Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. didactica, didactic, pedagogie, planuri de lectie, plan, planificare, planse, proiect didactic, grupa, pe grupe

Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Didactica


Index » educatie » Didactica
» MATEMATICA DE GIMNAZIU DINCOLO DE MANUAL


MATEMATICA DE GIMNAZIU DINCOLO DE MANUAL



Sesiunea de comunicari stiintifice

Campulung Muscel - 23 mai 2009

MATEMATICA DE GIMNAZIU DINCOLO DE MANUAL

                                                              ,,Cunoasterea incepe cu probleme si sfarseste ( in masura in                              care ea se sfarseste vreodata) cu probleme"                                                                                     K .R . Popper

           Anii postdecembristi au adus multe schimbari in viata sociala, ca urmare si in invatamantul romanesc. S-au modificat programele scolare, s-au introdus manualele alternative, s-au tiparit mii de feluri de culegeri , toate pentru a sprijini elevul in pregatirea sa scolara, pentru a-i usura studiul individual si a-i crea toate facilitatile in obtinerea de informatii. Matematica este un obiect de studiu greu , daca elevul doreste sa stie cat mai mult si doreste sa rezolve o varietate cat mai mare de probleme. Acest lucru este posibil insa daca  bagajul sau de cunostinte teoretice este cat mai larg , copletat de munca individuala asidua, perseverenta, dorinta de a reusi si nu in ultimul rand de dragostea fata de matematica - regina stiintelor exacte.  Depinde insa si de abilitatea cu care profesorul de matematica stie sa atraga si sa antreneze elevii dotati in rezolvarea de probleme  pentru a putea aborda din mai multe directii o problema si a-i gasi mai multe solutii .

         Teorema lui Pitagora generalizata, torema lui Stewart, teorema medianei, patrulaterele inscriptibile, teoremele lui Ptolemeu si Euler, dreapta lui Simpson, cercul lui Euler, teorema sinusurilor sunt cateva din notiunile de geometrie plana ce nu trebuie sa lipseasca din cunostintele elevilor de gimnaziu capabili si dornici de performanta. Aproape toate acestea apareau candva in manualul de geometrie de clasa a-VII-a , fie ca probleme rezolvate, fie ca probleme propuse spre rezolvare sau ca materie obligatorie in programa scolara.

         Voi prezenta in continuare cateva probleme ce se pot rezolva cu sau fara patrulatere inscriptibile, aplicatii ale geometriei in trigonometrie si algebra.

Problema1. In ABC unghiul A are masura x (x900), iar lungimea laturii BC este a. Sa se determine raza cercului circumscris triunghiului.

        Fie O centrul cercului circumscris ABC si R lungimea razei acestuia.

 Consideram cazul cand. BOC este isoscel, OB = OC = R,

 iar m.

Solutia 1: Construim inaltimea OO`, O`BC. Avem O`C = O`B =  si

 m. Din O`OC dreptunghic obtinem  

Solutia 2: Aplicam teorema lui Pitagora generalizata in  si obtinem                                                                 

Solutia 3: In avem .Construim inaltimea BB`, B`OC

Din B`BC dreptunghic in B` obtinem , iar din  dreptunghic in B` rezulta

 

 

Solutia 4: Observand ca in solutiile anterioare expresiile gasite pentru R nu

depind de lungimile laturilor AB si AC , se poate gasi o alta exprimare a

lungimii lui R particularizand ABC, considerandu-l isoscel cu AB = AC.

Inaltimea din A intersecteaza BC in M si cercul circumscris in A`.

 Avem  In ABM dreptunghic in M

InABA` dreptunghic in B

Din relatiile (1), (2), (3) si (4) determinate anterior in cele patru solutii de rezolvare putem determina cateva identitati trigonometrice si anume:

  - din relatiile (1) si (2)  (5)

  - din relatiile (1) si (3)     (6)

  - din relatiile (1) si (4)    ( 7)

Egalitatea (7) ce se poate obtine din cea anterioara, inlocuind x cu .

       Cazul se trateaza similar tinand cont de faptul ca

 .

Obtinem deci   (8).

De observat ca  pentru orice unghi cu  masura x cuprinsa intre 00 si 1800, din relatiile (1) si (8) obtinem . Ca urmare relatiile(5), (6) si (7) sunt valabile

Daca intr-un  notam , din relatia (1) avem , adica teorema sinusurilor.

Problema 2. In interiorul unui unghi de 600 se considera un punct M, ale carui distante la laturile unghiului sunt respectiv 2 cm si 11 cm. Sa se afle distanta de la

 punctul M la varful unghiului.

Solutia 1:  Fie P si Q proiectiile punctului M pe laturile Ox respectiv

 Oy ale unghiului xOy de 600 si . In  dreptunghic

 avem , deci AM = 2MP = 22 cm. Rezulta ca  AQ = 24 cm

 Din dreptunghic in Q avem  

OQ = AQ·tg300 =cm, iar din teorema lui Pitagora aplicata in rezulta OM = 14 cm.

