COMPENSAREA UNGHIURILOR ORIZONTALE MASURATE DUPA METODA SCHREIBER

Metoda Schreiber consta in masurarea unghiurilor orizontale in toate combinatiile, fara ca acestea sa se completeze pana la 400^g. In instructiunile tehnice din tara noastra, masuratorile orizontale (azimulate) in triangulatia geodezica de ordinul I si II, se efectueaza numai prin metoda Schreiber. Compensare unghiurilor orizontale, masurate prin aceasta metoda, se face prin metoda masuratorilor indirecte de aceeasi precizie.

A.      TEMA LUCRARII:

Din punctul de statie S, s-au vizat semnalele din punctele de triangulatie A, B, C si D(Fig.6.1). Pe schita sunt trecute toate unghiurile masurate, luandu-se cate doua directii in toate combinatiile posibile, fara ca acestea sa se completeze la 400^g, precum si unghiurile independente strict necesare, ce urmeaza a fi determinate prin compensarea in statie.

Se cere sa se calculeze valorile compensate ale unghiurilor orizontale, folosind metoda masuratorilor indirecte de aceeasi precizie.

B.        DATELE LUCRARII

Valorile medii ale tuturor unghiurilor orizontale, rezultate din masuratorile directe de aceeasi precizie si prezentate in (tab 6.1).

Tabelul 6.1

Fig 6.1

C. CUPRINSUL LUCRARII:

1.Scrierea sistemului initial al ecuatiilor de corectii, stabilirea marimilor provizorii ale necunoscutelor si scierea ecuatiilor de corectii finale;

2.Intocmirea tabelelor cu coeficientii si termenii liberi ai ecuatiilor de corectii si ai ecuatiilor normale;

3.Scrierea sistemului ecuatiilor normale ale necunoscutelor si rezolvarea sistemului folosind schema Gauss-Doolittle;

4.Calculul valorilor cele mai probabile (compensate) ale unghiurilor orizontale independente, determinate prin masuratori indirecte de aceeasi precizie;

5.Calculul corectiilor si a sumei patratelor corectiilor;

6.Calculul marimilor compensate ale unghiurilor masurate si verificarea compensarii;

7.Calculul erorii medii patratice a unei singure masuratori directe de aceeasi precizie si al erorii medii patratice ale necunoscutelor;

8.Calculul marimii unghiului b_s dintre directiile SB si SD, ca functie de marimile unghiurilor independente compensate X₂ si X₃., si a erorii medii patratice a unghiului considerat.

D.    REZOLVAREA LUCRARII

Succesiunea operatiilor de compensare este urmatoarea:

1.Scrierea relatiilor ce leaga masuratorile directe de parametrii ce se vor determina indirect, scrierea sistemelor, initial si final, ale ecuatiilor de corectii si a sistemului ecuatiilor normale.

Numarul unghiurilor orizontale ce s-au masurat in punctul de statie, s-a stabilit relatia:

6 unghiuri

Dintre acestea, doar trei dintre ele sunt marimi independente, notate X₁, X₂, X₃. Celelalte unghiuri vor reprezenta functii de marimi independente, ca sume ale acestora. Pentru aceasta, se va urmari aflarea celor mai probabile valori ale marimilor independente, pe baza valoriilor medii ale tuturor masuratorilor unghiulare rezultate din masuratorile directe de aceeasi precizie. Aceasta se va realiza prin metoda compensarii masuratorilor indirecte de aceeasi precizie.

Ecuatiile care leaga parametrii ce se vor determina indirect, de marimile masurate direct, se exprima prin ecuatia:

unde - valorile adevarate ale marimilor masurate direct - valorile adevarate ale parametrilor determinati indirect .

Se observa, ca operatia de compensare este posibila numai in cazul in care numarul masuratorilor directe este mai mare decat numarul parametrilor determinati indirect(r > n). Cum valorile adevarate ale marimilor masurate direct , nu se cunosc niciodata, nu se vor putea afla nici marimile adevarate ale parametrilor determinati indirect .

