Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Fizica


Index » educatie » Fizica
» Modele reologice


Modele reologice




Modele reologice

1. Modelul fluidului newtonian

            Fluidul newtonian este un fluid de ordinul intai a carui ecuatie constitutiva este de forma ecuatiei ( 3.7). Raportata la sistemul de coordonate carteziene plan ecuatia constitutiva are forma:

                                                                                                                (3.23)

deoarece  in care  este viscozitatea dinamica a fluidului newtonian. Sub forma tensoriala ecuatia constitutiva are forma:




                                                                                                                       (3.24)

2. Modelul fluidelor nenewtoniene

            Forma generala a ecuatiei constitutive pentru fluide nenewtoniene incompresibile este de forma:

                                                                                                                      (3.25)

in care  este “viscozitatea” fluidului.

            Ecuatia (3.25) nu descrie dezvoltarea si relaxarea eforturilor normale in curgeri de forfecare simple, deoarece  se anuleaza instantaneu daca = 0, deci la indepartarea deformatiei. Daca numai componentele de forfecare ale lui  sunt nenule , ca in curgerea de forfecare simpla, atunci singurele componente nenule ale lui  sunt de asemenea cele de forfecare, deoarece  este definita drept o cantitate scalara.

            In consecinta, fluidul nu dezvolta eforturi normale intr-0 curgere de forfecare simpla. Din ecuatia (3.7) rezulta:

                                                                                          (3.26)

unde .

            Intre invariantul direct al tensorului  simetric:

           

                                                  (3.27)

si invariantul compus al tensorului  simetric exista relatia:  valabila pentru fluide incompresibile.

            In locul invariantului  se poate utiliza marimea lui :

                                                            (3.28)

si deci

                                                                                                                (3.29)

Modelul “legea puterii” sau Ostwald de Waele.

Pentru acest model viscozitatea aparenta este data de relatia:

                                                                                      (3.30)

in care  este indicele de consistenta cu dimensiunea  si  este indicele de curgere ( exponentul legii puterii ) adimensional.

            Intr-o reprezentare dublu logaritmica  respectiv  pentru curgerea unidirectionala rezulta o dreapta. Multe fluide prezinta o astfel de comportare cel putin pe o decada de valori a vitezei de deformare prin forfecare, iar pe mai multe decade reprezentarea poate fi o curba.

            Variatia viscozitatii aparenta in raport cu viteza de deformare prin forfecare, figura 3.5. prezice o valoare infinita a viscozitatii aparente, pentru fluide pseudoplastice  cand viteza de deformare tinde spre zero si o valoare infinita pentru fluide dilatante  cand viteza de deformare tinde spre infinit, ceea ce nu corespunde observatiilor experimentale. Aceleasi anomalii se constata la viteze de deformare tinzand spre infinit pentru fluide pseudoplastice si spre zero pentru fluide dilatante, cand viscozitatea aparenta ar trebui sa se anuleze. Deci, ecuatia (3.30) nu descrie extremitatile curbei, viscozitatile respective rezultand prin extrapolare, figura 3.6.

            Exemple de fluide pseudoplastice: suspensii de particule asimetrice; solutii ale polimerilor derivati de la celuloza ( hidroxi etil celuloza  (HEC), carboxi metil celuloza (CMC) ); ciment; maioneza; suspensii de detergenti.

            Cu toate deficientele semnalate, ecuatia este mult utilizata, avand o forma algebrica simpla si continand numai doi parametri ( constante ajustabile ).

            Pentru curgerea unidirectionala ecuatia constitutiva a modelului Ostwald de Waele are expresia:

                        .    sau                                                       (3.31)

            Parametrii modelului Ostwald de Waele nu vor depinde de geometria in care au fost determinati, deci conditia de invarianta la transformarea axelor de coordonate devine acum usor de inteles.