Solutia 2:  Fie P si Q proiectiile punctului M pe laturile Ox respectiv Oy ale

unghiului xOy de 600 .  Patrulaterul MQOP este inscriptibil .  

Cercul circumscris are diametrul OM. Fie D proiectia punctului Q pe

dreapta MP. Aplicam teorema lui Pitagora generalizata in  si

obtinem , unde MD = QM·cos600 = 1cm

De unde cm. In , conform relatiei (1)

 cm.

Problema 3.  In cu, fie punctul M mijlocul laturii BC si B`, C` picioarele inaltimilor din B, respectiv C.

a) Sa se arate ca  este echilateral;

b) Daca AC = b, iar B este variabil, sa se determine minimul lungimii laturii .

Solutia 1: 

a) MB` mediana in dreptunghic in B`. Analog in

avem mediana , de unde C`M = B`Misoscel.

Inisoscel

Inisoscel avem

Se obtine astfel  ,

deci este echilateral.

b) Deoarece , lungimea laturii MB` este minima atunci cand lungimea laturii BC este minima. Cum AC = b si  deci fixe, atunci si punctul C` va fi fixat deoarece , iar punctul este mobil pe dreapta AC`. Lungimea lui BC este minima cand se confunda cu perpendiculara CC`. Minimul cerut .

Solutia 2: 

a)Patrulaterul BCB`C` este inscriptibil deoarece ,

cercul circumscris avand diametrul BC si MB` = MC` == R.

Conform teoremei referitoare la maasura unghiului cu varful in exteriorul cercului,

 

Atunci  si este echilateral.

Problema 4. Fie AB un diametru fix al unui cerc de centru O si raza R, iar M un punct arbitrar pe cerc. Tangenta in M la cerc taie tangentele in A si B , respectiv in P si Q.

a) Sa se arate ca  este dreptunghic in O si

b) Daca sa se determine aria trapezului ABQP in functie de R.

c) Determinati aria trapezului ABQP in cazul general.

Solutie:

a)Cum tangentele duse din acelasi punct la cerc au aceeasi lungime si PM = PA

De asemenea  si . Vom avea

 este dreptunghic

Aplicand teorema inaltimii in acest triunghi obtinem  

b) Cand si,

,si aria trapezului este                 

c) Notam . Din congruentele sirezulta ca

                                            .

Cum  si =

 

         Amplificand cu 2, folosind relatia (7) din problema 1 si formula trigonometrica fundamentala obtinem  .

      Fiindca am vazut cateva aplicatii ale geometrieiin trigonometrie prin deducerea formulelor de la problema 1, sa nu uitam nici frumusetea problemelor de algebra.

      In acest context, in trapezul ABPQ construim OS || AP, SPQ si MN || QB, NAB.

Notam AP = x si BQ = y.

Observam ca OS este linie mijocie in trapezul ABQP si conform teoremei

 liniei mijlocii in trapez,

adica media aritmetica a numerelor x si y.

Din punctul a) al problemei avem

, adica media geometrica a numerelor x si y.

Cum ca unghiuri alterne interne   adica media armonica a numerelor x si y.

Comparand lungimile laturilor in triunghiurile dreptunghice SOM siMON  vom avea

BQ < MN < OM < OS < AP , cu mentiunea ca egalitatea are loc daca si numai daca x = y ceea ce inseamna ca ABQP este dreptunghi.

          Orice iubitor al matematicii nu trebuie sa uite niciodata faptul ca ramurile ei se intrepatrund permanent, avand aceeasi tulpina , un copac urias ale carui radacini isi trag seva din miraculoasa minte umana.

Bibliografie:

·        Culegere de matematica- C. Cosnita, F. Turtoiu - Ed. Tehnica Bucuresti 1971

·        Revista elevilor din Timisoara - 1982, 1984



Didactica


Gradinita
Poezii cantece

Situatiile de criza educationala in clasa de elevi
FISE DE LUCRU GRUPURI DE LITERE ce ci ge gi che chi ghe ghi
Migratiile contemporane - TEST
Avantaje si dezavantaje ale evaluarii scolare prin calificative
JOCURI DIDACTICE - PERIOADA PREALFABETARA
METODOLOGIA INSTRUIRII
EDUCATIE FIZICA Programa pentru examenul de definitivare in invatamant, obtinerea gradului didactic II
PROIECT AL UNITATII DE INVATAMANT Drept civil - Conventia CMR-referitoare la contractul de transport international de marfuri pe sosele
Proiect de lectie Clasa: I-a limba romana - Sunetul si litera e/E( de tipar si de mana)
INVATAREA SCOLARA











 
Copyright © 2014 - Toate drepturile rezervate