Pentru valorile cele mai probabile ale masuratorilor directe, se introduce expresia:

Unde: - sunt valorile medii ale masuratorilor directe de pe teren(tab 6.1), v_i - corectiile de adus valorilor masurate pe teren, pentru obtinerea celor mai probabile valori.

Sistemul ecuatiilor de legatura se scrie sub forma:

Acesta reprezinta modelul functional al compensarii prin metoda masuratorilor indirecte si care, dezvoltat , se va scrie astfel:

1. X₁ - M⁰₁ = v₁

2. X₁ + X₂ - M⁰₂ = v₂

3. X₁ + X₂ + X₃ - M⁰₃ = v₃

4. X₂ - M⁰₄ = v₄

X₂ + X₃ - M⁰₅ = v₅

X₃ - M⁰₆ = v₆

Acest sistem poarta denumirea de sistemul ecuatiilor de corectii si care,in cazul prezentat, are o forma liniara. Deoarece termenii liberi sunt prea mari in aceste ecuatii se inlocuiesc valorile cele mai probabile ale parametrilor necunoscuti prin valorile provizorii (aproximative sau apropiate), la care se adauga niste corectii, ce se vor numi necunoscute, si care se vor determina prin compensare.

,

respectiv, valorile rotunde masuratorilor directe:

Rezulta expresiile finale ale ecuatiilor de corectie, de forma:

1. x₁ + l₁ = v₁

2. x₁ + x₂ + l₂ = v₂

3. x₁ + x₂ + x₃ + l₃ = v₃

4. x₂ + l₄ = v₄

x₂ + x₃ + l₅ = v₅

x₃ + l₆ = v₆

Termenii liberi vor rezulta ca diferente dintre valorile calculate si valorile masurate

respectiv:

Ecuatiile de corectie devin:

1. x₁    +29.6= v₁

2. x₁ + x₂ +62.5= v₂

3. x₁ + x₂ + x₃ +57.8 = v₃

4. x₂ -0.6= v₄

x₂ + x₃ +8.8 = v₅

6. x₃ -4.2 = v₆

Sistemul ecuatiilor de corectie corespunde tipului general avand forma:

coeficientii necunoscutelor a_i, b_i, c_i avand valori de +1 sau 0. Sistemul are un numar de sase ecuatii si noua necunoscute ( x_1,, x₂, x₃, v₁, v₂, . v₆), neputandu-se rezova.Rezolvarea problemei se face prin eliminarea din sistemul ecuatiilor de corectii, a corectiilor v_i, prin intrroducerea conditiei de minim, avandu-se in vedere ca marimile corectiilor sunt suficient de mici, comparabile erorilor.

[vv]=F(x₁,x₂,x₃) min

Rezolvarea sistemului ecuatiilor de corectii sub conditia de minim se numeste compensarea masurilor indirecte de aceeasi precizie.Deoarece suma patratelor corectiilor este o functie de marimile necunoscutelor x₁, x₂, x₃, prin anularea derivatelor partiale in raport cu acestea

se ajunge la urmatoarele conditii de minim, reprezentand lema lui Gauss:

[av]=0; [bv]=0; [cv]=0

Prin inlocuirea in fiecare dintre cele trei conditii, a corectiilor prin expresiile lor din ecuatiile de corectie, se obtine sistemul ecuatiilor normale ale necunoscutelor avand forma:

[aa]x₁ +[ab]x₂ +[ac]x₃ +[al] = 0

[ab]x₁ +[bb]x₂ +[bc]x₃ +[bl] = 0

[ac]x₁ +[bc]x₂ +[cc]x₃ +[cl] = 0

In acest sistem, numarul ecuatiilor este egal cu numarul necunoscutelor (n=3). Deoarece coeficientii de pe diagonala principala sunt sume de patrate, totdeauna pozitivi, iar coeficientii dreptunghiulari, pozitivi sau negativi, sunt simetrici in raport cu diagonala principala, inseamna ca determinantul sistemului va fi diferit de 0 (D 0),sistemul admitand solutii unice.