            Parametrii modelului Ostwald de Waele pot fi determinati dintr-un set de date experimentale , reprezentand grafic  intr-o diagrama dublu logaritmica,  functie de  .figura 3.4.

      Fig.3.4. Determinarea parametrilor modelului Ostwald de Waele

                   din date experimentale

            Prin logaritmarea ecuatiei (3.31) se liniarizeaza:

                       

            Se considera doua puncte pe dreapta ce aproximeaza cel mai bine datele experimentale,  si  si se calculeaza panta dreptei:

           

din care rezulta unul din parametrii, indicele de curgere . Celelalt parametru , indicele de consistenta  se determina din relatia:

                       

Text Box: η∞

           Fig.3.5. Variatia viscozitatii aparente               Fig.3.6. Valorile  extrapolate ale                                                                                          

                          functie de viteza de deformare                         viscozitatii aparente

                          prin forfecare:

                          1 – fluid pseudoplastic;

                          2 – fluid dilatant

           

            Aplicatia 3.1.

            Datele masuratorilor reologice pentru o solutie apoasa 1 % guma            la  sunt prezentate in tabelul       . Sa se determine parametrii modelului legii puterii si sa se reprezinte grafic variatia viscozitatii aparente in raport cu viteza de deformare prin forfecare.

Nr. exp.

1.

9,88

2,61

2.

11,4

2,97

3.

12,0

2,81

4.

14,1

3,44

5.

17,6

3,80

6.

26,3

4,85

7.

42,0

6,61

8.

48,6

6,19

9.

49,3

5,89

10.

55,5

7,22

11.

58,8

8,20

12.

75,4

9,08

13.

104,1

11,63

14.

110,4

10,65

15.

120,5

12,75

16.

136,5

13,10





17.

145,8

14,90

18.

187,1

15,85

19.

210,2

12,70

20.

270,0

20.50

Rezolvare:

Text Box:  Text Box:  Text Box:

Text Box:

Text Box:  Fig. 3.7. Variatia efortului de forfecare functie de viteza de deformare prin 

               forfecare

Fig. 3.8. Diagrama dublu logaritmica, efort de forfecare functie de viteza de

              deformare prin forfecare

Text Box:  Text Box:

Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:

Parametrii modelului reologic sunt: indicele de curgere:  n = 0,598;

indicele de consistenta: m = 0,672

Text Box:  Text Box:

Text Box:

Fig. 3.9. Compararea valorilor efortului de forfecare experimental cu cel 

               calculat functie de viteza de deformare prin forfecare

Text Box:  Text Box:                                                                                             

Text Box:

                        Fig.3.10. Variatia viscozitatii aparente functie de viteza de

                                        deformare prin forfecare

Aplicatia 3.2.

            Sa se determine parametri modelului Ostwald de Waele pentru urmatoarele date experimentale obtinute la extrudarea polietilenei de inalta presiune la 220 °C intr-o capilara:

Nr. exp.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Efortul de forfecare,

6,48

6,91

7,34

7,59

8,05

8,71

9,24

9,73

10,1

Viteza de deformare,

185,2

267,6

277,1

320,0

376,4

455,5

520,1

579,3

621,1

            Rezolvare:

Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box: Se reprezinta grafic intr-o diagrama dublu logaritmica efortul de forfecare t functie de viteza de deformare prin forfecare g :Text Box:  Text Box: Se liniarizeaza ecuatia:  Text Box:  Text Box:  Text Box: (1)

Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box: Se calculeaza parametrii dreptei de regresie cu metoda celor mai mici patrate :Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box: Notatii :Text Box:  Text Box:  Text Box: Cu adimensionalizarile (2) ecuatia (1) devine :Text Box:  Text Box:  Text Box: (2)Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box: Se adimensionalizeaza efortul de forfecare si viteza de deformare prin forfecare.

