNDA PLANA

Consideram ca functia de unda Y are aceeasi valoare in orice punct al planului yOz si atunci

,

deci , iar o unda pentru care este indeplinita aceasta conditie se numeste unda plana.

In acest caz, ecuatia undelor devine

.

O solutie a acestei ecuatii diferentiale este o functie arbitrara care depinde de x si t numai prin intermediul unei combinatii liniare si omogene a acestor variabile, astfel

,

unde f si g sunt functii arbitrare.

Solutia reprezinta o unda progresiva, iar pentru a explica acest fapt trebuie urmarit modul in care variaza x si t atunci cand diferenta este constanta. Daca t creste, va trebui sa creasca si x , pentru ca sa ramana constanta, adica perturbatia se deplaseaza in sensul cres­terii lui x .

Daca perturbatia se propaga in sensul descresterii lui x , atunci avem o unda regresiva, iar forma sa generala este .

Cum, in practica, cazul cel mai frecvent intalnit este cel al undelor progresive, solutia ecuatiei undelor se reduce la solutia particulara .

UNDA ARMONICA PLANA

Daca perturbatia din sursa variaza cu timpul ca un oscilator armonic si daca mediul este ideal, atunci o solutie particulara a ecuatiei de propagare a undelor - care reprezinta unda armonica plana, este de forma

,

unde si sunt constante.

De asemenea, o alta solutie particulara care sa reprezinte unda armo­nica plana poate fi aleasa de forma

.

O combinatie liniara a acestor solutii particulare este tot o solutie a ecuatiei undelor, iar considerand expresia

,

obtinem functia

,

care va fi solutia generala pentru unda armonica plana.

Observatie

In general, o perturbatie, oricat de complicata ar fi, poate fi repre­zen­tata prin intermediul integralei Fourier ca o suma de perturbatii elementare, de forma , astfel ca

,

unde N este un factor de normare.

4. MARIMI CARACTERISTICE UNDEI PLANE

Pornind de la expresia functiei de unda

,

sa definim marimile care apar aici si sunt caracteristice oricarei unde armo­nice plane:

a.) faza undei este definita ca argumentul functiei, adica

;

b.) faza initiala , obtinuta pentru si , este

;

c.) suprafata de unda (sau suprafata echifaza) este suprafata pentru care faza are o aceeasi valoare la un moment dat.

Suprafata de unda a unei unde plane este un plan perpendicular pe directia de propagare - axa Ox , versorul direc­tiei de deplasare a planelor echi­­faza fiind notat .

d.) viteza de faza v este viteza cu care se deplaseaza suprafata de unda pe direc­tia normalei la respectiva suprafata.

Vom considera o suprafata de unda caracterizata printr-o anumita valoare a fazei

Dife­rentiind aceasta relatie, avem

,

din care obtinem

.

Planele echifaza se deplaseaza in sensul valorilor crescatoare ale mari­mii x . Viteza de propagare a suprafetei de unda este egala cu viteza de pro­pa­gare a undei.

Doua puncte de pe directia de deplasare a undei, avand coordonatele si , sunt in concordanta de faza daca fazele undei in aceste puncte difera prin , unde , deci

,

iar cele doua puncte vor fi in opozitie de faza daca fazele in aceste puncte difera prin , cu , adica

.

e.) pulsatia w este o marime constanta, care exprima viteza de varia­tie a fazei

;

f.) vectorul de unda are modulul definit prin relatia

.

Cum versorul este normal pe suprafata echifaza, orientarea vec­to­rului de unda coincide cu cea a propagarii suprafetelor de unda,

.

g.) intensitatea undei I, prin definitie, este produsul dintre functia de unda Y si complex conju­gata sa ,

;

h.) perioada T este marimea care indica periodicitatea functiei de unda in raport cu variabila timp,

,

din care se obtine

,  deci  .

i.) frecventa n este marimea inversa perioadei,

;

j.) lungimea de unda l reprezinta distanta parcursa de suprafata de unda in timp de o perioada.

Impunand conditia ca functia de unda sa fie periodica in raport cu variabila x , obtinem

,

din care

.

In cazul undei armonice plane care se propaga intr-un mediu ideal, intensitatea si amplitudinea sunt constante. Cand forma suprafetei de unda nu mai este plana sau mediul nu este ideal, aceste marimi nu sunt constante.

Folosind expresia vectorului de unda, functia de unda se va scrie

,

iar partea reala a functiei complexe este

.

In cazul in care propagarea undei se face arbitrar fata de un sistem de coordonate Oxyz, cu

si cum

,

solutia generala a ecuatiei diferentiale de propagare a undelor se va scrie sub forma

.