2.Calculul coeficientilor si al termenilor liberi ai ecuatiilor normale

Coeficientii si termenii liberi ai ecuatiilor normale, se calculeaza cu ajutorul coeficientilor si al termenilor liberi ai ecuatiilor de corectii.Se inmultesc succesiv ecuatiile de corectii cu marimile coeficientilor necunoscutelor si se fac sumele pe vertical

Operatiile se executa sistematizat, in doua tabele succesive. Mai intai, se intocmeste tabelul 6.2 , cuprinzand coeficientii si termenii liberi ai ecuatiilor finale de corectie.Pentru controlul inscrierii, ca si al calculelor ulterioare, se introduce si coloana 6, a sumelor pe orizontala.

a_i+b_i+c_i+l_i=s_i ,

Pe ultima linie, se fac sumele pe verticala:

[a ] =a₁ +a₂ + . . +a₆ = 3

[b ] =b₁ +b₂ + . .+b₆ = 4

[c ] =c₁ +c₂ + . . +c₆ = 3

[l ] =l₁ +l₂ + . . .+l₆ = 140.8

[s ] =s₁ +s₂ + . . +s₆ = 150.8

si suma pe orizontala:

S = [a ] +[b ] +[c ] +[l ] = 150.8

Tabelul 7.2

Tabelul 7.3

Pe baza coeficientilor si ai termenilor liberi ai ecuatiilor de corectii, in tabelul 6.3 se calculeaza coeficientii, termenii liberi si termenii suma ai ecuatiilor normale:

[aa] = a²₁ + a²₂ + . ..+ a²₆= 3

[ab] =a₁b₁ +a₂b₂ + . .+a₆b₆=2

De asemenea se calculeaza si sumele [ll ], [ls ] si [ss ].

Controlul calcularii coeficientilor si al termenilor liberi ai ecuatiilor normale se face cu ajutorul sumelor

[aa ] +[ab ] +[ac ] +[al ] = [as ]

[ac ] +[bc ] +[cc ] +[cl ] = [cs ]

iar pentru controlul final, cu sumele:

[al ] +[bl ] +[cl ] +[ll ] =[ls ]

[as ] +[bs ] +[cs ] +[ls ] =[ss ]

Deoarece in tabelul 6.3 sunt trecute doar elementele ecuatiilor normale scrise sub forma prescurtata, la verificarea calculelor, incepand cu ecuatia a doua, se vor insuma si termenii de deasupra termenilor patratici.

Pe baza tabelului 6.3 se scrie sistemul ecuatiilor normale ale necunoscutelor, sub forma prescurtata:

3x ₁+2x ₂+ x₃ -29.6 =0

4x₂ + 2x₃ -62.5=0

3x₃ -57.8=0

3.Rezolvarea ecuatiilor normale folosind schema Gauss - Doolitle.

Operatia de rezolvare a ecuatiilor normale se prezinta in tabelul 6.5 , conform shemei teoretice prezentata in tabelul 6.4 , in coloanele 1 -6.

Succesiunea operatiilor de rezolvare este :

In coloanele 1-5, pe liniile 1,3 si 7, se inscriu coeficientii, termenii liberi si termenii suma ai ecuatiilor normale.:

Se impart elementele liniei 1, la termenul patratic luat cu semn invers, -[aa]= -3 , iar rezultatele se trec pe linia 2, cu rosu, reprezentand prima ecuatie eliminatorie a sistemului initial

Se face controlul facultative pe linie:

se ia termenul de pe linia 1, coloana 2, [ab], si se inmulteste cu termenii de dedesupt si de la dreapta, rezultatele trecandu-se pe linia 4.

Se fac sumele elementelor de pe liniile 3 si 4, care se trec pe linia 5. Se obtin coeficientii, termenul liber si termenul suma ai primei ecuatii echivalente:

Pe aceasta linie se face controlul obligatoriu:

[bb.1] + [bc.1] + [bl.1] = [bs.1]

Suma termenilor din memebrul stang se trece in coloana 6.