Text Box:  Text Box:

Text Box: Se recalculeaza valorile efortului de forfecare t1 cu parametrii determinati anterior :Text Box:

Text Box:

Text Box:

Text Box:

Experimental se pot determina cele doua viscozitati, viscozitatea aparenta la viteza de deformare nula  si viscozitatea aparenta la viteza de deformare infinita  pentru un fluid pseudoplastic masurand viteza de deformare functie de efortul de forfecare, figura 3.7.




               Fig.3.7. Variatia vitezei de deformare functie de efortul

                             de forfecare pentru un fluid pseudoplastic

                                    Modelele Ellis si Sisko

Modelele empirice cu mai mult de doi parametri permit calculul viscozitatii limita in conditii extreme de forfecare, de exemplu modelul Ellis si modelul Sisko. Modelul Ellis permite estimarea in cazul fluidelor pseudoplastice a viscozitatii limita la eforturi de forfecare mici si in cazul fluidelor dilatante, a viscozitatii limita la eforturi de forfecare mari. Modelul Ellis este valabil numai pentru fluide pseudoplastice si permite calculul viscozitatii limita la eforturi de forfecare mari. Ecuatiile constitutive au urmatoarele expresii:

                   modelul Ellis                                                     (3.32)

                  modelul Sisko                                                   (3.33)

in care:

 ;

             ;

             ;

            .

Determinarea parametrilor modelului Ellis se face prin liniarizarea ecuatiei (3.32) care se scrie sub forma:

             sau  .

In cazul in care se dispune de un set de date experimentale  si se reprezinta grafic intr-o diagrama dublu logaritmica   se obtine o dreapta. Din  panta dreptei se obtine , figura 3.8:

            Se considera doua puncte pe dreapta ce aproximeaza cel mai bine datele experimentale,  si  si se calculeaza panta dreptei:

iar parametrul  rezulta din relatia: .

                

                    Fig.3.8. Determinarea parametrilor Ellis din date experimentale

            Determinarea parametrilor modelului Sisko se face prin liniarizarea ecuatiei (3.33) care se scrie sub forma:

                       

In cazul in care se dispune de un set de date experimentale  si se reprezinta grafic intr-o diagrama dublu logaritmica   se obtine o dreapta. Din  panta dreptei se obtine indicele de curgere , figura 3.9:

            Se considera doua puncte pe dreapta ce aproximeaza cel mai bine datele experimentale,  si  si se calculeaza panta dreptei:

iar parametrul  rezulta din relatia: .

              Fig.3.9. Determinarea parametrilor modelului Sisko din date experimentale

Modelul Bingham

            Modelul Bingham are urmatoarea expresie a ecuatiei constitutive:

                          pentru                                  (3.34)

                                                           pentru                                  (3.35)

in care:

             reprezinta pragul de curgere.

Pentru curgerea simpla a fluidelor incompresibile , ecuatia constitutiva se scrie sub forma:

                                                                                                                 (3.36)

            Determinarea parametrilor modelului Bingham se face astfel: in cazul in care se dispune de un set de date experimentale  si se reprezinta grafic intr-o diagrama obisnuita cu diviziuni echidistante  se obtine o dreapta. Din ordonata la origine se determina pragul de curgere  iar din panta dreptei se obtine viscozitatea limita , figura 3.10:

            Se considera doua puncte pe dreapta ce aproximeaza cel mai bine datele experimentale,  si  si se calculeaza panta dreptei:

           

            Fig.3.10. Determinarea parametrilor modelului

                           Bingham din date experimentale

            Exemple de fluide Bingham: suspensii de particule solide; noroaie de foraj; margarina; pasta de hartie.

            Aplicatia 3.3.

. O suspensie 54,6 % bentonita cu densitatea r = 1280  kg×m-3este supusa unor determinari reologice intr-un viscozimetru cu cilindri coaxiali. Se obtin urmatoarele date:

Nr. exp.