5. UNDa SFERICa, UNDa CILINDRICa

UNDa SFERICA

Undele provenind de la o sursa punctiforma, care se propaga intr‑un mediu ideal vor avea suprafetele de unda sferice si vor purta denumirea de unde sferice.

Utilizand un sistem de coordonate sferice cu originea in sursa, putem scrie , iar ecuatia de propagare a undelor in cazul simetriei sfe­rice va fi

.

Alegand originea in sursa (), functia de unda nu va depinde de variabilele si , trecerea de la o sfera la alta realizandu‑se prin variatia lui r sau a lui t , incat ecuatia se reduce la

,

dar cum

,

ecuatia devine

.

Efectuand schimbarea de variabila , ecuatia se va scrie

.

Prin urmare, se obtine o ecuatie identica cu cea a undei plane, a carei solutie este

,

cu , de unde

.

Termenul reprezinta unda progresiva (sau directa), iar ter­menul este unda regresiva (sau inversa).

Daca ne vom limita doar la unda armonica progresiva, forma solutiei va fi

sau

.

Intrucat originea este in sursa, vectorii si sunt coliniari in fiecare punct.

Notand , amplitudinea undei sferice, aceasta va depinde de dis­tanta dintre punctul P, punctul in care se observa perturbatia produsa, si punctul O in care este plasata sursa undelor.

Cand distanta este mult mai mare decat dimensiunile domeniului D din jurul punctului P, raportul poate fi considerat constant, ceea ce duce la o valoare constanta a amplitudinii A.

UNDa CILINDRICA

In cazul unor surse liniare, problema prezinta simetrie cilindrica, iar in studiul ei vor fi utilizate deci coordonatele cilindrice . Undele emise de o astfel de sursa poarta numele de unde cilindrice (), iar functia de unda este data de relatia

sau

,

    fiind amplitudinea undelor.

ECUATIA ATEMPORALA A UNDEI

Ecuatia undei plane, data sub forma

,

poate fi scrisa

,

unde

.

Efectuand derivatele de ordinul intai si al doilea in raport cu t si cu r si introducand expresiile lor in ecuatia de propagare a undelor

,

in urma calculelor, se obtine

sau

care reprezinta ecuatia atemporala a undelor.

7.DERERMINAREA VITEZEI DE PROPAGARE A UNDELOR

7.1.UNDE TRANSVERSALE. ECUATIA CORZII VIBRANTE

Consideram un fir AB, fiecare punct al sau executand o miscare osci­­latorie perpendi­culara pe axa Ox

Fie o portiune a firului. Asupra sa actioneaza atat fortele de legatura si respectiv cat si forta distribuita pe directia de oscilatie a firului. Astfel, scriem

,

unde este masa unitatii de lungime, din care rezulta

.

Intre H si V exista relatia:

,

dar, de asemenea,

,

iar egaland ultimele doua relatii

,

obtinem

,

unde .

Pentru deplasari mici, , avem

  sau  ,

adica scriem

.

Intrucat

,

va rezulta

.

Notam

,

c fiind viteza de propagare a vibratiei, cu

.

Deci, ecuatia diferentiala a vibratiilor transversale in fire va fi scrisa sub forma

.

Daca consideram vibratiile libere ale firului (cand forta perturbatoare este nula), ecuatia devine

.

Rezolvarea acestei ecuatii se poate face utilizand mai multe metode. Vom aplica in cele ce urmeaza metoda separarii variabilelor (Fourier), adica vom scrie

si deci

,

.

Inlocuind in ecuatia diferentiala, avem

,

de unde

,

a carei solutie este de forma

,

constantele B si D putandu‑se determina din conditiile la limita. Astfel,

- pentru , ,

- pentru , ,

prin urmare

si deci

,

din care rezulta

.

De asemenea, scriind

,

avem

daca

,

adica vom obtine

,

unde sunt pulsatiile proprii ale corzii.

Pentru modul n de vibratie, solutia ecuatiei diferentiale se va scrie

.

Pulsatia cea mai joasa se numeste pulsatie fundamentala , iar functiile

poarta numele de functii proprii. Aceste functii verifica conditia de ortogo­na­litate

.

Pentru modul n , solutia se va scrie

,

iar solutia generala a problemei va avea forma

.

7 2UNDE LONGITUDINALE

Consideram un element de lungime dx , situat la distanta x de origi­nea axei Ox Asupra acestui element de lungime vor actiona atat fortele N si  cat si forta perturbatoare .

In timpul miscarii, elementul de lungime se va deplasa cu dis­tanta u fata de pozitia sa de echilibru, cu .

Deci, accele­ratia miscarii de vibratie a elementului de lungime este

iar forta in bara

,

conform legii lui Hooke

,

va capata forma

.