Se impart elementele liniei 5, la termenul patratic luat cu senm schimbat -[bb.1] , iar rezultatele se trec pe linia 6, reprezentand cea de-a doua ecuatie eliminatory, scrisa cu rosu:

Se face controlul facultative pe linia ecuatiei eliminatorii

Se ia termenul de pe linia 1, coloana 3, [ac], si se inmulteste cu termenii de dedesupt si la dreapta, rezultatele trecandu-se pe linia 8:

Se ia termenul de pe linia 5,coloana 3 si se inmulteste cu termenii de dedesupt si la dreapta,rezultatele trecandu-se pe linia 9:

Se fac sumele elementelor de pe liniile 7, 8, 9, care se trec pe linia 10. Se obtine coeficientul, termenul liber si termenul suma al celei de a doua ecuatie echivalenta a sistemului:

Pe linia ecuatiei echivalente, se face controlul obligatoriu.

[cc.2]+[cl.2]=[cs.2];

Pe linia 11 se trec rapoartele:

Controlul facultativ:

;

Pentru controlul final, pe linia 12 se trec elementele [ll]=306.47 si [ls]=351.97, iar pe linia 17, elementul [ss]=417.47, extrase din tabelul 7.3. Cu ajutorul lor se calculeaza algoritmii de ordinul 3, dupa acelasi principiu, obtinandu-se:

;

care se inscriu pe linia 16, facandu-se controlul obligatoriu [ll.3]=[ls.3].

De asemenea, se calculeaza algoritmul de ordinul 3:

a carui valoare se trece pe linia 21. se face verificarea finala:

[ll.3]=[ls.3]=[ss.3].

Tabel 7.4

Pe liniile 13, 14, 15, se calculeaza marimile necunoscutelor, folosindu-se sistemul

eliminator:

In coloana 3, pe liniile 13, 14 , 15, se trec termenii liberi ai ecuatiilor eliminatorii:

luate din coloana 4, liniile 11, 6 si 2. Ultima necunoscuta va fi trecuta pe linia 13, coloana 2:

Se fac produsele necunoscutei x₃, cu coeficientii ecuatiilor eliminatorii

care se trec in coloana 2, pe liniile 14 si 15. Necunoscuta a doua va fi:

marimea ei trecandu-se pe linia 14, coloana 1.

Se face produsul necunoscutei x₂, cu coeficientul primei ecuatii eliminatorii

trecut pe linia 15, coloana 1.Prima necunoscuta, va fi eprimata de suma elementelor de pe linia 15, coloanele 1, 2 si 3.

Marimea ei se trece pe linia 15, coloana 0.

Verificare rezolvarii ecuatiilor normale, se face cu relatia sintetica:

[(S-L)x]=-[L] sau dezvoltat:

([as]-[al])x₁+([bs]-[bl])x₂+([cs]-[cl])x₃=-([al]+[bl]+[cl])