1

2

3

4

5

100

150

250

325

400

t , Pa

112,4

115,2

117,5

120,5

121,7

Sa se determine parametrii modelului Bingham ce descrie comportarea reologica a

bentonitei.

            Rezolvare:

Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box: Se reprezinta grafic intr-o diagrama dublu logaritmica efortul de forfecare t functie de viteza de deformare prin forfecare g

Text Box:

Text Box:  Text Box: Ecuatia constitutiva a modelului Bingham are expresia :Text Box: Se adopta urmatoarele notatii:Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:

Text Box: Se introduc marimile adimensionale :Text Box:  Text Box:

Text Box:  Text Box:

Text Box: Ecuatia constitutiva devine :Text Box:

Text Box: si ecuatia constittiva devine :Text Box:

Text Box:

Text Box: Pentru determinarea parametrilor modelului reologic se aplica metoda grafica:.Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:

Text Box:  Text Box:

Text Box:  Text Box:

Text Box: Se recalculeaza efortul de forfecare cu parametrii reologici determinati anterior :

Text Box:

Text Box:  Aplicatia 3.4.

In tabelul 1 se prezinta datele experimentale pentru ciocolata cu lapte la . Sa se determine parametrii reologici ai modelelor reologice Bingham si Casson ce caracterizeaza pasta de ciocolata cu lapte:

                       - modelul Bingham

              - modelul Casson

Se determina parametrii modelelor reologice pentru trei domenii ale vitezei de deformare prin forfecare:  ,  , .

Nr.exp

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

0,099

0,14

0,199

0,39

0,79

1,6

2,4

3,9

6,4

7,9

28,6

35,7

42,8

52,4

61,9

71,4

80,9



100

128,3

133,3

           

11.

12.

13.

14.

15.

11,5

13,1

15,9

17,9

19,9

164,2

178,5

201,1

221,3

235,6

Rezolvare:

Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:

Modelul Bingham:

Text Box:

Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:

Text Box:

Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:

Text Box:

Text Box:

Text Box: Modelul Casson:

Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:

Text Box:

Text Box:

Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:

Text Box:

Text Box:

Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:  Text Box:

Text Box:

Modelul Herschel – Bulkley

Acest model descrie compoertarea plastica si vascoasa ( nenewtoniana de tip legea puterii):

                                                                                                          (3.37)

in care:

             - reprezinta parametrii modelului Herschel – Bulkley.

Modelul Prandtl – Eyring

            Ecuatia constitutiva are expresia:

                                                                                 (3.38)

in care:

             reprezinta parametrii modelului.

            Pentru liniarizarea ecuatiei (3.38) se imparte prin  si se aplica functia :

              sau .

Pentru valori mari ale efortului de forfecare:  rezulta   si se obtine din ecuatia anterioara:

           

Se logaritmeaza in baza logaritm zecimal, si se obtine:

             sau .

Reprezentand grafic intr-o diagrama semilogaritmica  se obtine o dreapta pentru valori mari ale efortului de forfecare, figura 3.11.

              Fig.3.11. Determinarea parametrilor modelului Prandtl – Eyring

                             din date experimentale

Se considera doua puncte pe dreapta ce aproximeaza cel mai bine datele experimentale,  si  si se calculeaza panta dreptei:

           

din care rezulta parametrul A.

Celalalt parametru se obtine din relatia:      .







Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Fizica


Astronomie


Probleme de optica fotonica
Masurarea temperaturii cu termometre de sticla cu lichid
OSCILOSCOPUL, CONSTRUCTIE, FUNCTIONARE SI UTILIZARE
Caracterizati starea lichida
Puterea de stopare datorata ionizarii si excitarii
MAPA CATEDREI DE FIZICA
Legea lui Bernoulli in circulatia sanguina
UNDE ACUSTICE. FENOMENE SONORE.
Tipuri de forte de interactiune moleculara. Definitia si rolul fortelor legaturii de hidrogen.
CINEMATICA SOLIDULUI RIGID