Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Fizica


Index » educatie » Fizica
Analiza tensoriala


Analiza tensoriala




Analiza tensoriala

1.1.        Generalitati

Marimile fizice din teoria fenomenelor de transfer pot fi clasificate in urmatoarele

categorii din punct de vedere tensorial:

-        scalari ( temperatura, energia, volumul, timpul, etc.);

-        vectori ( viteza, momentul, acceleratia,, forta, etc., )



-        tensori de ordinul doi ( tensorul eforturilor normale si tangentiale, viteza de

deformare prin forfecare, etc., )

Se disting urmatoarele notatii pentru marimile de mai sus:

s scalar tensor de ordinul zero;

vector tensor de ordinul intai;

tensor tensor de ordinul doi.

Sunt posibile cateva moduri de multiplicare a acestor marimi si se disting prin patru semne speciale: fara semn, un punct , doua puncte si cruce . Parantezele incluzand rezultatul multiplicarii indica tipul (ordinul tensorial ) al marimii rezultate, astfel: scalar, vector, tensor de ordinul doi sau mai mare.

Parantezele incluzand adunarea sau scaderea marimilor de mai sus nu au nici o semnificatie speciala, exemplu:

si se utilizaza dupa convenienta orice tip de paranteza.

.

De exemplu, numarul de componente al unei marimi scalare, pentru un spatiu tridimensional este: , numarul de componente al unei marimi vectoriale este , numarul de componente al unei marimi tensoriale de ordinul doi este: , s.a.m.d. Semnele de multiplicare se interpreteaza astfel:

Semnul multiplicarii

Ordinul rezultatului

Denumirea multiplicarii

fara semn

Produs dyadic

Produs vectorial

.

Produs simplu scalar

:

Produs dublu scalar

in care reprezinta suma ordinelor cantitatilor care se multiplica.

Exemple:

1.2.        Operatii analitice cu vectori

Pentru a caracteriza un vector din punct de vedere analitic trebuiesc cunoscute

componentele vectorului pe axele de coordonate carteziene: si versorii axelor de coordonate: ca in figura 1.

Fig.1.1. Proiectia unui vector pe axele de coordonate carteziene.




Operatorii ce intervin in operatiile cu vectori sunt:

-        simbolul Kronecker sau componentele tensorului unitar de ordinul doi:

-        simbolul permutarilor sau componentele tensorului de ordinul trei:

Tensorul permutarilor poate fi utilizat la dezvoltarea unui determinant de ordinul trei, deci un determinant de ordinul care poate fi scris sub urmatoarea forma in termeni de :

Simbolul selecteaza termenii din suma si determina semnul fiecarui termen din suma.

Multiplicarea a doua marimi tensoriale este echivalenta din punct de vedere tensorial cu multiplicarea versorilor si/sau diadelor.

Produsul simplu scalar a doi versori: .

Exemplu: ,

Produsul vectorial a doi versori: .

Exemplu: .

Definitia geometrica: - produsul simplu scalar este egal cu produsul marimilor

vectorilor care se multiplica si cosinusul unghiului intre cei doi vectori;

-        produsul vectorial este egal cu produsul marimilor vectorilor

care se multiplica , sinusul unghiului intre cei doi vectori si versorul perpendicular pe planul celor doi versori.

Operatori diferentiali vectoriali:

Se defineste operatorul diferential vectorial , nabla sau delta in coordonate carteziene, astfel:

Operatorul nabla aplicat unui scalar fara semn de multiplicare defineste un vector sau un gradient: , aplicat unui vector fara semn de multiplicare defineste o diada: si aplicat unui vector prin produs simplu scalar defineste un scalar: .

Operatori diferentiali scalari:

Se defineste operatorul diferential scalar , laplacianul in coordonate carteziene astfel:,

Se defineste operatorul diferential scalar , derivata substantiala sau de material in coordonate carteziene astfel: ,. Se aplica unui scalar sau unui vector.

1.3.        Operatii analitice cu tensori

Un tensor de ordinul doi cu componentele se poate scrie

sub forma matriciala astfel:

iar sub forma analitica: . Transpusa unui tensor de ordinul doi este:

.

Daca tensorul este simetric, ceea ce este echivalent cu . Produsul diadic a doi vectori si este o forma speciala a unui tensor de ordinul doi, in care elementele diadicului sunt similare componentelor tensorului:

.

Produsul diadic este anticomutativ .Tensorul unitate are componentele diagonalei principale si celelalte elemente nule:

.

Produsul diadic a doi vectori unitate are componenta si este de forma:

.

Expresia analitica a produsului diadic este: .

Relatii intre versori si tensori unitate si intre tensori unitate utile in identificarea marimilor rezultate in operatiile de multiplicare:;

; ; .

Produsul diadic sau tensorial se mai poate nota astfel: . Urma unui tensor sau produs diadic ( in limba engleza trace cu simbolul , in limba germana spur cu simbolul ) are urmatoarea semnificatie ( transforma o diada sau un tensor de ordinul doi intr-un scalar echivalent cu suma elementelor de pe diagonala principala ):

; ;

.

Tensorul unitar de ordinul trei are expresia: .






Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Fizica


Astronomie


STUCTURA DISCONTINUA A SUBSTANTEI SCURT ISTORIC
FORMULE OPTICA
Conceptele fundamentale ale fizicii actuale
Raportor universal cu ceas
CUM AM INVATAT CRIOGENIE
Treapta de potential
Deformarea elasto-plastica. Elementul Maxwell-Voigt.
Fenomene moleculare de transport: clasificarea membranelor, difuzia prin membrane, aplicatii
Teoria relativitatii restranse
Fenomene moleculare de transport: difuzia, legile difuziei