	a/x1	b/x2	c/x3	L	S	control
Valorile compensate ale unghiurilor independente, se obtin din valorile provizorii, la care se sdauga algebric marimile necunoscutelor: Calculul se conduce in tabelul 6.6 Tabelul 6.6 Nr. Unghi (g    c cc) xj (cc) Xj (g    c cc) 5.Calculul corectiilor si ai sumei patratelor corectiilor. Prin inlocuirea necunoscutelor, rezultate din rezolvarea ecuatiilor normale, in sistemul liniar al ecuatiilor de corectii Ej:aix1+bix2+cix3+li=vi , Se obtin cele mai probabile valori ale corectiilor, calculat sub conditia de minim.Calculul se conduce in tabelul 7.7 Tabelul 7.6 Nr. Ec. aix1 bix2 cix3 licc vicc vi2 livi Dupa calculul corectiilor vi , in coloana 6, se calculeaza patratele corectiilor vi2 , in coloana 7, care insumeaza pe coloana, de la 1 la 6, obtinandu-se suma patratelor corectiilor. [vv]=v12+v22+ . .+v62 = 82.205; Controlul calcularii directe a sumei patratelor corectiilor se face si cu ajutorul relatiilor: cu ajutorul sumei produselor dintre termenii liberi si corectiile respective, in tabelul 7.7 , coloana 8 [vv]=[lv]=l1v1+l2v2+ . .+l6v6 =82.207; cu ajutorul sumei patratelor termenilor liberi si al produselor dintre termenii liberi ai ecuatiilor normale si marimile necunoscutelor. [vv]=[ll]+[al]x1+[bl]x2+[cl]x3 =82.30; cu formula controlului final in schema Gauss-Doolittle. [vv]=[ll.3]=[ls.3]=[ss.3] = 82.31; 6.Calculul marimilor compensate ale tuturor unghiurilor orizontale masurate si verificarea compensarii. Marimile cale mai probabile (compensate) ale unghiurilor orizontale masurate direct pe teren prin metoda Schreiber, se obtin prin adaugarea la valorile medii , a corectiilor rezultate prin compensare . MI = M0I + vI , bI b I +vi , Calculul se conduce in tabelul 7.8 Tabelul 7.7 Nr. Unghi M0I (g c cc) ± vI (cc) MI (g c cc) Valorile compensate ale parametrilor determinati indirect Xj , reprezentand unghiurile independebte, se iau din tabelul 7.6, iar valorile compensate ale tuturor unghiurilor orizontale, se iau din tabelul 7.8. Cu aceasta operatia de compensare este terminata. Urmeaza sa se faca evaluarea preciziei rezultatelor compensarii. 7.In cazul masuratorilor indirecte de aceeai precizie, eroarea medie patratica a unei singure masuratori directe se calculeaza cu formula lui Bessel generalizata 5cc.235; Aceasta este eroarea medie patratica post - compensare de masurare a fiecaruia din cele sase unghiuri si reprezinta un indicator de precizie globala al masuratorilor de teren. In expresia erorii, la numitor, valoarea r - n reprezinta surplusul de masuratori necesr calcularii valorilor probabile ale unghiurilor independente prin metoda masuratorilor indirecte. Se observa ca eroarea va fi cu atat mai mica , cu cat suma patratelor coeficientilor va fi mai mica, respective surplusul de masuratori este mai mare. Se face observatia, ca surplusul de masuratori trebuie sa fie optim deoarece, pentru un surplus(r - n) >4, influenta lui asupra erorii devine nesemnificativa, deci neeconomica. Erorile medii patratice ale marimilor compensate determinate indirect Xj , reprezinta de fapt erorile marimilor compensate ale necunoscutelor xj . Calculul lor se face cu ajutorul relatiei: sau unde s0 - eroarea medie patratica a unei singure masuratori directe de aceeasi precizie; Qjj - coeficientii de pondere patratici ai necunoscutelor. Calculul coeficientilor de pondere se face in coloanele suplimentare la tabelul reprezentand schema Gauss - Doolittle (Tabelele 7.4 si 7.5). Pe liniile 1, 3 si 7 ale ecuatiilor normale, in coloanele 7, 8 si 9, se inscriu succesiv cifrele -1, 0, 0 0, -1, 0 0, 0, -1 pe baza carora se calculeaza celelalte elemente ale liniilor ecuatiilor echivalente si eliminatorii, dupa aceleasi reguli ca la rezolvarea ecuatiilor normale. Pentru controlul current al calcularii elementelor ce participa la formarea coeficientilor