Scriem legea de miscare a elementului de lungime dx

,

unde

,

iar inlocuind expresia lui N in ecuatie se obtine

sau

,

unde viteza de propagare a perturbatiei este

.

Daca forta perturbatoare in bara este nula, obtinem ecuatia vibra­tiilor libere

.

Pentru determinarea solutiei trebuie cunoscute conditiile la limita. In cazul unei bare de lungime , fixata la capete, consideram

.

Rezolvarea ecuatiei se face utilizand metoda Fourier, solutia fiind de forma

,

din care rezulta

,

iar solutia acestei ecuatii va fi

.

Conditiile la limita in acest caz se vor gasi scriind

,

adica din

,

rezulta

,

si, de asemenea, cum

,

avem

,

daca

,

deci obtinem pulsatiile proprii

.

Functiile proprii vor fi de forma

,

iar cu

solutia generala se va scrie

.

Observatii

a.) In cazul lichidelor, rolul modulului de elasticitate E (din cazul soli­­­­de­lor) este jucat de modulul de compresibilitate c al lichidului, vite­za unde­­lor lon­gi­tudinale in lichide avand expresia

,

cu

.

b.) In mediile gazoase, viteza de propagare a undelor longitudinale depinde de tipul procesului de propagare, care poate sa fie izoterm sau adia­batic.

-  Cand frecventa undei este mare (perioada mica), in timpul proce­sului de pro­pagare are loc un schimb de caldura intre mediul gazos in care se propaga unda si mediul inconjurator, incat, temperatura mediului gazos fiind cons­tanta, pro­cesul de propagare se considera izoterm.

Din legea Boyle-Mariotte

,

prin diferentiere, scriem

si se vede ca rolul coeficientului de compresibilitate este jucat de presiune, adica

,

iar pentru viteza de propagare a undei in cazul procesului izo­term, obtinem relatia

.

-  Cand frecventa undei este mica (perioada mare), procesul de pro­pagare a undei va fi adiabatic.

Din ecuatia lui Poisson

,

diferentiind, avem

sau

,

deci

,

adica rolul coeficientului de compresibilitate este jucat de produsul . In acest caz, viteza undelor longitudinale de frecventa mica, care se pro­paga in gaze, este

.

De asemenea, din ecuatia termica de stare a gazului ideal, scrisa sub forma:

,

unde este masa molara a gazului, T temperatura absoluta si R constanta universala a gazelor, obtinem

.

7. 3. VITEZA DE PROPAGARE A UNDEI ELECTROMAGNETICE

8. ENERGIA TRANSPORTATA DE UNDELE

8.1.INTENSITATEA UNDEI ELASTICE

Procesul de propagare a undelor nu este insotit de un transport de substanta, ci se produce o propagare a starii de miscare a particulelor in intreg mediul elastic (in care unda se propaga), ceea ce este echivalent cu un transport de energie.

Intr‑un mediu elastic, in care presupunem ca se propaga o unda plana lon­gitudinala, sa delimitam un element de volum suficient de mic, astfel incat, in acesta, sa putem considera ca marimile si sunt constante.

Energia cinetica a particulelor din elementul de volum este

,

in care este masa elementului de volum , iar reprezinta viteza particulelor din respectivul element de volum (viteza de oscilatie).

Alungirea relativa a elementului de volum este

,

dar, potrivit legii lui Hooke, cum

,

energia potentiala va avea expresia

.

Intrucat

,

scriind

,

obtinem energia potentiala

.

Cum energia totala a elementului de volum este

,

densitatea de energie (energia unitatii de volum) se va scrie

.

Daca consideram o unda plana pentru care

,

atunci

  si  .

Inlocuind aceste expresii in formula densitatii de energie, avem

.

Deci, densitatea de energie depinde de timp t si de distanta x de la sursa, astfel ca putem vorbi despre densitatea de energie medie. Cum valoa­rea medie a patratului functiei sinus este

,

gasim valoarea medie a densitatii de energie

.

Mediul in care se propaga unda elastica poseda o energie suplimen­tara, energia transportata de unda de la sursa de perturbatii in mediul elastic.

Fluxul de energie, notat , reprezinta energia ce traverseaza o anu­mita supra­­fata, in unitatea de timp

.

Densitatea fluxului de energie sau intensitatea undei reprezinta ener­gia ce trece in unitatea de timp, prin unitatea de suprafata perpendiculara pe directia de propagare, adica

sau

.

Se observa ca intensitatea undei depinde atat de proprietatile sursei (w si a) cat si de proprietatile mediului elastic (r si v) in care aceasta se pro­paga.