de pondere, in coloana 10, pe liniile 1, 3 si 7, se trec sumele: Pe liniile ecutiilor echivalente, in coloana 11, se face controlul obligatoriu, prin insumarea elementelor din coloanele 5, 7 , 8 si 9, care trbuie sa fie egale cu elementele din coloana 10 (5)+(7)+(8)+(9)=(10) In mod analog, se face controlul facultativ pe liniile ecuatiilor eliminatorii. Coeficientii de pondere patrtici ai necunoscutelor se calculeaza pe baza relatiilor: unde: , , , Coeficientii de pondere patratici ai necunoscutelor se calculeaza cu ajutorul regulei cunoscute, ca sume ale produselor, luate cu semn schimbat, dintre elementele ecuatiilor echivalente, cu elemente ecuatiilor eliminatorii ale fiecarei necunoscute(produse din aceleasi coloane). Astfel, in coloanele 7, 8 si 9, se fac sumele produsele luate cu semn schimbat, rezultand: Q11=(1)(2)+(5)(6)+(10)(11)=0.500; Q22= (5)(6)+(10)(11)=0.500; Q33= (10)(11)=0.500; Valorile obtinute, se trec pe lina 12, coloanele 7, 8 si 9. Erorile medii patratice ale marimilor compensate ale necunoscutelor, vor fi egale intre ele s1=s2=s3===117.058; Aceasta este eroarea cu care s-au aflat marimile compensate ale unghiurilor independente, determinate prin masuratori indirecte de aceeasi precizie (Xj±sj) Tabelul 7.8 Q x1 Q x2 Q x3 Control Q F -f1 Control facultativ 2 -f2 R2 Control obligatoriu Control facultativ -f3 R3 S3 [.2] Control obligatoriu [f3.2] Control facultativ Q x1 Q x2 Q x3 Control Q F 8.Calculul marimii unghiului dintre directiile SB si SD, ca functie de marimile unghiurilor independente compensate X1 si X2 , si al eroriimedii patratice a unghiului considerat. Marimea unghiului considerat , dintre directiile SB si SD, se obtine ca suma (ca functie) de marimile compensate ale unghiurilor independente determinate in direct, tabelul 7.6. =X1+X2 = 112,7465g Pentru aflarea valorii medii patratice a valorii acestui unghi, se considera functia generala de marimile compensate ale necunoscutelor F=f0+f1x1+f2x2+f3x3 , unde f0, f1, f2 si f3 sunt coeficienti constanti. Pentru unghiulconsiderat marimile constantelor sunt: f0=0; f1=1; f2=1; f3=0; Eroare medie patratica a unghiului, se calculeaza cu formula erorii functiei: sF unde s0 - eroarea medie partatica a unei singure masuratori directe de aceeasi precizie; QFF - coeficientul de pondere al functiei (inversa ponderii functiei) . Pentru cazul considerat eroare unghiului va fi: Coeficientul de pondere al functiei (unghiului), se calculeaza intr-o coloana suplimentara la schema Gauss - Doolittle, ca si coeficientiide pondere patrtici ai necunoscutelor. In coloana 12, a tabelelor 7.4 si 7.5, pe liniile 1, 3 si 7 ale ecuatiilor normale, se trec coeficientii cu semn schimbat, -f1=0; -f2= -1.Elementele corespunzatoare ecuatiilor echivalente si eliminatorii se calculeaza dupa regulile cunoscute, coeficientul de pondere al functiei (unghiului) se va calcula ca suma a produselor, luate cu semn schimbat, dintre elementele ecuatiilor echivalente si elementele ecuatiilor eliminatorii. sau Marimea obtinuta se trece pe linia 12, coloana 12. Eroarea medie patratica a unghiului va fi: = 1.57cc,058 Pentru unghiul considerat se va putea scrie: In acelasi mod, se procedeaza pentru oricare alt unghi, rezultat ca functie (suma) de marimile unghiurilor independente. Politica de confidentialitate Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate Fizica Astronomie Treapta de potential Deformarea elasto-plastica. Elementul Maxwell-Voigt. UNDE ACUSTICE. FENOMENE SONORE. Mecanismul reactiilor inlantuite Tipuri de forte de interactiune moleculara. Definitia si rolul interactiunilor hidrofila si hidrofoba. DETERMINAREA PUTERII CALORICE A CARBUNELUI SAU PACURII,CONFORM STAS 5269-82 Caracterizati starea gazoasa Spectrofotometria, fotometria si calorimetria Electrograme. Clasificare. PRINCIPIILE TERMODINAMICII